含有耦合电感的电路

含有耦合电感的电路1第1页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页10.1互感一、

互感当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic

flux)11

，产生的自感磁通链为11，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，产生互感磁通链为21，我们把这种一个线圈的磁通交链另一线圈的现象称为磁耦合。i1称为施感电流,11=N111,21=N221

+–

u11

+–

u21

N1

N2

11

21i1

11’2’2提示1：双下标含义？提示2：对于实物，注意线圈绕向；2第2页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页当线圈2中同时通入电流i2时，在线圈2中产生磁通22

，产生的自感磁通链为22，同时，有部分磁通穿过临近线圈1，产生互感磁通链为12。+–

u11

+–

u21

N1

N2

1=11±122=±

21+2212

22i2

i1

11’2’2那么，每个耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通链的代数和。即：思考：上式什么时候取加？什么时候减？相应地，i2称为施感电流,由它产生的磁通链：12=N112,22=N222

3第3页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页当线圈周围各向同性的线性磁介质时，11、21与i1成正比，12、22与i2成正比。可以分别用下式表示：11=L1i1，

21=M21i1，

22=L2i2，

12=M12i2M21=

M12=MM恒大于或等于零1=L1i1

±

M

i2

2=±

M

i1+

L2i2。为自感系数，单位亨称，H)(

11111LiLy=，

2222iLy=2L）。的互感系数，单位亨（对线圈为线圈称，H21

2112121MiMy=）。的互感系数，单位亨（对线圈为线圈称，H12

1221212MiMy=4第4页，共69页，2023年，2月20日，星期四下一页章目录返回上一页二、互感线圈的同名端

1=L1i1

-M

i2

2=-

M

i1+

L2i2互感的作用有两种可能性。若互感磁链与自感磁链方向一致，称为互感的增助作用，此时，M前符号为正；若互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的削弱作用，此时，M前符号为负。

21+–

u11

+–

u21

i1

11

N1

N2

i2

i2

为便于反映互感的增助或削弱作用，简化图形表示，采用同名端标记方法。对两个有耦合的线圈各取一对端子(产生的磁通方向相同)，用相同的符号如“”或“*”加以标记，则称这一对端子为同名端。同名端反映两个线圈的相对绕向。11’2’2i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

11’2’21=L1i1

+

M

i2

2=+

M

i1+

L2i2电路理论5第5页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时，同名端应一对一对地加以标记。每一对采用不同的符号。如果每一电感都有电流时，则每一电感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。+–

u11

+–

u21

i1

11

0N1

N2

+–

u31

N3

s

**△△总结：同名端应成对标示，反映两两线圈的相对绕向。6第6页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页例10-1图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，M=1H，求两耦合线圈的磁通链。i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

11=L1

i1

=20Wb

22=L2

i2

=15cos(10t)Wb21=M

i1

=10Wb

12=M

i2

=5cos(10t)Wb1=L1

i1

+

M

i2

=[20+5cos(10t)]Wb

2=M

i1+

L2

i2=[10+15cos(10t)]Wb

提示思考：同名端改变，电流流入端改变时，磁通链变化？7第7页，共69页，2023年，2月20日，星期四

有了同名端后，分析互感电压时不必考虑线圈实际绕向，只画出同名端及电压电流参考方向即可。i1**L1L2+_u1+_u2M+–+–u11u21i11121N1N2´1´212+_u1+_u2**三、互感线圈的伏安特性

当互感线圈通以变动的电流时，根据电磁感应定律，在每个线圈两端将产生感应电压。1.仅线圈1上通以变动的电流用同名端判断互感电压的参考方向：当电流从一个电感线圈的同名端流入时，在与其耦合的另一线圈中的同名端即为由该电流产生的互感电压参考方向的正端。用楞次定律分析互感电压的正端，比较与同名端判断互感电压的结果是否一致？dtdΨu=电路理论下一页章目录返回上一页8第8页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页根据电磁感应定律，在每个线圈两端将产生感应电压（包含自感电压和互感电压）。uuuu22211211+=+=uu21+i1**L1L2+_u1_u2i2M+_+_+_+_u11u12u21u22dtdiLdtdiMdtdiMdtdiL221211+=+=线圈绕向，同名端，互感磁通增强/减弱，互感电压正极性端之间的关系？2.两个线圈上同时通以变动的电流图示：线圈L1和L2的电压和电流分别为u1

i1和u2

i2，为关联参考方向，互感为M，则：思考总结：9第9页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页例10-2图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，M=1H，求两耦合线圈的端电压u1

和u2

。+i1**L1L2+_u1_u2i2M+_+_+_+_u11u12u21u22注意：上式中哪一项为零？为什么？10第10页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页在正弦交流电路中，其相量形式的方程为jL1

jL2

+–

–

++–

+–

还可以用电流控制电压源来表示互感电压的作用。时域形式方程：i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

时域形式控制源形式的互感模型jL1

jL2

+–

+–

**相量形式jωM

△△dtdiL

dtdi-Mu

dtdiM

dtdiLu22122111+=+=–思考：三种不同形式的方程特点？四、带有互感的电路模型研究11第11页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页五、耦合系数(couplingcoefficient)k：工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值定义为耦合因数，用k表示。k表示两个线圈磁耦合的紧密程度。显然，k1。k的大小与2个线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。改变或调整它们的相互位置有可能改变耦合因数的大小；当L1和L2一定时，也就相应地改变了互感系数M的大小。说明：12第12页，共69页，2023年，2月20日，星期四互感现象的利与弊：利用——变压器：信号、功率传递;避免——干扰;克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用；采用屏蔽。11'22'k≈1思考什么情况下

k≈0？特殊地，当k=1为全耦合:F11=F21，F22=F12电路理论下一页章目录返回上一页13第13页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页同名端实质：反映线圈绕法的相互关系。六、同名端的确定方法总结：(1)

根据绕向判别：当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。

i

11'22'**(2)实验判别法：当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。V+–

i

11'22'**R

S

电压表瞬时正偏。如图电路，当闭合开关S时，i增加，思考：当开关S打开时，电压表？14第14页，共69页，2023年，2月20日，星期四KCL的形式不变；10--2含有耦合电感电路的计算对于含有耦合电感电路的正弦稳态分析仍可以采用相量法。在KVL的表达式中，应计入由于互感的作用而引起的互感电压。即当某些支路具有耦合电感时，这些支路的电压将不仅与本支路电流有关，同时还将与那些与之有互感关系的支路电流有关。思考：互感线圈的可能连接方式？不首先对具有互感的电感解耦，因为互感电压是电流的函数，所以列写电路方程求解时，通常采用以电流为未知量的求解方法建立方程；具体地，可采用支路电流法、回路电流法、网孔法。互感消去法直接计算法首先分析互感的连接方式，然后对互感采用前述方法去耦；关键：不要丢掉互感电压；电路去耦后，求解方法视方便，自由选择，无任何限制；电路理论下一页章目录返回上一页15第15页，共69页，2023年，2月20日，星期四1.串联顺接–i1MR1R2L1L2u+*u1+–u2–+*i2iiLeqReq–u+等效一.互感线圈的串联电路理论下一页章目录返回上一页16第16页，共69页，2023年，2月20日，星期四若激励为正弦量，也可通过其相量形式的电路方程来分析：–jω

MR1R2jω

L1jω

L2+*+––+*Reqjω

Leq+–等效电路理论下一页章目录返回上一页17第17页，共69页，2023年，2月20日，星期四顺向串联的另一种等效电路

顺向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗大(电抗变大)，此时互感起加强作用。–R1R2+–+–+jω(L1+M)jω(L2+M))2()(2121MLLjRRZeq++++=w)(222MLjRZ++=w=2Z1Z+1Z=)(11MLjR++w++w)(11MLjR++w)(22MLjR+=其中：电路理论下一页章目录返回上一页18第18页，共69页，2023年，2月20日，星期四2.反向串联–i1MR1R2L1L2u+*u1+–u2–+*i2iiLeqReq–u+等效电路理论下一页章目录返回上一页19第19页，共69页，2023年，2月20日，星期四若激励为正弦量，也可通过其相量形式的电路方程来分析：–jωMR1R2jω

L1jω

L2+*+––+*ReqjωLeq+–等效电路理论下一页章目录返回上一页20第20页，共69页，2023年，2月20日，星期四反向串联的另一种等效电路–R1R2+–+–+jω(L1-M)jω(L2-M))2()(2121MLLjRRZeq-+++=w)(222MLjRZ-+=w=2Z1Z+1Z=)(11MLjR-+w-+w)(11MLjR-+w)(22MLjR+=其中：反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗小(电抗变小)，互感起削弱作用；类似于电容串联，称为互感的容性效应；(L1-M)和(L2-M)可能其中之一为负，但(L1+L2-2M)>0，电路仍呈感性；结论：思考：端口电压相量相同情况下，顺串和反串哪个电流大？电路理论下一页章目录返回上一页21第21页，共69页，2023年，2月20日，星期四3.相量图**+–R1R2jL1+–+–jL2jM相量图：(a)顺串(b)反串RUUU&&&(121±+=+=ÞLj1wI&jwI&MI&)R(2±+Lj2wI&jwI&MI&)+电路理论下一页章目录返回上一页22第22页，共69页，2023年，2月20日，星期四将2个互感线圈顺接一次，再反接一次，分别测出顺接与反接时各自的总等效阻抗Z顺和Z反4.互感的测量方法电路理论下一页章目录返回上一页23第23页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页例10-3图示电路中，正弦电压的U=50V，R1=3，L1=7.5,R2=5，L2=12.5,M=8。求该耦合电感的耦合因数K和该电路中吸收的复功率。i

**u2

+–

M

R1

R2

L1

L2

u1

+–

u

+–

解：耦合因数K为：AVjZIS+==)63.14025.156(222AVjZIS-==)63.1575.93(121jZZZ+=+=4821各支路吸收的复功率为：ZUIU°-Ð==Ð=°57.2659.5/,050...则：令jMLjRZ+=-+=5.45)(222wjMLjRZ-=-+=5.03)(111w24第24页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页二.互感线圈的并联**+–

R1

R2

jL1

jL2

jM

1222

jj···++=IMILRUww）（2111

jj···++=IMILRUww）（2223

][···-++=IMLjRIMjU）（ww1113

][···-++=IMLjRIMjU）（ww+–R1

R2

j(L1-M)

j(L2-M)jM+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

LcLc=M

La=L1－

MLb=L2－M1.同侧并联25第25页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页2.异侧并联**+–

R1

R2

jL1

jL2

jM

+–R1

R2

j(L1+M)

j(L2+M)-jM+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

LcLc

=－M

La=L1＋

MLb=L2＋

M26第26页，共69页，2023年，2月20日，星期四三.一端相连(两电感有公共端)整理得1.同名端接在一起**jL1123jL2jMj(L1–M)123j(L2–M)jM等效电感与电流的参考方向无关电路理论27第27页，共69页，2023年，2月20日，星期四2.非同名端接在一起整理得**jL1123jL2jMj(L1+M)123j(L2+M)－jM等效电感与电流的参考方向无关电路理论28第28页，共69页，2023年，2月20日，星期四四.互感线圈两端均不相连++__+_+_2111IMjILjU&&&ww+=1222IMjILjU&&&ww+=两种等效电路的特点：(1)去耦等效电路简单，等效电路与电流的参考方向无关，但必须有公共端；(2)受控源等效电路，与电流参考方向有关，不需公共端。++**L1L2+__+__+_+_++__+_+_电路理论下一页章目录返回上一页29第29页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页例10-4图示电路中，正弦电压的U=50V，R1=3，L1=7.5,R2=5，L2=12.5,M=8。求支路1、2吸收的复功率。**+–

R1

R2

jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

Lc五.例题分析30第30页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

Lc31第31页，共69页，2023年，2月20日，星期四例10--5支路法、回路法：方程较易列写，因互感电压可以直接计入KVL方程。分析：关键：正确考虑互感电压的作用，要注意表达式中的正负号，不要漏项。M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3列写右图电路方程电路理论直接求解：去耦法：下一页章目录返回上一页32第32页，共69页，2023年，2月20日，星期四M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z31.支路法：解：电路理论下一页章目录返回上一页33第33页，共69页，2023年，2月20日，星期四整理，得M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3电路理论34第34页，共69页，2023年，2月20日，星期四2.回路法：M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3说明：此处只是以回路电流相量为变量，并没有按照回路法列方程。电路理论下一页章目录返回上一页35第35页，共69页，2023年，2月20日，星期四整理，得M12+_+_**M23M13L1L2L3Z1Z2Z3电路理论下一页章目录返回上一页36第36页，共69页，2023年，2月20日，星期四3.此题也可先作出去耦等效电路(一对一对去耦)，再列方程:M12**M23M13L1L2L3**M23M13L1–M12L2–M12L3+M12L1–M12–M13+M23L2–M12+M13–M23L3+M12–M13–M23想一想：若

M12＝M13＝M23＝M，试画出去耦等效电路？电路理论下一页章目录返回上一页37第37页，共69页，2023年，2月20日，星期四10-3空心变压器变压器是利用互感元件来实现由一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。分类：空心变压器和铁芯变压器。空心变压器：即变压器没有铁芯，两个耦合线圈绕在一个由非铁磁性材料制成的芯子上组成空心变压器，线圈通过空气耦合，可以避免铁芯带来的非线性、磁滞及涡流的不利影响，广泛用于高频电子电路中。铁芯变压器：将原副线圈绕在一个铁芯（软磁材料），利用铁芯的高磁导率加强互感，广泛应用于电力输配、电工测量、电焊及电子电路中。电路理论下一页章目录返回上一页38第38页，共69页，2023年，2月20日，星期四一、空心变压器电路模型+_+_**a)原边：与电源相连的一边称为原边(初级)，其线圈称为原线圈，R1和L1分别表示原线圈的电阻和电感。b)副边：与负载相连的一边称为副边(次级)，其线圈称为副线圈，R2和L2分别表示副线圈的电阻和电感。c)M为两线圈的互感系数,RL和XL分别表示负载的电阻和电抗。d)注意图中参考方向的规定。电路理论下一页章目录返回上一页39第39页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页**jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

Z=R+jX

二、空心变压器电压电流关系空心变压器原边、副边的电流关系：S2111UIZIZM&&&=+Z22=(R2+R)+j(L2+X)

Z11=R1+jL140第40页，共69页，2023年，2月20日，星期四+–

Z11

原边等效电路三、空心变压器等效电路Z11=R1+jL1

Z22=(R2+R)+j(L2+X)

电路理论**jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

Z=R+jX

1、原边等效电路下一页章目录返回上一页41第41页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页说明副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然原、副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，这个电流又反过来影响原边电流电压。Zl=Rl+jXl：副边对原边的引入阻抗。

负号反映了副边的感性阻抗反映到原边为一个容性阻抗42第42页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页同样可解得：

+–

Z22

—原边对副边的引入阻抗。

副边等效电路—副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。**jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

Z=R+jX

其中：Z11=R1+jL1，

Z22=(R2+R)+j(L2+X)

2、副边等效电路43第43页，共69页，2023年，2月20日，星期四副边等效电路的另一种推导:+_+_**+_+_**+_**＝++_电路理论下一页章目录返回上一页44第44页，共69页，2023年，2月20日，星期四电路理论下一页章目录返回上一页**jL1

jL2

jM

+–

R1

R2

Zl=Rl+jXl例10.6图示电路，R1=R2=0，L1=5H,L2=1.2H,M=2H，us=100cos(10t)，ZL=RL+jXL=3。求原、副边电流i1、i2。45第45页，共69页，2023年，2月20日，星期四解：方法(1)：回路法。方法(2)：利用空心变压器的等效电路。+–Z11例10.7

已知

L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20W，R2=0.08W，RL=42W，w=314rad/s，**jL1jL2jM+–R1R2RL电路理论下一页章目录返回上一页46第46页，共69页，2023年，2月20日，星期四此时负载获得的功率：实际上是最佳匹配：解：依题意，有求：Zx

；并求负载获得的有功功率。例10.8

已知，原边等效电路的引入阻抗为，**j10j10j2+–10Zx+–10+j10电路理论下一页章目录返回上一页47第47页，共69页，2023年，2月20日，星期四一.理想变压器应满足的条件1)变压器本身无损耗；2)耦合因数，即全耦合；3)L1、L2和M均为无限大，但保持不变，

n为匝数比。§10-4理想变压器理想变压器如同理想R、L、C元件以及理想电源一样，是一个电路模型，它是反映二个端口电流电压关系的一种模型。空心变压器如果同时满足下列3个条件即演变为理想变压器：电路理论下一页章目录返回上一页

注意：以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。48第48页，共69页，2023年，2月20日，星期四+_+_**二.理想变压器端口电压电流关系1.电压关系2.电流关系电路理论下一页章目录返回上一页49第49页，共69页，2023年，2月20日，星期四综上可知理想变压器是一种特殊的无损耗全耦合变压器，其电路图形符号如下，并且其原边和副边的电压和电流总满足下列关系：+_+_**注意上式是根据图中的参考方向和同名端列出的。式中

n=N1/N2，称为理想变压器的变比。理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用，理想变压器不是动态元件。理想变压器模型电路理论理想变压器唯一参数：n下一页章目录返回上一页50第50页，共69页，2023年，2月20日，星期四1.功率性质：由此可以看出，理想变压器既不耗能，也不储能，它将能量由原边全部传输到副边输出，在传输过程中，仅仅将电压、电流按变比作数值变换。即它在电路中只起传递信号和能量的作用。三.理想变压器的性质+_+_**理想变压器吸收的瞬时功率为理想变压器的方程为电路理论下一页章目录返回上一页51第51页，共69页，2023年，2月20日，星期四2.阻抗变换性质+_当理想变压器的副边接入阻抗

ZL

时，原边输入阻抗为：即

n2ZL

为副边折合到原边的等效阻抗。+_+_**电路理论下一页章目录返回上一页52第52页，共69页，2023年，2月20日，星期四3.两种特殊情况+_+_**+_+_**输出端短路，此时输出端开路，此时四.理想变压器的受控源等效电路+_+_+_电路理论下一页章目录返回上一页53第53页，共69页，2023年，2月20日，星期四解：+–方法（1）戴维南等效电路+–**+_+_已知：电源内阻

Rs=1k，负载电阻RL=10。为了使RL上获得最大功率，求：理想变压器的变比

n。+_+_+–**例10.9**+_+_要使RL上获得最大功率，则电路理论下一页章目录返回上一页54第54页，共69页，2023年，2月20日，星期四+–解：方法（2）原边等效电路由于理想变压器不耗能，因此等效电阻上的功率即为负载电阻的功率。要使n2RL上获得最大功率，则方法（3）列写电路KVL方程利用方程组找出功率表达式并求解。已知：电源内阻

Rs=1k，负载电阻RL=10。为了使RL上获得最大功率，求：理想变压器的变比

n。+_+_+–**电