人教八下18.2勾股定理的逆定理 导学案

勾股定理的逆定理导学案学习目标、重点、难点【学习目标】灵活运用勾股定理的逆定理解决有关问题【重点难点】灵活运用勾股定理的逆定理解决有关问题.知识概览图如果三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形如果三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形逆命题、逆定理勾股定理的逆定理新课导引以3cm,4cm,5cm为三角形的三边长,画出这个三角形,度量最长边所对应内角的度数,就可以求出这个三角形的面积.问题探究根据题目所给的条件,我们可以画出这个三角形,如右图所示,度量得到∠C=90°,即这个三角形是直角三角形,其面积是×3×4=6(cm2).我们知道a2+b2=c2,这三个数a,b,c可以被称为勾股数.由勾股数作为三角形的三边长组成的三角形是什么样的三角形呢?已知a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2,反之,已知a2+b2=c2,能判断由此构成的三角形是直角三角形吗?教材精华知识点1逆命题、逆定理（1）逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.①判断一件事情的句子叫命题.②每个命题都由条件(或题设)和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.一般地,命题都可以写成“如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是条件（题设），用“那么”开始的部分是结论.一些命题前面的“附加部分”属题设.③命题有真假之分，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.④把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.⑤一个命题是正确的，但它的逆命题不一定正确.⑥在数学中，说明一个命题是假命题，通常只需举出一个反例，而要说明一个命题是真命题，则必须经过证明，几个正确的例子是不能说明这个命题的真实性的.证明与反例是解决数学问题的两种不可分割的重要方法.（2）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.①经过证明被确认的命题叫做定理.例如:两直线平行,内错角相等.再如:对顶角相等.②一个命题一定有逆命题,而一个定理则不一定有逆定理.③命题有真有假,而定理都是正确的,即都是真命题.知识点2勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.例如:52+122=132,62+82=102,分别以5,12,13和6,8,10为边长作两个三角形,则这两个三角形都是直角三角形.【拓展】(1)此定理是直角三角形的判定定理.必须已知三角形的三边长,且满足两短边长的平方和等于最长边长的平方,才可判断这个三角形是直角三角形,且最长边所对的角是直角.（2）不能机械地认为c边所对的角必是直角,例如:a2-b2=c2,则a边所对的角是直角.（3）a2+b2是否等于c2,需通过计算进一步验证,不能开始就写成a2+b2=c2.（4）利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是:①确定最大边(不妨设为c);②计算c2与a2+b2的值;③比较c2与a2+b2是否相等,若相等,则此三角形是直角三角形,否则就不是直角三角形.（5）勾股定理与其逆定理的区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为前提条件，进而得到“这个直角三角形的三边长的数量关系，即a2+b2=c2”；而勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为前提条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”.（6）勾股定理的逆定理的作用是运用此定理来判断一个三角形是否是直角三角形.勾股定理的逆定理经常与勾股定理综合运用，一般先用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性质进行有关的计算或证明.知识点3勾股数（1）满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数.（2）对于任意两个整数m,n(m＞n＞0)，m2+n2,m2-n2,2mn这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组.（3）常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15.应熟记.【拓展】（1）3，4，5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为凡是三个连续整数都是勾股数.(2)每组勾股数以相同倍数扩大得到的一组数也是勾股数.若m,n,p(m＜n＜p)是勾股数，则m2+n2=p2,则（am）2+(an)2=a2m2+a2n2=a2(m2+n2)=a2p2=(ap)2(a为正整数).所以am,an,ap也是一组勾股数.例如：3，4，5与6，8，10和9，12，15都是勾股数.课堂检测基本概念题1、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？（1）两条直线平行，同位角相等；（2）全等三角形的对应角相等.基础知识应用题2、在△ABC中，a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m，n是正整数，且m＞n.试判断△ABC是否是直角三角形.综合应用题3、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？探索创新题4、（阅读理解题）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.（1）写出你所学过的特殊四边形是勾股四边形的两种图形的名称：______、_______；（2）如图18-49所示，已知网格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以网格点O为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图18-50所示，将△ABC绕顶点B按顺时钉方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°。求证DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.体验中考1、（09·衡阳）如图18-54所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置就在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点2、（08·河北）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）.现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水.方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图18-55是方案一的示意图，设该方案中管道长度为,且=PB+BA（其中BP⊥l于点P）；图18-56是方案二的示意图，设该方案中管道长度在，且=PA+PB（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交到点P）.观察计算（1）在方案一中，=______km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图18-57所示的铺助线，请你按小宇同学的思路计算，=______km（用含a的式子表示）.探索归纳(1)①当a=4时，比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：_______（填“＞”“＝”或“＜”）.方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2-n2=(m+n)(m-n),m+n＞0，∴m2-n2与m-n的符号相同.当m2-n2＞0时，m-n＞0,即m＞n;当m2-n2=0时，m-n=0,即m=n;当m2-n2＜0时，m-n＜0,即m＜n.学后反思 【解题方法小结】根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解析命题由题设和结论两部分组成，它的逆命题就是把原命题的结论作为题设，把原命题的题设作为结论，然后判断原命题的逆命题是否正确.解：（1）逆命题是：同位角相等，两直线平行.这个命题成立.（2）逆命题是：对应角相等的三角形全等.这个命题不成立.2、解析题目中已给出三角形的三边长，要判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定已知三边长中哪一条边是最大边.【解题方法】已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理来探究三角形是不是直角三角形，在利用公式a2+b2=c2时一定要注意c是最大边，即∠C=90°.解：因为m,n是正整数，且m＞n,所以m2+n2＞2mn,m2+n2＞m2-n2.即c＞b,c＞a.所以a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4又因为c2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,所以a2+b2=c2.所以△ABC是直角三角形.3、解析我们可以根据题意画出如图18-47所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了.【解题方法】解决航海问题的应用题，首先要从实际问题中抽象出数学模型，画出图形，结合其他知识求出直角三角形中未知边或相关的量.解：根据题意可画出图18-47，PQ=16×=24,PR=12×=18,QR=30,在△PQR中，PQ2+PR2=242+182=576+324=900,QR2=302=900,所以PQ2+PR2=QR2.所以△PQR是直角三角形且∠RPQ=90°.又因为“远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN=45°，所以∠RPN=45°.同理，在△PQR′中，∠R′PQ=90°，∠R′PE=45°.由此可知“海天”号沿西北或东南方向航行.4、解析判断一个四边形是否是勾股四边形，关键是利用勾股四边形的定义.解：（1）正方形长方形（2）M1（3，4），M2（4，3），如图18-51所示.证明：（3）连接EC，如图18-52所示.因为△ABC≌△DBE，所以AC=DE，BC=BE.因为∠CBE=60°，所以△BCE是等边三角形，所以EC=BC，∠BCE=60°.又因为∠DCB=30°，所以∠DCE=90°.在Rt△DCE中，根据勾股定理，得DC2+EC2=DE2，所以DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.体验中考1、A解析由AB=1000，BC=600，AC=800，得AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°.根据直角三角形斜边等于斜边一半，当P为AB中点时，PA=PB=PC.2、解析根据方法指导我们可以知道，要比较与的