2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二分层班下学期期末数学（文）试题【含答案】

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二分层班下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知等差数列的前n项和为，则的值为（

）A．33 B．44 C．55 D．66【答案】C【分析】根据等差数列求和与通项公式求解即可.【详解】是等差数列的前项和，，，解得，，故选：C.2．双曲线的焦点到渐近线的距离为A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由双曲线的标准方程，求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求焦点到渐近线的距离【详解】双曲线焦点坐标，渐近线方程，所以焦点到渐近线的距离为，所以选择A项【点睛】由双曲线的标准方程解决几何性质问题时，要根据先标准方程确定双曲线焦点所在位置，在解决渐近线，离心率等问题3．有一机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导函数，将代入导函数的解析式，化简即可得结果.【详解】因为，所以，则，所以机器人在时刻时的瞬时速度为，故选D.【点睛】本题主要考查导数的实际应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.4．已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则A． B．C．96 D．729【答案】C【分析】由等比数列的性质可得可得，又，即得和．【详解】由等比数列的性质可得，所以．又因为与的等差中项为9，所以，设等比数列的公比为，则，所以，解得或．又因为，所以，故．故．故选C．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的中项，等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知函数，则（

）A．4 B．1 C． D．【答案】C【分析】首先根据换元法求出函数的表达式，再求出导函数即可求解.【详解】令，则，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查了换元法求解析式、求导，需熟记常见函数的导数公式，属于基础题.6．已知抛物线，直线过点与抛物线交于两点，且，则直线倾斜角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知直线的斜率存在，且不为零，设方程为，与抛物线联立得到韦达定理形式，根据抛物线焦点弦长公式可求得，即，由同角三角函数关系可求得结果.【详解】由题意可知，直线的斜率存在.当直线的斜率为零时，为抛物线的焦点，则，不合题意；直线的斜率存在，且不为零，设直线的方程为，由消去得：，，，解得：，即，.故选：D.7．曲线：在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．【详解】解：的导数为所以曲线在点处的切线斜率为即曲线：在点处的切线方程为即为．故选：A.8．如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第一个正方形，依此类推，共作了个正方形，设这个正方形的面积之和为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分析可得这些正方形的面积组成以1为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的前n项公式分析可得答案．【详解】根据题意，第一个正方形的边长为，其面积为，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，依此类推每一个小正方形的面积都是前边正方形的面积的，这些正方形的面积组成以1为首项,为公比的等比数列，则这5个正方形的面积和.故选：B.9．已知函数，则“”是“函数为增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求出函数的导函数，利用导数与单调性的关系求出函数为增函数时参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：因为，所以，所以当时，函数在定义域上单调递增，因为，所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件，故选：A10．已知正项数列中，，，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，结合已知条件可求得数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得结果.【详解】因为且，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，，因为数列为正项数列，则，则，所以，数列的前项和为.故选：C.11．已知函数，若存在实数使函数有两个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】先将函数有两个零点，转化为函数与的图像有两个交点，作出函数的图像，结合函数图像，即可求出结果.【详解】∵函数，有两个零点，∴函数与的图像有两个交点，画出函数图像如图所示.由，可得或.结合函数的图像可知，当时，函数有两个零点，则实数的取值范围是.故选B.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，灵活运用转化与化归的思想，以及数形结合的思想即可，属于常考题型.12．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，用导数研究其单调性，再将不等式转化为，即求解.【详解】因为满足，，令，则，所以在R上是增函数，又，则，不等式可化为，即，所以，所不等式的解集是，故选：C二、填空题13．数列满足，，若数列恰为等比数列，则的值为________.【答案】1【分析】由已知可得,从而可得数列是以2为公比的等比数列,可求.【详解】，，数列是以2为公比的等比数列，故答案为1.【点睛】本题主要考查了利用数列递推关系构造等比数列,属于基础试题14．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】由题意知方程有两根，构造函数，可知直线与函数的图象有两个公共点，且两函数的图象均过点，考查直线与曲线相切于点这个临界位置，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，由，可得，构造函数，则直线与函数的图象有两个公共点，，令，得，列表如下：极大值所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，函数取得最大值，即，且当时，.易知，直线与函数的图象均过点，如下图所示：考虑直线与曲线相切于点这个临界位置，此时.即当时，直线与曲线相切于点，此时，直线与曲线有且只有一个公共点.由图象可知，当且时，直线与曲线有两个公共点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，一般转化为直线与函数图象的公共点问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚10尺，请问两只老鼠最少在第________天相遇．【答案】4【分析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造不等式求出的值.【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.所以，即，解得：且，所以两只老鼠最少在第4天相遇.故答案为.【点睛】本题以数学文化为背景，建立等比数列模型进行问题解决，考查学生的数学建模能力、运算求解能力，考查不等式的求解，注意利用为整数的特点，直接求得不等式的解.16．已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过，分别作抛物线的切线，，设，相交于点．则__________．【答案】0【分析】设，设AB的方程为，代入抛物线方程，根据韦达定理得到，再根据导数的几何意义得到切线、的斜率，相乘为，即可得到答案.【详解】设，因为，所以设AB的方程为，代入抛物线方程，得，从而，由，得，则，则，因此，即，所以.故答案为：0【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查了导数的几何意义，考查了向量的数量积，考查转化思想以及计算能力，是中档题.三、解答题17．已知等差数列的公差不为0，且满足.(1)求的通项公式；(2)求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，再利用等差数列的通项公式即得；（2）利用裂项相消法可得，即证.【详解】（1）设数列的公差为，由题可知，解得，∴，故的通项公式为.（2）∵，∴，记，则，∴.18．如图，在三棱柱中，⊥底面ABC，AB⊥AC.(1)求证：AB⊥平面；(2)若线段与的中点分别为E､F，求证：平面ABC；(3)已知AB=3，AC=4，且异面直线与所成的角为45°，求三棱柱的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由已知可得，结合，得到平面；（2）连接并延长，交AB的延长线于点G，连接CG，即可得到，从而得证；（3）由异面直线与所成的角为，可得，再由已知结合棱柱体积公式求解．【详解】（1）证明：底面，平面，，又，且，平面；平面；（2）证明：如图，连接并延长，交AB的延长线于点G，连接CG.因为E是的中点，所以E是的中点；又因为F是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（3）解：，为异面直线与所成的角为，即，在中，可得，．19．已知数列满足，且．（1）求为何值时，数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由等比数列定义构造恒等式，求得参数值；（2）利用等比数列的通项公式求得．【详解】（1）若数列是等比数列，则（为非零常数），即对于任意恒成立，则，解得，故当时，数列是等比数列．（2）由（1），可知数列是公比为2的等比数列，且首项为，所以，所以．20．已知函数在点处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）是否存在，对任意，使得成立，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.（参考数据：，）【答案】（1）；（2）存在，的最大值为8【分析】（1）对函数求导，结合导数的几何意义，可得出，进而可求出，即可得出函数的解析式；（2）由，不等式可转化为，令，进而通过求导，判断函数的单调性，使得，进而可求出的最大值.【详解】（1）将代入切线方程，可得，即，又，所以，解得，所以.（2）存在，理由如下：由，不等式可转化为，令，则，，令，则，所以在上单调递增，且，，故存在唯一的，使得，即，当时，，即，此时单调递减；当时，，即，此时单调递增.所以，即，又因为，所以，因为，所以的最大值为8.所以存在满足题意的，的最大值为8.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，注意利用参变分离的方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.21．已知抛物线经过点．(1)求抛物线的方程；(2)设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，的中点为，若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系数法去求抛物线的方程；（2）将直线的方程与抛物线方程联立，以设而不求的方法去求的面积．【详解】（1）因为抛物线经过点．所以，解得，所以抛物线的方程为．（2）设，直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，，得，，．所以，所以，又抛物线的准线为，所以，，解得，．则．22．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再