建筑力学 轴向拉伸与压缩

建筑力学轴向拉伸与压缩第1页/共101页§6.1轴向拉伸和压缩时的内力力学模型如图一、轴向拉伸和压缩的概念轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。第2页/共101页FFFN=F二、轴力FN=FFF——轴力。单位：牛顿（N）第3页/共101页二、轴力

内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步骤：①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。第4页/共101页

在求内力的截面m-m

处，假想地将杆截为两部分.取左部分部分作为研究对象。弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为FN.mmFFN截开代替mmFF第5页/共101页对研究对象列平衡方程FN

=F式中：FN

为杆件任一横截面m-m上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心.称为轴力(axialforce).平衡mmFFmmFFN第6页/共101页轴力:等截面直杆在经历轴向拉伸或者压缩时，杆中任一截面上的内力的合力的方向都和杆轴线方向重合，这种顺延杆轴线方向的内力合力称为轴力。轴力的正负规定:

当轴力方向与截面的外法线反向时（指向截面）,轴力为负(压力)正轴力对留下部分起拉伸作用，负轴力对留下部分起压缩作用。正轴力背离截面，负轴力指向截面。这样规定以后，在进行轴力显示和计算时，无论保留哪一部分，所求得的任一截面上的轴力的正负号都是一样的。当轴力方向与截面的外法线同向时（背离截面）,轴力为正(拉力)第7页/共101页《材料力学》8轴向拉伸与压缩讨论题：1.以下关于轴力的说法中，哪一个是错误的？（A）拉压杆的内力只有轴力；（B）轴力的作用线与杆轴重合；（C）轴力是沿杆轴作用的外力；（D)轴力与杆的横截面和材料无关。第8页/共101页如果杆件受到的外力多于两个，则杆件不同部分的横截面上有不同的轴力。F2FF2F33FN1=F1122F2F22（压力）F33F11第9页/共101页F1F4F3F2332211二、轴力图问题：如何描述不同截面的轴力既简单又直观？方法：1.临用时逐个截面计算；

2.写方程式；

3.画几何图线——轴力图。

横坐标——杆的轴线纵坐标——轴力数值第10页/共101页

用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出各截面轴力沿轴线的变化规律的图形，称为轴力图

.将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧.xFNO①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。3.1kN2.9kN3.1kN2.9kN6kN第11页/共101页12一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图.

CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN轴力图—例题1第12页/共101页13CABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABDE40kN55kN25kN20kNR解:

求支座反力轴力图—例题1第13页/共101页14

求AB段内的轴力RFN1CABDE40kN55kN25kN20kNR1轴力图—例题1第14页/共101页15

求BC段内的轴力

R40kNFN220kNCABDE40kN55kN25kNR2轴力图—例题1第15页/共101页16

FN3求CD段内的轴力20kN25kNCABDE40kN55kN25kN20kNR3轴力图—例题1第16页/共101页17求DE段内的轴力20kNFN440kN55kN25kN20kNR4轴力图—例题1第17页/共101页18FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（压力）FN4=20kN（拉力）发生在BC段内任一横截面上CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN轴力图—例题15010520++xOFN(kN)第18页/共101页191.与杆平行对齐画2.标明内力的性质（FN）3.正确画出内力沿轴线的变化规律4.标明内力的符号5.注明特殊截面的内力数值（极值）6.标明内力单位CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN轴力注意事项5010520++xOFN(kN)第19页/共101页20试画出图示杆件的轴力图。已知F1=10kN；F2=20kN；

F3=35kN；F4=25kN。11FN1F1解：1、计算杆件各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、绘制轴力图。轴力图—练习题第20页/共101页如果只受集中荷载，则轴力(图)的简便求法：自左向右,轴力从0开始，轴力图的特点：突变值=集中载荷值

5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN遇到向左的F，轴力增量为正F；遇到向右的F，轴力

增量为负F。如果左端是约束，需先求出约束反力（约束反力也是外力）8kN3kN轴力沿杆件分段为常量时轴力图的简便作法：分段点：集中载荷作用点，截面突变处

第21页/共101页如果杆件由几段不同截面的等直杆构成，轴力的计算方法和单一截面的轴力计算方法一样。3FF2F++–+ABCD第22页/共101页§6.2轴向拉压杆件横截面上的应力（1）问题提出：FFFF4.根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的，一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不同。1.两杆的轴力都为F.5.要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道： ①度量分布内力大小的分布内力集度－应力。 ②材料承受荷载的能力。3.内力大小不能衡量构件强度的大小。但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的轴向拉力较大。一.应力的概念：第23页/共101页△A上的内力平均集度为:

当△A趋于零时，pm

的大小和方向都将趋于某一极限值。（2）应力的表示：

大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，内力集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度(应力)最大处开始。

pm称为面积△A上的平均应力。

p称为该点的总应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。第24页/共101页

p是M点的总应力，一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，可以对其进行分解为两部分：垂直于截面的应力分量:σ相切于截面的应力分量:τσ正应力（normalstress）τ切应力（shearstress）应力单位:牛顿/米2，

帕斯卡（Pa）1KPa=1000Pa1MPa=1000KPa1GPa=1000MPap称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。第25页/共101页应力正负号规定正应力：离开截面的正应力为正，指向截面的正应力为负。切应力以其对分离体内一点产生顺时针转向的力矩时为正值的切应力，反之，则为负的切应力。切应力的说法只对平面问题有效。第26页/共101页应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处，因此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。（3）.应力的特征：2在某一截面上一点处的应力是矢量。3应力的量纲为ML-1T-2。应力的单位为帕斯卡，

1Pa＝1N/m2,1MPa=106Pa,1GPa=109Pa4根据应力的定义，整个截面上各点处应力与微元面积dA的乘积的合成，即为该截面的内力。第27页/共101页二、拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的内力即为轴力。也就是横截面上各点应力与微元面积dA的乘积的合成。轴力是和截面垂直的。因为切应力不可能合成与截面垂直的合力，所以轴力只可能是正应力的合成，所以第28页/共101页变形前（1）变形规律试验及平面假设：变形后所有纵线都伸长了，所有横线都依然保持为直线，并且与纵线垂直。受载后FFFF第29页/共101页假如将杆假想为由无数根纵向纤维组成。则各纤维的伸长都相同。因此可作如下假设：（2）平面假设：直杆经历轴向拉（压）时，原为平面的横截面（横线就代表杆的横截面）在变形后仍为平面。假如材料是均匀的，那么，相同的内力将引起相同的变形，反过来，相同的变形必然是由于相同的内力引起的。因为拉压杆每根纤维的伸长都相同，所以它的任意点的内力集度（应力）都是相同的。也就是说，拉（压）杆横截面上的应力分布是均匀的。因此FN：轴力σ：正应力第30页/共101页（3）拉压正应力的正负号规定：sFNF规定：正应力和轴力正负号是一致的。正的正应力为拉应力，负的正应力为压应力。必须指出，因为上面推导拉压杆横截面上的正应力时假定横截面上正应力是均匀的。其实这只在离外力作用点较远的部分才是正确的。在外力作用点附近，应力分布较为复杂。（4）公式的应用条件：因此，上式严格成立的条件是：1、拉（压）杆的截面无突变；2、所考察的截面到载荷作用点有一定的距离。第31页/共101页荷载作用点附近应力示意图(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：应力分布示意图：第32页/共101页（5）圣维南（Saint-Venant）原理：圣维南（圣文南）原理指出：“力作用于杆端方式的不同，只会使杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。”也就是说，离开荷载作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。如果只考察中间段，则不管受力方式如何（均布力或集中力），均可得到相同的应力分布。我们研究的杆件的横向尺寸相比纵向尺寸来说一般很小，因此，如非特别说明，可以忽略杆端不同力作用方式的影响。第33页/共101页圣文南原理计算结果对圣维南原理的证实第34页/共101页计算结果对圣维南原理的证实第35页/共101页危险截面的特点：1如截面积相同，则是轴力最大的面；2如轴力相同，则是截面尺寸最小的面。（6）危险截面及最大工作应力：对于等截面直杆，有

如果等截面直杆受多个轴向外力的作用，由轴力图可以求出最大轴力，从而求出最大正应力。

如果直杆横截面积变化，则最大轴力处的截面上不一定具有最大正应力。

当正应力达到某一极限值时，杆件将在最大正应力处产生破坏。因此，具有最大正应力的截面叫做危险截面。危险截面上的正应力称为最大工作应力。第36页/共101页《材料力学》37一横截面为正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示.已知F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力.FABCFF3000400037024021

解：(1)作轴力图拉压应力-例题1

第37页/共101页《材料力学》3850kN150kN(2)求应力结论：

在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.FABCFF3000400037024021拉压应力-例题1

第38页/共101页《材料力学》39

图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°拉压应力-例题2第39页/共101页《材料力学》402、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°拉压应力-例题2

第40页/共101页§6.3轴向拉压杆件的变形与虎克定理

一、纵向变形及线应变实验表明，杆件在受轴向拉伸时，沿轴向方向尺寸将发生伸长和横向方向尺寸缩短的变形。若杆件在受轴向压缩时，则会出现轴向方向尺寸缩短和横向方向尺寸增大的变形。图6-8(a)、(b)中，实线为变形前的形状，虚线为变形后的形状。第41页/共101页各段的变形程度可以用每单位长度的纵向伸长来表示。每单位长度的伸长，叫做线应变，用ε表示。1纵向变形和横向变形

abcdl

只反映整根杆的总变形量，而无法说明沿杆长度方向各段的变形程度。如果杆的各段伸长是均匀的，那么一原长为l

的拉杆受力F的拉伸作用后其长为l1，则杆的纵向伸长为第42页/共101页

线应变是无量纲的量，其正负号规定与纵向变形相同。可见：线应变的正负号和杆的伸长量一致。杆受拉伸时，线应变为正。当杆受压时，线应变为负。第43页/共101页二、横向变形及泊松比拉杆纵向伸长时，同时伴随着横向缩短。若拉杆为圆截面，原始直径为d，变形后直径为d1，则横向变形为同样，如果每部分的横向变形都是均匀的，可以定义拉杆的横向线应变为因为所以第44页/共101页如果横截面是矩形，横向线应变又会是什么样的呢？以上推导过程同样适用于压杆，只不过对于压杆，纵向线应变为负，横向线应变为正。第45页/共101页1、拉压杆的变形量与其所受力之间的关系和材料的性能有关，并且只能通过实验来获得。对于工程中常用材料制成的拉压杆，一系列实验证明：当杆内的应力不超过某一极限值时，杆的伸长△l

与其所受外力F，杆的原长度l成正比，而与其横截面积A

成反比。即

E

称为杨氏模量，也叫弹性模量。它是材料本身的性质，表征材料抵抗变形的能力，需要用实验来测定。单位为Pa。这一关系称为胡克定律。引入比例常数E，可有3胡克定律

第46页/共101页在拉压杆中，有变截面拉压杆的弹性定律

当内力在n段中分别为常量时或者每段的截面积不同时虽然整段杆OD不满足胡克定律的适用条件，但OB段、BC段和CD却能分别满足胡克定律，因此，我们可按胡克定律分别求OB、BC、CD三段杆的伸长量，然后相加得到杆OD的总伸长量。※“EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。对于长度相等，受力也相等的拉压杆，拉伸（压缩）刚度越大，变形越小。第47页/共101页4泊松比（或横向变形系数）

因为所以这是胡克定律的另一种表达形式。可见，拉压杆的应力和应变的符号一致。对于横向线应变，实验指出：当拉压杆的应力不超过某一比例极限时，横向线应变与纵向线应变的绝对值之比为一常数，即称为横向变形系数，也叫泊松比。泊松比量纲为1，它也是材料本身的属性，需要用实验来测定。因为纵向线应变和横向线应变正负号刚好相反，所以第48页/共101页ABCDP1

P2

100100100试求：(1)各段杆横截面上的内力和应力；(2)杆的总伸长。例2一构件如图所示，已知：P1=30kN,P2=10kN,AAB=ABC=500mm2,ACD=200mm2,E=200GPa。mmmmmm第49页/共101页第50页/共101页§6.4材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能1.力学性能——又称机械性能，指材料在外力作用下表现出的破坏和变形等方面的特性。2.研究力学性能的目的——确定材料破坏和变形方面的重要性能指标，以作为强度和变形计算的依据。3.研究力学性能的方法——试验。第51页/共101页52(1)常温:室内温度(2)静载:以缓慢平稳的方式加载(3)标准试件：采用国家标准统一规定的试件(1)万能材料试验机

(2)游标卡尺二、材料的拉伸试验1.试验条件2.试验设备第52页/共101页53国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228—2002)L=10dL=5d对圆截面试样：对矩形截面试样：L标距d标点标点FF二、材料的拉伸试验3.试验试样第53页/共101页54一、材料的拉伸试验4.万能材料试验机第54页/共101页55二、材料的拉伸试验第55页/共101页《材料力学》561、低碳钢拉伸时的力学性能第56页/共101页571.拉伸图(F-l

曲线)

拉伸图与试样的尺寸有关。为了消除试样尺寸的影响，把拉力F除以试样的原始面积A，得正应力；同时把l除以标距的原始长度l,得到应变。

表示F和l关系的曲线，称为拉伸图(tensiondiagram)FOΔlefhabcdd′gf′Δl0三、低碳钢拉伸时的力学性能第57页/共101页582.应力应变图

表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图。σ=F/A名义应力；ε=⊿l/l名义应变；A——初始横截面面积；l——原长三、低碳钢拉伸时的力学性能第58页/共101页59比例阶段：σ≤σp

虎克定律（Hooke）

σ=Eε

E——弹性模量（Young）

单位：N/㎡,GPa特征应力：弹性极限e比例极限p物理意义：材料抵抗弹性变形的能力。特点：变形是完全弹性的①弹性阶段1、低碳钢拉伸时的力学性能第59页/共101页60

特点：材料失去抵抗变形的能力——屈服(流动）特征应力：屈服极限σs

Q235钢σs=235MPa

滑移线：

方位—与轴线成45°原因—最大切应力机理—晶格滑移45°②屈服阶段三、低碳钢拉伸时的力学性能第60页/共101页61特点：应变硬化材料恢复变形抗力，

σ-ε关系非线性，滑移线消失，试件明显变细。特征应力：强度极限σb

③强化阶段1、低碳钢拉伸时的力学性能第61页/共101页62④颈缩阶段（局部变形阶段）特征：颈缩现象断口：杯口状有磁性1、低碳钢拉伸时的力学性能第62页/共101页63低碳钢拉伸时明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef1、低碳钢拉伸时的力学性能第63页/共101页643.两个塑性指标断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料1、低碳钢拉伸时的力学性能0第64页/共101页654.卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载

即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是卸载定律。d点卸载后，弹性应变消失，遗留下塑性应变。d点的应变包括两部分。d点卸载后，短期内再加载，应力应变关系沿卸载时的斜直线变化。

材料的应力应变关系服从胡克定律，即比例极限增高，伸长率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。f点的应变与断后伸长率有何不同？三、低碳钢拉伸时的力学性能第65页/共101页66原比例极限现比例极限现残余应变原残余应变

在强化阶段卸载，材料的比例极限提高，塑性降低。1、低碳钢拉伸时的力学性能第66页/共101页67对于没有明显屈服阶段的塑性材料国标规定：可以将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标。并用σp0.2来表示。2、其它材料拉伸时的力学性质第67页/共101页《材料力学》68σb不宜受拉！

1.强度极限低;

σb=110～160MPa

2.非线性；

近似用割线代替

3.无屈服，无颈缩；

4.

δ＜０．５﹪；

5．平断口。铸铁拉伸时的力学性质第68页/共101页691、实验试件dh二、材料的压缩试验第69页/共101页701、低碳钢压缩时的力学性能(1)弹性阶段与拉伸时相同，杨氏模量、比例极限相同；(2)屈服阶段，拉伸和压缩时的屈服极限相同，即(3)屈服阶段后，试样越压越扁，无颈缩现象，测不出强度极限。第70页/共101页71压１．σｂ高于拉伸；（接近4倍）２．δ大于拉伸；（接近５﹪）３．Ｅ与拉伸不同；４．斜断口．拉2、铸铁压缩时的力学性能可制成受压构件！第71页/共101页混凝土几种非金属材料的力学性能第72页/共101页几种非金属材料的力学性能木材第73页/共101页74材料的力学性能讨论题：三根杆的横截面面积及长度均相等，其材料的应力-应变曲线分别如图所示，其中强度最高，刚度最大，塑性最好的杆分别是：（A)a，b，c（B)b，c，a（C)b，a，c（D)c，b，a第74页/共101页75材料的力学性能讨论题：现有钢、铸铁两种棒材，其直径相同，从承载能力和经济效益两方面考虑，图示结构两杆的合理选材方案是：（A）1杆为钢，2杆为铸铁；（B）2杆为钢，1杆为铸铁；（C）两杆均为钢；（D）两杆均为铸铁。FABC45°12第75页/共101页§6.5容许应力与安全系数失效:当正应力达到强度极限b时，会引起断裂；当正应力达到屈服极限s时，将产生屈服或出现显著塑性变形。构件在正常工作时，这两种情况都是不允许的；出现这两种情况时，均统称为构件失效。因此，通常将强度极限b和屈服极限s统称为材料的极限应力，用u

。对脆性材料，u

＝

b

。对塑性材料，u

＝

s

。第76页/共101页工作应力:根据分析计算所得的构件的应力。尽管理论上为了充分利用材料的强度，可以使构件的工作应力接近于极限应力。但实际运用中不允许，因为2、容许应力作用在构件上的外力常常估计不准确实际材料的组成与品质等难免存在差异，不能保证构件所用材料与标准试样具有完全相同的力学性能。构件的外形和受力通常比较复杂，在计算工作应力时需要进行简化导致工作应力计算不准确所有这些不确定因素都可能使得构件的工作条件偏于不安全的一面第77页/共101页为了安全，构件应具有适当的安全储备。因此，构件工作应力允许的最大值，必须低于材料的极限应力。容许应力：对于由一定材料制成的具体构件，工作应力的最大容许值，称为材料的容许应力，用[]表示。容许应力与极限应力的关系为：K

(K

>1)安全因数：K偏大，降低，用料多；K偏大，降低，安全储备少。脆性材料：K=2.5~3.0塑性材料：K=1.4~1.7第78页/共101页§6.5拉压杆的强度条件和强度计算强度条件:为了保证构件具有足够的强度，必须使最大工作应力不超过许用应力，即满足。强度条件强度条件：第79页/共101页根据强度条件，可以解决工程中三种强度问题。②截面选择：已知拉（压）杆所受荷载及所用材料，按强度条件选择杆件横截面面积或尺寸。①强度校核：在已知拉（压）杆材料、尺寸、受荷载情况下，检验构件是否能满足强度条件。③许可载荷计算：已知拉（压）杆的材料和尺寸，按强度条件来确定杆所容许的最大轴力，并从而计算出其所允许承受的荷载。第80页/共101页例已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力

[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：FN

=F

=25kN②应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。第81页/共101页例如图所示结构：1杆为钢杆，A1＝600mm2，[σ]1=160MPa;2杆为木秆，A2＝10000mm2，[σ]2=7MPa。（1）当F=10kN时，试校核结构的强度；（2）求结构的容许荷载[F]。（3）[F]作用下，杆1的截面积以多大为宜？1230°第82页/共101页解：受力分析：A,B,C三处均为铰链，杆1与杆2为二力杆。取节点B，其受力如图，由平衡条件，有：（1）当

F

=10kN时，校核两杆的强度FN1FFN2yx30°第83页/共101页对1杆：结论：两杆均满足强度要求，且有一定的强度储备，故可适当加大工作荷载F。对2杆：（2）求最大许可荷载[F]1杆所能承受的最大轴力：2杆所能承受的最大轴力：第84页/共101页此时，杆1的截面尺寸过大，有多于材料储备，可适当降低杆1的截面尺寸。综上，节点B处的最大允许荷载应取（3）取F＝40.4kN，重新设计杆1的截面面积由强度条件：取：第85页/共101页因此，取当A1=500mm2是允许的。需要指出：即使工作应力超出了许用应力，只要相对误差小于5％，工程中仍是允许的当A1=500mm2时，第86页/共101页例如图所示结构：1杆为钢杆，A1＝1000mm2，[σ]1=160MPa;2杆为木秆，A2＝20000mm2，[σ]2=7MPa。求结构的容许荷载[P]。第87页/共101页

注意：解这一类求容许荷载的问题时应注意以下重要的概念：(1)一般情况下，当—根杆的实际轴