2021-2022学年广东省汕尾市华中师范大学海丰附属学校高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年广东省汕尾市华中师范大学海丰附属学校高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．{1，2，3}【答案】A【分析】利用并集概念进行计算.【详解】.故选：A2．下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】在上单调递增，故A不符题意；在上单调递减，故B符合题意；在上单调递增，故C不符题意；在上不单调，故D不符题意.故选：B.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式，可得，计算化简，即可得答案.【详解】由，得，所以．故选：B4．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由向量的加法三角形法则和向量加法三角形法则可得.【详解】；；；.故选：D5．已知在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD相交于点M，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量加法的几何意义可得，应用向量线性运算的坐标表示，即可求的坐标.【详解】由题设，.故选：D.6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意，所以，，.故选：D.7．已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值.【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，的分向与的平分线一致，，所以点在的平分线上，即为的角平分线，在中，，，利用正弦定理知：同理，在中，，其中分析可知当时，取得最小值，即故选：C8．三个数，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系.【详解】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.故选：D二、多选题9．[多选题]下列命题是真命题的是（

）．A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上【答案】AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量；B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，不能判断与是否共线；C项为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；D项为真命题，因为，两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以A，B，C三点共线．故选：AD．10．（多选）下列结论中错误的是（

）A．两个向量的和仍是一个向量B．向量与的和是以的始点为始点，以的终点为终点的向量C．D．向量与都是单位向量，则【答案】BD【分析】根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可.【详解】两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当首尾相连时才成立，故B错误；任何向量与相加都得其本身，故C正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D错误；故选：BD11．设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（

）A．若，则的形状为等边三角形B．若，则点M是边BC的中点C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心D．若，则点M在边BC的延长线上【答案】AB【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，由，得，即，结合三角形性质易知，，同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；对于选项B，由，得，即，因此点M是边BC的中点，故B正确；对于选项C，如图当过点时，，由，得，则直线经过的中点，同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.故选：AB.12．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．点是的对称中心B．直线是的对称轴C．在区间上单调减D．的图象向右平移个单位得的图象【答案】CD【分析】由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.【详解】由图知：且，则，∴，可得，又过，∴，得，又，∴当时，.综上，.A：代入得：，故错误；B：代入得：，故错误；C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；D：，故正确；故选：CD【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.三、填空题13．已知非零向量，，，则的最大值为______．【答案】13【分析】根据向量数量积的运算性质，有，即可求的最大值.【详解】∵，∴当时，有最大值为169.∴的最大值为13.故答案为：13.14．已知向量，的夹角为，，，则______.【答案】【分析】先由数量积的定义求出，再由，代入化简即可得出答案.【详解】因为向量，的夹角为，，，所以，所以.故答案为：.15．已知向量，，则______.【答案】5【分析】由平面向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】解：因为向量，，所以，所以，故答案为：5.16．如图，在△中，，，与交于点，，，，则的值为_________.【答案】2【分析】令，，利用平面向量的基本定理知：，，将其转化为的线性关系，可求，再由已知条件，应用数量积的运算律求即可.【详解】令，，而，，∴，得，∴，又，∴，，，∴.故答案为：2【点睛】关键点点睛：设，，应用平面向量基本定理求的线性关系求参数，利用向量数量积的运算律求.四、解答题17．已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，，根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以；（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.18．已知函数的最小正周期是.（1）求值；（2）求的对称中心；（3）将的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间.【答案】（1）2；（2），；（3），.【分析】（1）由且，即可求值；（2）由（1）知，结合正弦函数的对称中心即可求的对称中心；（3）由函数平移知，结合正弦函数的单调性即可求的单调递增区间.【详解】（1），又，∵，∴.（2）由（1）知，，令，解得.∴的对称中心是，.（3）将的图像向右平移个单位后可得：，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：，由，解得，.∴的单调递增区间为，.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求的对称中心.（3）由函数图像平移得解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求的单调增区间.19．2022年2月4日，冬奥会在北京与张家口开幕，如图，四边形ABCD是主办方为运动员精心设计的休闲区域的大致形状，区域四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，，，，．(1)求氢能源环保电动步道AC的长；(2)若，求花卉种植区域总面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）△ADC中用余弦定理求解即可；（2）分别求出△ABC和△的面积即可解决.【详解】（1）∵，，∴，在△ADC中，由余弦定理可知，即．（2）在△ABC中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），即，即，，所以花卉种植区域总面积为．20．已知向量.(1)若，求的值；(2)记求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用向量平行得到，即可求出角x；（2）整理出=，直接求值域.【详解】（1）∵向量，由可得：，即.∵∴（2）由=∵，∴∴f（x）的取值范围为21．已知，，求：(1)，；(2)与的夹角的余弦值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）首先利用向量坐标的加减法求出和，再根据向量的模的计算方法进行求解;（2）由数量积夹角公式，将两向量的坐标代入进行计算即可求解.【详解】（1）因为，，所以，，所以，.（2）因为，，设与的夹角为，则，所以与的夹角的余弦值为.22．已知平面直角坐标系中，点A(a，0)，点B(0，b)(其中a，b为常数，且ab≠0)，点O为坐标原点.（1）设点P为线段AB上靠近A的三等分点，，求的值；（2）如图所示，设点是线段AB的n等分点，其中，①当n=2020时，求的值(用含a，b的式子表示)；②当a=b=1，n=10时，求的最小值.(说明：可能用到的计算公式：.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】(1)利用向量的线性运算得出，结合即可得出结果；(2)①由题意可得，进而推出，代入题中的等式即可；②当a=b=1，n=10时，，