【典型题】数学高考试题(及答案)

【典型题】数学高考试题(及答案)一、选择题.若tanOt=—,则cos2a+2sin2oc=( )4A.6425B.4825CA.6425B.4825C.1D.1625.已知平面向量a=(1,—3),b=(4,—2),九a+b与a垂直，则九是()TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.1 C.—2 D.—1.设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则MCn中元素的个数为()A. 2 B. 3 C. 5 D.7.设向量a,b满足|a=2,Ib1=1a+b1=3，则a+2b=( )A. 6 B. 3\；2 C. 10 D.4c2.已知平面向量a,b是非零向量，|a|=2,a!(a+2b)，则向量b在向量a方向上的投影为()A. 1 B. -1 C. 2 D. -2.若a,b£R,i为虚数单位，且(a+i)i=b+i,贝UA. a =1,b=1b. a= —1,b=1c. a =1,b=—1d. a= -1,b=—1.已知函数f(x)=J3sin2x+cos2x—机在[0,；]上有两个零点，则m的取值范围是A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[l,2].设a,b£R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的()A.充分而不必要条件 8.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件.函数y=f(x)的导函数y=f,(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是

设。<〃<1,则随机变量X的分布列是X0a1111P______P333则当〃在(0,1)内增大时()B.D(X)减小AB.D(X)减小C.11.A.D(X)先增大后减小设集合C.11.A.D(X)先增大后减小设集合M={x|log2(x-1)<0},-2<x<2}b.{x\x>-2)D.D(X)先减小后增大集合N={x\x>-2}C.{xx<2}D.{x|1<x<2}12.若奇函数f(x)在［1,3］上为增函数，且有最小值0,则它在［-3,-1］上()A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值0二、填空题.在区间［-2,4］上随机地取一个数x,若x满足国Sm的概率为^,则m=8TOC\o"1-5"\h\z.设S是等差数列{a}(neN*)的前n项和，且a=1,a=7，则S=n n 1 4 5.设2a=5b=m，且1+1=2，则m= .ab…1 1 - 「2 、.若函数f(x)=--x3+-x2+2ax在-,+s上存在单调增区间，则实数a的取值3 2 L3 7范围是.x2y2.双曲线一—-二1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直a2b2线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=..已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为..如图，圆C(圆心为C)的一条弦AB的长为2,则AB•AC=.

.若函数/(X)=X2-x+l+alnx在(O,+8)上单调递增，则实数〃的最小值是三、解答题.已知数列｛。｝满足a.若函数/(X)=X2-x+l+alnx在(O,+8)上单调递增，则实数〃的最小值是三、解答题.已知数列｛。｝满足a=2,a=2a+2〃+i.

H 1 n+1n设~=g,求数列名｝的通项公式;〃2n n求数列｛〃｝的前〃项和S；n n(-1>(n2+4n+2)2n记c= n aann+1求数列｛c｝的前n项和T.22.如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，AB=AD=22,CA=CB=CD=BD=2.(1)求证：AO1平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(3)求点E到平面ACD的距离..如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，连接BD，其中DA=DP,BA=BP.(1)求证：PA1BD；(2)若DA1DP,/ABP=600,BA=BP=BD=2，求二面角D—PC—B的正弦值..(辽宁省葫芦岛市2018年二模)直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=2+tcosa

yx=2+tcosa

y=1+tsinu点为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为P=6cos0.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A,B，若点p的坐标为（2』），求|PA|+1PBi的最小值..AABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(I)求B；(II)若b=2,求AABC面积的最大值..已知a=(Wcosx,cosx),b=(sinx,cosx)，函数f(x)=ab.（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当xe（—兀,兀］时，求f（x）单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题A解析：A【解析】TOC\o"1-5"\h\z3 . 3 4 . 3 4试题分析：由tanu=-，得sina==,cosa==或sina=--,cosa=一二，所以4 5 5 5 5c•c16 /12 64cos2a+2sm2a= +4x—= ，故选A.25 2525【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式.【方法点拨】三角函数求值：①''给角求值〃将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“'给值求值〃关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系.D解析：D【解析】【详解】试题分析：九万+B=（九,一3九）+（4,—2）=（九+4,—3九一2），由九a+b与a垂直可知Qu+b=0（九+4）一3（—3九一2）—0.,.九二一1考点：向量垂直与坐标运算B解析：B【解析】试题分析：McN={1,2,6).故选b.考点：集合的运算.4．D解析：D【解析】【分析】由题意，根据向量的模的运算，可得%；22+32+2a•石二3,求得％•b=-2，再根据向量模的运算，即可求解．【详解】・・,向量a，b满足|a=2，忖=,+可=3,.・.222+32+2ab=3，解得a•b=-2.则|a+2b|=J『2+4b2+4a•b=,22+4义32+4义(-2)=4J2.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．B解析：B【解析】【分析】先根据向量垂直得到a«a+2b),=o,化简得到a务=-2,再根据投影的定义即可求出.【详解】・・・平面向量a,b是非零向量，|a1=2,a±(a+2b),「・a((a+2b),=0,即a2・(a+2b)=0a，b —2...向量b在向量a方向上的投影为二丁=-1,1al 2故选B.【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．6．C解析：C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为（a+ =b+i,即—1+力=Z?+，,因为。泊£凡，为虚数单位，所以。=1/二—1,9C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题..B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为/（x）=y/3sin2x+cos2x-m=-血（2三+作）一阳，令r=2x+—，则才E石卜所以此时函数即为＞=2的加.令T=0有1=刑，根据题意可知〉二.在上有两个解,:三二.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像..B解析：B【解析】【分析】【详解】当a=0时，如果b=0，此时a+bi=0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a+bi已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0,因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义9．D解析：D【解析】原函数先减再增，再减再增，且X=0位于增区间内，因此选D.【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与X轴的交点为X，且图象在X两侧附近连续分布于X轴上下方，则X为原函数单调性的拐点，运用导数00 0知识来讨论函数单调性时，由导函数f'(X)的正负，得出原函数f(X)的单调区间.10．D解析：D【解析】【分析】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论；【详解】TOC\o"1-5"\h\z解：E(X)=0x1+ax1+1x1=a+1,3 3 33a+1 1a+1 1a+1 1D(X)—( )2x+(a )2x+(1 )2x33 33 331 2 211=27[(a+1)2+(2a—1)2+(a—2)2]—9(a2—a+1)=9(a—万)2+%・.・0<〃<1, D(X)先减小后增大故选：D.【点睛】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．11．B解析：B【解析】【分析】求解出集合M，根据并集的定义求得结果.【详解】M―Qlog(x—1)<ol={x|0<x—1<1}—{x|1<x<2}MuN―{x\x>—2}本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题..D解析：D【解析】【分析】【详解】因为/(%)为奇函数，且在口3上为增函数，且有最小值0,所以/(%)在［-3,-1］上为增函数，且有最大值0,选D.二、填空题.3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间-24上随机地取一个数x若x满足|x|《m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6,区间［-2,4］上随机地取一个数x,若x满足|x|Wm的概率为微，若m对于3概率大于三，若m小于3,概率小于士，所以m=3.6 6故答案为3.-5-4-3-2-101234514.25【解析】由可得所以解析：25【解析】(1+9)义5一由a=1,a=7可得a=1,d=2,a=2n-1，所以S= =254 i n 5 215.【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力解析：、而【解析】【分析】। - 1 1 .…八变换得到a=logm,b=logm，代入化简得到一+-=log10=2，得到答案.2 5 abm【详解】2a=5b=m，则a=log2m,b=log5m,

11, c, -, sc故答案为：<10.【点睛】本题考查了指数对数变换故答案为：<10.【点睛】本题考查了指数对数变换16.【解析】【分析】换底公式，意在考查学生的计算能力.【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：(-1,+8)【解析】【分析】【详解】试题分析：f(x)=-x2+x+2a=-最大值为2 2 .- 2c,「 12 2 .- 2c,「 1=2a+g，令2a+->0，解得a>-,9 9 9所以a的取值范围是一石，+8.V9 J考点：利用导数判断函数的单调性.17.2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容解析：2【解析】试题分析：因为四边形OABC是正方形，所以^AOB=45°,所以直线OA的方程为丁二x，此为双曲线的渐近线，因此a=b，又由题意知OB|=2<2，所以a2+b2=a2+a2=(2v,2)2,a=2.故答案为2.【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为•二二-三：二】的形式，当一；二，三：；■；,上二三时为椭圆，当.二5.二：.时为双曲线..【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令

解析：(元―2)2+y2=10.【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出A8的垂直平分线方程，令y=o,可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，A8的垂直平分线为y=2x—4,令y=0,得x=2,故圆心坐标为(2,0),所以圆的半径J(5-2"+(1—0)2=V10，故圆的方程为(x—2)2+山=10.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题..2【解析】【分析】过点C作CD，AB于D可得Rt△ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD，AB于D则D为AB的中点R3ACD中可得cosA==2故答解析：2【解析】【分析】cosA二二\C过点C作CDLAB于D,可得AD=1ABcosA二二\C，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB•AC的值.【详解】过点C作CDXAB于D,则D为AB的中点.Rt^ACD中，AD=1Rt^ACD中，AD=1AB=1AD可得cosA=ac―西’,AB.AC=|AB|.|AC|cosA=丽.|AC|-AC=何=2-故答案为2【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积.着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题.20.【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得nn?n+1)2n+1到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的解析：18【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到a>x-2x2在（0,笆）上恒成立，利用二次函数的性质求得x-2x2的最大值，进而得到结果.【详解】函数f（x）=x2—x+1+aInx在（0,+s）上单调递增二.尸（x）=2x-1+a>0在（0,笆）上恒成立 a>x—2x2在（。,笆）上恒成立x令g（x）=x-2x2，x>0TOC\o"1-5"\h\z根据二次函数的性质可知：当x=1时，g（x）=14 max81a>-，故实数a的最小值是石8 81本题正确结果：-8【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.三、解答题21.(1)⑵S=(n-1)2n+1+2⑶二-(n4)，>+1

n 3 3(n+1)-2n+21.(1)【解析】【分析】【详解】TOC\o"1-5"\h\z(1)由a=2a+2n+1得b=b+1，得b=n；n+1 n n+1 n n(2)易得a=n・2〃，S=1x21+2x22+...+〃x2〃，2s=1x22+2x23+...+〃x2〃+i,n n n1—2n错位相减得—S=21+22+•••+2〃—mx2n+1=2x -nx2n+1n 1-2(-1>(n2+n+2(n+1)+n所以其前n项和(-1>(n2+n+2(n+1)+n(-1>(n2+4n+2)2n (-1>(n2+4n+2)(3)c 寸 \ = 寸 \ n n-2n(n+1)2n+1 n?n+1)2n+1

0+(—1>2n+1k0+(—1>2n+1k苏+G+1)?2'(-1>_(-1>+1,

而一(n+1bn+1k 7«-1> (-1>+1)12 2?22k 7n2n (n+1)2n+1k7(-1>+12(n+4)(—1)n+1(n+1)22n+1或写成—3—3(n+1)22n+1点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；⑵在写出“S，，与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S-qS”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为nn参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22.(1)见解析(2)昱(3)亘4 7【解析】【分析】(1)连接OC,由BO=DO,人8=人口，知AOLBD,由BO=DO,8。=。口，知COLBD.在AAOC中，由题设知AO-1，CO-<3，AC=2,故AO2+CO2=AC2,由此能够证明人。，平面BCD；(2)取AC的中点M,连接OM、ME、OE,由E为BC的中点，知ME〃AB,OE〃DC,故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在4OME1历1 中，EM--AB-—，OE--DC-1,由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的22 2余弦;—，由AO=1,知S2 acdes-1xx△acd 2(3)设点E到平面ACD的距离为—，由AO=1,知S2 acdes-1xx△acd 2-1x且x2224求出点E到平面ACD的距离.【详解】(1)证明：连接OC,VBO=DO,AB=AD,.'AO±BD,;BO=DO,BC=CD,：,CO±BD.在^AOC中，由题设知AO-1,CO-<3,AC=2,・・・AO2+CO2=AC2,・・・NAOC=90°,即AO±OC.;AO±BD,BDHOC=O,・・・AO，平面BCD.(2)解：取AC的中点加，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点,知 OE//DC,・,・直线QE与EM所成的锐角就是异面直线A5与。。所成的角.TOC\o"1-5"\h\z1 1在石中，EM=—AB=J,OE=-DC=1,2 2 2是直角△AOC斜边AC上的中线，・・・。加=l~AC=1,1+——1 2•cos/OEM 2=--'. 2x1x4，乙人人2••・异面直线AB与CD所成角大小的余弦为与(3)解：设点E到平面ACD的距离为h.V-V,E—ACD A—CDE:.-h.S-1.AO.S3 ACDD3 CDEE在AACD中，CA-CD-2,AD-J2,•'"ACD=2X四XJ、与i=与，VAO=1,S -1x亘x22二立,TOC\o"1-5"\h\z△cde2 4 23 _7AO-S1x/ <21•h-^CE-F--T，ACDD --2【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题.

(1)见解析；⑵sina=&^7【解析】ni试题分析：.（1）取AP中点易证24,面。MB,所以K4LBD,（2）以所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，平面。PC的法向量ni,1,-73）,设平面PCS的法向量,=您,1,_代），cosqq=图向=亍,I”120n. 4^/3即sina .7试题解析：(1)证明：取AP中点"，连DM,BM,•：DA^DP,BA=BP：.PAIDM,PAIBM,•：DM^BM・・・24,面。〃8,又・：BDu面DMB,：.PALBD(2),:DA=DP,BA=BP,DA1DP,ZABP=6Oo・•・AZMP是等腰三角形，AAS尸是等边三角形，•:AB=PB=BD=2,工DM=1,BM=小.:・BD2=MB2+MD2,：.MD1MB以MP,MB,MD所产直线今啰为羽乂z轴建立空间直角坐标系,A（-l,0,0）, 尸（1,0,0）,D（0,0,1）从而得力？=从而得力？=（L0,—l）,DC，-50),BC=AD=(l,o,l)设平面分。的法向*=",设平面分。的法向*=",y,z,xiX+xiX+1・•・〃】n•DP=0贝M」•~nrn，即n•DC=0ii设平面PCS的法向量%=（々乂£）

万•舐=0

由1j•丽万•舐=0

由1j•丽=0,得,I2x+z-02_2x一<3y-02 2・・・n2(氏1,一,纭)————n•ncosn,n=由仁12M1n2设二面角D一PC一B为a・・.sina-设二面角D一PC一B为a点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.(1)(x-31+y2=9(2)2户.【解析】分析：(1)将P=6cos0两边同乘P，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|.详解：(1)由P=6cos0,得p2=6pcos0，化为直角坐标方程为x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9(2)将l的参数方程带入/C的直角坐标方程，得t2+2(cosa-sina)t-7=0因为△>因为△>0，可设(,t2是上述方程的两根，所以=-2(cosa-sina)t-t—-71 2又因为(2,1)为直线所过定点，.•.|pA|+p^B\="+卜卜/1T21-।1(t+1)2-4t,t1 1 2 1 2-%32-4sin2a><32-4-2<7所以|PA|+|PB|的最小值为2<7点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化