知识讲解-平面向量的实际背景及基本概念-基础

平向的际景基概【习标1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的含义，理解向的几何表示的意义和方.3．掌握向量、零向量、单位向、相等向量的概念，会表示向.4．理解两个向量共线的含义.【点理要一向的念1．向量既大小又有方向的量叫做向.2．数量：只有大小，没有方向量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等数．要诠：（）书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意移．（）一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（）量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．要二向的示1．有向线段：具有方向的线段做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2.向量的表示方:(1)字母表示法如

a,,

等(2)几何表示法以A为点B终点作有向线段

AB

（注意始点一定要写在终点的前面用一条有向线段

AB

表示向量，通常我们就说向量

AB

.要诠：（）字母表示向量便于向量运算；（）有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要三向的关念1．向量的模:向量的大小叫向量(就是用来表示向量的有向线段的长)要诠：（）量

的模

|a

．（）量不能比较大小，但

||

是实数，可以比较大小．2．零向量长为零的向量叫零.记作

，它的方向是任意的．3．单位向量:长度等于1个位向.要诠：（）画单位向量时，长度1可根据需要任意设定；（）一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量:长度相等且方向相的向.要诠：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．

要四向的线平方向相同或相反的非零向量，叫共线向共线向量又称为平行向).规定:

与任一向量共线.要诠：1.零向量的方向是任意的，注意0

与的含义与书写区.2.平行向量可以在同一直线上区别于两平行线的位置关系共线向量可以相互平行要别在同一直线上的线段的位置关.3．共线向量与相等向量的关系相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【型题类一向的本念例．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？（1）密度）浮力）风速）度．【思路点拨】抓住向量的两个特征：长度和方向进行辨析．【解析】浮力和风速既有大小又有方向，所以是向量，其他的量只有大小没有方向，不是向量故（3是向量）是向量．【总结升华】实问题中的一量，如温度、电量等，尽管它们有正、负之分，但没有方向，故表示数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和数量是有质区别的两个概念．举反：【变式1】下列物理量中，不能称为向量的（）A质量速度C位移D．【答案】A例22015春山梁山县期中）下列说法：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量．其中，说法错误的是________．【答案】①②③⑤⑥【解析】①平行向量不一定相等，因此①不正确；②不相等的向量可能平行，因此②不正确；③共线向量不一定相等，因此③不正确；④相等向量一定共线，正确；⑤长度相等的向量不一定是相等向量，因此⑤不正确；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量，不一定正确．例如：给出不共线的非零向量a它们都与

平行，此时

，

不共线．综上可得：说法错误的是①②③⑤⑥．故答案为：①②③⑤⑥

举反：【清堂平向的际景基概例】【变式】判断下列命题的正误：（）向量与非零向量平行；（）度相等方向相反的向量共线；（）向量a与量共线，则与都非零向量；（）两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（）两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。（）非零向量,

是共线向量，则A、、、四共线；（）线的向量一定相等；（）等的向量一定共线．【答案】√√√××××√【变式】下列说法正确的个数()①向量AB//DC，直线AB//直;②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；③向量既有向线段AB；④在平行四边形

ABCD

中，一定有

DC

.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】类二向的示法例．在如图所示的坐标中，用直尺和圆规画出下列向量．（1）

|OA

，点A在O正西方向；（2）

|OB2

，点B在O北西45方向；（3

|

，点C在O南东60°方向．【解析】如所示．【总结升华准画出向量的方法是先确定向量的起点确定方向然后根据向量的大小确定量的终点．例4．如下图，E、、GH分是四边形ABCD的各边中点，分别出图中：

(1)与向量(2)与向量(3)与向量

HGHGHG

相等的向量；平行的向量；模相等的向量；(4)与向量HG模相等、方向相反的向量．【解析】(1)与量HG相的向量有EF.(2)与向量HG平的向量有EF、FE、AC、CA、GH.(3)与向量HG模等的向量有G、EF、FE.(4)与向量HG模等、方向相反的向量有GH、FE.举反：【变式2016安徽泗县月考）如图，，分别是△的AB，BC，CA的中点，在以A，B，，D，为起点和终点的向量中，（1找出与向量EF相的量；（2找出与向量DF共线的量．【解析】（1）∵，F分为，的点，∴EFBA，且

12

，又是BA的点，∴

EFBD

，∴与向量

EF

相等的向量是

BDDA

；（2D，分为BA，AC的点，∴DF∥BC且

12

，又是BC的中点，∴

BEEC

，∴与向量DF相的向量是,EC．【变式2）向量OA相的向量有多少个？并把这些向量写出来．

（）否存在与向量

O

长度相等、方向相反向量？（）向量

OA

共线的向量有哪些？【解析）3个CB、DO、EF（）在AO、、FE、BC（3向量

OA

共线的向量有：

AO

、

、

、

OD

、

DO

、

EF

、

FE

．类三利向相或线行明例．如图所示，四边形ABCD，ABDC，、M分是、上的点，且

MA

．求证：

．【思路点拨】证明DNMB，证明这两个向量的方向相同和大小相等．【证明】∵

，∴

|AB|DC|

且∥，∴四边形ABCD是行四边形，∴

|CB|

且DA∥．又∵与的向同，∴CBDA．同理可证，四边形CNAM是行边形，∴

CM

．∵

|CB|DA|，|CMNA

，∴

|MBDN

，又DNMB的向同，∴．【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系．若|ABDC