2021-2022学年湖北省襄阳市南漳县高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年湖北省襄阳市南漳县高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先，得到可以看成点与坐标原点O连线的斜率，再根据图形即可得到答案.【详解】设，则可以看成点与坐标原点O连线的斜率．当在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示：又，，所以，即的取值范围是．故选：A【点睛】本题主要考查直线的斜率，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.2．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程．【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故选：C.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键．3．设等比数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断的情况，然后当根据求出，代入求解即可.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，所以所以，与已知矛盾.所以，，得故选：D4．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：∵函数在区间上存在单调增区间，∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立．而，，即即，由题意知，存在，有成立，只需即可，设，则，在上是减函数，在上是增函数，而，，，．故选B．【解析】利用导数研究函数的单调性．【思路点睛】函数在区间上存在单调增区间，也就是不等式在区间上有解解集，因此先求出的导数，再分离出变量，构造函数，只需，利用导数法求出的最大值即可求出实数的取值范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查转化思想，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．5．点在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且的三条边长满足，则此双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．5【答案】D【分析】设点在双曲线的右支上，则，，结合已知条件可得，，代入可得关于、的齐次方程，转化为关于的二次方程即可求解.【详解】设点在双曲线的右支上，则，，因为，所以，，因为，所以是直角三角形，所以所以，即，所以，解得：或（舍），所以此双曲线的离心率是，故选：D.6．若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设公共点为，根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值.【详解】设公共点为，的导数为，曲线在处的切线斜率，的导数为，曲线在处的切线斜率，因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故选：A．7．已知函数，则的值为（

）A．-18 B．-16 C．10 D．20【答案】A【分析】根据导数的定义和求导公式计算即可.【详解】，，所以，.故选：A.8．某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函数的导数，然后分析单调性，得出正确答案即可.【详解】设总利润为（），（），令，可得，当时，,当时，，故当时，取得最大值.故选：D.【点睛】本题考查利用导数求最值的问题，解题关键是正确求出导数，从而得出单调性，属于常考题.二、多选题9．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】首先根据已知条件构造函数，利用其导数得到的单调性，然后结合奇函数，将不等式转化为求解.【详解】解：设，则，当时总有成立，即当时，

0恒成立，当时，函数为减函数，又，函数为定义域上的偶函数，又，所以不等式等价于，即或，即或，所以

成立的x

的取值范围是．故选：AB．10．下列复合函数求导运算正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】按照求导法则逐项判断即可.【详解】A选项，，A不正确；B选项，，B正确；C选项，，C不正确；D选项，，D正确.故选：BD.11．设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递减数列 B．C．当时， D．【答案】ABCD【分析】由题干条件得到，故可判断AB；数列是递减数列且，，可判断C；由D..D..【详解】若，可得，可得B正确；故数列为递减数列，故A正确；因为，所以，因为，所以，因为数列是递减数列，故当时，，故C正确；，故D正确；故选：ABCD.12．已知双曲线的左､右焦点分别为，，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线C的渐近线相切，则（

）A．的最小值为B．为定值C．双曲线C的离心率D．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上【答案】BCD【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，从而可得，得离心率，判断C；设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标，从而判断D；，求出，代入点在双曲线上的条件可判断B；利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判断A．【详解】由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则，（舍去），又，所以，离心率为，C正确；设的内切圆与三边切点分别为，如图，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，D正确；设，则，，渐近线方程是，则，，为常数，B正确；由已知的方程是，倾斜角为，所以，，，当且仅当时等号成立，A错误．故选：BCD.故选：BCD．三、填空题13．若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据导数判断单调性与最值情况.【详解】由，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，即，所以的取值范围是，故答案为：.14．已知等差数列的前n项和分别为Sn，Tn，若，则__________.【答案】【分析】根据等差数列的奇数项的前n项和可以写成最中间一项的n倍，可把要求的两个数列的第五项之比写成两个数列的前9项之和的比值，再代入数值运算即可.【详解】解：∵等差数列的前n项和分别为Sn，Tn，∵，∴，故答案为：.四、双空题15．已知函数，则函数的单调递增区间是______，函数的极大值点是_______．【答案】

.【分析】求得导数，结合导数的符号和函数极值点的定义，即可求解.【详解】由题意，函数，则，令，即，即，解得；令，即，解得或；所以函数的递增区间是，递减区间为，，当时，函数取得极大值，即函数的极大值点为.五、填空题16．已知双曲线与有相同的渐近线，若的离心率为2，则的离心率为__________.【答案】【分析】根据两双曲线有相同的渐近线，可得到，再利用的离心率为2，可推得，从而利用双曲线的离心率的平方可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程为，的渐近线方程为，由题意可得，由的离心率为2得：，则，所以设的离心率为，则，故，故答案为：六、解答题17．已知数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由和，两式做差可得，可求得的通项公式；（2）将代入，运用裂项相消求和法即可求得结果.【详解】（1）取，有解得，或（舍），取，则，化简有，由知，故是首项为，公差为的等差数列，.（2）因为，所以.18．如图，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别为和的中点，且(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.(3)求二面角余弦值的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）证明可得，结合，由线面垂直的判定定理即可求证；（2）取的中点，连接，可得，再由面面垂直的性质定理证明平面，由即可求解；（3）连接，则，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由空间向量夹角公式计算即可求解.【详解】（1）如图所示，连接，由是边长为2的正方形，因为是的中点，可得为的中点，在中，因为，分别是，的中点，可得，又因为，所以，又由，且，所以平面.（2）如图所示，取的中点，连接，因为是边长为2的等边三角形，所以且，由（1）知平面，因为面，所以平面平面，因为平面平面，面，，所以平面，可得.（3）连接，则，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，平面的法向量为，所以，因为二面角为钝二面角，所以二面角余弦值为.19．已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.【答案】（1）；；（2）单调递增区间为，的单调递减区间为；（3）【分析】（1）由，求得，由，得;（2）将(1)中得到的的值代入函数表达式，进而得到．判定导数的正负区间，进而得到单调区间；（3）由（2）知，得到函数最大值，根据不等式有解得到的不等式求解即得.【详解】（1）由题意知，因此，从而．由题意求导得，因此，解得；（2）由（1）知．令，解得．1＋0－极大值因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为；（3）由（2）知，在处取得极大值，此极大值也是最最值．要使（）有解，只需．即，从而．解得．所以的取值范围为.20．已知椭圆的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过的直线，使得直线与椭圆交于，？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在；直线或【分析】（1）由长轴和短轴可得，从而得椭圆方程；（2）当直线的斜率不存在时，不满足条件；假设存在斜率存在的过点的直线，使得直线与椭圆交于，，设，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得，说明，代入可求得，得直线方程．【详解】解：（1）设椭圆的方程为，可得，即，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，不满足条件；假设存在过点的直线，使得直线与椭圆交于，，设直线的方程为，联立椭圆的方程得，设，，，即，由，化为，得，化为，解得，所在存在直线或满足条件.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的存在性问题．解题方法是设而不求法，即设交点坐标，设直线方程，应用韦达定理得出交点坐标与参数的关系，代入题中其他条件求出参数．21．已知函数（是自然对数的底数）.（1）求证：；（2）若不等式在上恒成立，求正实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】(1)要证f（x）=ex-x-1≥0，求导得f′（x）=ex-1，利用导数性质能证明ex≥x+1；(2)不等式f(x)>ax−1在上恒成立,即a<在上恒成立,令g(x)=，利用导数性质求g(x)在上的最小值，由此能求出正数a的取值范围.【详解】（1）,可得，当，解得,∴当时，为增函数，当时，为减函数，的最小值为..（2）∵不等式在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立.令，,当时，解得,∴当时，为减函数，当时，为增函数，的最小值为，∴，则正数的取值范围为.【点睛】本题考查不等式的证明及参数的取值范围的求法，运用转化思想将参数分离，转化为利用导数求区间上函数的最值问题即可解决，是中等题.22．已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间与极值．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据题意得到函数的解析式，从而得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程；（2）对函数求导，对参数的