《等比数列的概念与通项公式》导学案

《等比数列的概念与通项公式》导学案Q情景引入ingjingyinru我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？X新知导学inzhidaoxue1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.2．等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列｛an｝的首项为a1,公比为q(qW0),填表：递推公式通项公式a ，一-*=q(nN2)an—ia= .qn-i3.等比中项(1)如果三个数x,G,y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项.⑵如果G是x和y的等比中项，那么G2=xy，即G=±、/X?.Y预习自测uxizice1.方程x2—5x+4=0的两根的等比中项是(B)TOC\o"1-5"\h\z，5 ।。A.- B.+2乙C.土击 D.2［解析］设方程的两根为x「x2，由韦达定理，得xix2=4,・•・两根的等比中项为±%工工=±2..下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2=ac,则a,b,c成等比数列；③2b=a+c,则a,b,c成等差数列；④任意两项都有等比中项.正确的有(B)A3 B.③C.①③ D.②④［解析］公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确，②中只有a, b,c都不为0才正确，④只有同号的两项才有等比中项，・•・只有③正确.

.在等比数列｛*｝中，a=8,a=64,则%等于(C)A.16C.32B.16A.16C.32D.32或一32%=3口2=8X22=32.4.已知等比数列｛*｝中，%=3口2=8X22=32.4.已知等比数列｛*｝中，a=-2,［解析］设公比为5贝根=&3,%=-8,贝lj备=一2门或(一2)n.•一8 ， . ।c•«Q2-q-4,••q=±2.一z...a=(—2)X2n-i=12n或a=(-2)X(―2)n-i=(-2)n.n5.若等比数列｛an｝满足anan+1=16n,求公比q的值.［解析］ 由anan+］=16n,得a1a2=16,a2a3=I62,aa.•・一=q2=16,a1a2.•.q=±4.又,.,&产2=02口=16＞0,...口＞0,；.口=4.H 互动探究解疑udongtanjiujieyi命题方向1中等比数列的通项公式例题1已知等比数列｛an｝,若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.［分析］(1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数a1和q,故需建立a1与q的两个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写成a1与q的关系式即可.(2)由等比中项的定义知，a2是a(2)由等比中项的定义知，a2是a1与a3的等比中项，故可先由a1a2a3=8求得a2,再解关于a1与a3的方程组，即可获解.&3=芋2,代入已知得，31+q+q2=7①・•・41一 .aq=2②11［解析］解法一:-a1+a1q+a1q2=7a1•a1q•a1q2=8由等比数列的定义知a2=a1q，即a11+q+q2=7a3q3=81由②得%=2,代入①得2q2-5q+2=0,q当q=2时，a1=4,an=23-n..•.q=2,或q=2当q=2时，a1=4,an=23-n.解法二：•.,aa=a2,；.aaa=a3=8,..a=2.13 2 123 2 2从而＜13 ，解之得a=1,a=4,或a=4,a=1,当a=1时，q=2；当aa1a3=4 13 13 1 1=4时，q=2.故an=2n-1,或an=23-n.『规律总结』求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样，运用方程的思想，建立基本量的方程(或方程组)求解，在a1,an,n,q四个量中，已知三个可求另一个.〔跟踪练习1〕在等比数列｛a｝中，n(1)a4=2,a7=8,求an；(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.［解析］(1)设公比为q,由题意，得TOC\o"1-5"\h\z，aq3=2 ①《1 …aq6=8 ②1由①得q3=4，,q=3/4.・・.a］q32TOC\o"1-5"\h\zI -^.\an=a1qn-1=2X43=23.(2)设公比为q,由题意，得，aq+aq4=18 ①《1 1 …&甘+&产5=9 ②②1由①得口=2,；鸡=32.1、又an=1,..32X(2)n-1=1,即26-n=2o,；.n=6.命题方向2中等比数列的判定与证明例题2已知数列｛an｝满足%=1,an+］=2an+1,bn=an+1(n£N*).⑴求证｛bn｝是等比数列；(2)求｛a｝的通项公式.n［分析］(1)欲证｛b｝是等比数列，须证”为常数，又b=a+1,，b上=a上+1,故n b nn n＋1 n＋1只须将条件式变换为an+1+1与an+1的关系式即可获证.(2)只要求出了出｝的通项公式，就可以求出｛a｝的通项公式.nn［解析］(1)证明：•.,an+1=2an+1,，an+1+1=2(an+1),即bn+］=2bn,•.•b=a+1=2W0..・.bW0,.・.J=2,・・・｛b｝是等比数列.11 n b nn(2)由(1)知｛bn｝是首项4=2,公比为2的等比数列，

TOC\o"1-5"\h\z.*.bn=2X2n-i=2n,即*+l=2n, 1.『规律总结』 判定数列是等比数列的常用方法⑴定义法："=q（常数）或9=q（常数）（nN2）=｛a｝为等比数列.a nn n—1（2）等比中项法a2=a•a（aW0,n£N*）=｛a｝为等比数列.n+1nn+2n n⑶通项法：an=a1qn-i（其中a1、q为非零常数，n£N*）=｛an｝为等比数列U.〔跟踪练习2〕数列｛an｝满足a1=—1，且an=3an―1—2n+3(n£N*,且nN2).(1)求a2,a3,并证明数列U｛an—n｝是等比数列；⑵求数列｛a｝的通项公式.n［解析］(1),.,&］=—1,a=3a1—2n+3,Aa2=3ai—2X2+3=—4,Aa3=3a2—2X3+3=—15.an+1—n+1 3a—2n+1+3-n+1a—n a—n3a3a—3n

n

a—n=3(n=1,2,3,又3—1=—2,・・・｛索一川是以一2为首项，以3为公比的等比数歹1J.（2）由（1）知a—n=—2•3n—1,故a=n—2•3n—1.1,a2是巴和汽的等比中项，则数歹ij｛aj1,a2是巴和汽的等比中项，则数歹ij｛aj例题3等差数列｛a｝的公差不为零，首项a=n 1的前10项之和是（B）A.90B.100C.145A.90B.100C.145D.190［解析］设公差为d,由题意得空=%・1•••a1=1,・..(1+d)2=1+4d,・・.d2—2d=0,：dW0,・..d=2,0 ,10X9 皿3•.・S10=10X1+-X2=100，故选B.『规律总结』等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用.②用来判断或证明等比数列.〔跟踪练习3〕在等比数列｛an｝中，a「a9是方程7x2—18x+7=0的两个根，则a=1.［解析］•.q,a9是方程7x2—18x+7=0的两个根，・・・&5・4=1.又a7是a5,a9的等比中项，.•.a2=a5・a9=1,；.a7=±1.a-a=1>0，Aa5>0，a9〉0，二•在等比数列中所有奇数项的符号相同，.•・a〉0，..・a=1.Yihun易混易j示gshi忽视等比中项的符号致错例题4等比数列｛aj的前三项的和为168，&2—&5=42,求&5、a,的等比中项.［错解］设该等比数列的公比为q，首项为a,・%—&5=42，.・・V1，由已知得《-a1+a1q+a1q2=168a1q—a1q4=42311+q+q2=168①a1q1—q3=42②V1—q3=(1—q)(1+q+q2),.由②除以①，得q(1—q)=4.::a5、a7的等比中项为a6，・・.a5、［辨析］错误的原因在于认为a5co. v/1、c=96..a6=a1q5=96X(2)5=3.a7的等比中项为3.a的等比中项是a，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数.［正解］设该等比数列的公比为q首项为a1，：a2—a5=42，.，・qW1,由已知，得I31+&产+&甘=168a1q—a1q4=42311+q+q2=168①、a1q1—q3=42② ② 1•1—q3=(1—q)(1+q+q2)，••由①得q(1—q)=4,42——=96.24令G是a、a的等比中项，则应有G2=aa=aq4・aq6=a2q10=962X

5 7 57 1 1 110=9,••.a5、a7的等比中项是±3.X学科核心素养 数列的实际应用问题uekehexinsuyang例题5某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.⑴用一个式子表示第n(n£N+)年这辆车的价值；⑵如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱?［分析］根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决.［解析］(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1,a2,a3,…，an,由题意，得%=13.5,a2=13.5(1—10%),%=13.5(1—10%)2,….由等比数列定义知数列｛an｝是等比数列，首项a1=13.5,公比q=(1—10%)=0.9,Aan=ai•qn—i=13.5X(0.9)n-i..•.第n年车的价值为an=13.5X(0.9)n-i万元.(2)当他用满4年时，车的价值为a5=13.5X(0.9)5-1=8.857.・•・用满4年卖掉时，他大概能得8.857万元.『规律总结』解答数列实际应用问题的一般思路(1)建模：根据题设条件，建立数列模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数列模型；(2)解模：利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解；(3)还原：把数学问题的解还原为实际问题,针对实际问题的约束条件合理修正,使其成为实际问题的解．K课堂达标验收etangdabiaoyanshou1.已知等比数列｛an｝满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于(A)A．64 B．81C.128 D.243［解析］设等比数列的公比为q,*/a1+a2=3,a2+a3=q(a1+a2)=6,Aq=2.又ai+a2=a1+a1q=3,A3ai=3.Aa1=1,Aa7=26=64..在等比数列｛an｝中，a3+a4=4,a2=2,则公比q等于(B)A.—2 B.1或一2C.1 D.1或2［解析］,「在等比数列｛an｝中，a3+a4=4,a2=2,/.a3+a4=a2q+a2q2=2q+2q2=4,即q2+q—2=0.解得q=1或q=-2.故选B.TOC\o"1-5"\h\z.等比数列｛a｝中，a=9,a=1,公比q=2,则n=4.n 18n3 3192 2 8［解析］由an=a1qn-1，得3=8X(3)n-1,即(3)n-1=27，故n=4.A级基础巩固一、选择题1.已知匕｝是等比数列，a=2,a=1,则公比q=(D)n 3 64

1A.一石乙C．2B．－2D．aiq2=2［解析］由条件得J 11A.一石乙C．2B．－2D．aiq2=2［解析］由条件得J 1〔aiq5=4•「『01qW0,；.q3=%,82.在等比数列｛an｝中，ai=j,q=2,则%与气的等比中项是（B）A.±4B.4C.D.［解析］由题意,得「汽产）2-1，1&8=&苫=8*27=16,・•・%与气的等比中项为a6=4.3.互不相等的实数a,b,c成等差数列，a=（D）A.4C.－2c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10,则B.2D.－4，2b=a+c解析］由题意知tbc ,消去a得4b2—5bc+C2=0，,.,bWc,...c=4b,；.a=—2b,代入a+3b+c=10中解得b=2,；.a=-4..等比数列｛an｝的首项%=1,公比qW1,如果a/a2,a3依次是等差数列的第1、2、5项，则口为（B）A.2 B.3C.—3 D.3或一3［解析］设等差数列为｛bn｝,则U4='=1,b2=1+d,b5=1+4d,由题设（1+d）2=1abx（1+4d）,；.d=2或d=0（与qW1矛盾舍去），.，也;？，公比q=a=b=3.11.已知等比数列｛an｝的公比为q,若a2,a5的等差中项为4,a5,4的等差中项为8/，

则log：q的值为(A)A．B．A．C．－2 D．2［解析］由已知得“［解析］由已知得“2+@5=8@§+@8=16\f2Ja1q+a1q4=8Laiq4+a1q7=16^/2解得q解得q='\/2，，10叼口=10盯\；'2=1og2－1一=———og2－12 2.6．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是(D)A．\'152B1TA．\'152B1TB.2C．D．\；5—1［解析］由已知得an=an+i+an+2,即a1qn-i=a1qn+a1qn+i,••.q2+q=1，解得q=一1±.’5巾 Xi'5—1乂q〉0,・\q=,乙、填空题［解析］a3=3同=3847.已知等比数列｛an｝中，a3=3,a0=384,则该数列的通项a=［解析］a3=3同=384a1q2=3，

a1q9=3843/.3/.q7=128,Aq=2,Aa1=4/.an=a1qn-1=3•2n-3.8已知等比数列前3项为2-4,1,则其第8项是一二会—.［解析］1 1 1［解析］•・q=2，a2=a1q=2q=-4,1・・.q=1・・.q=-2,aq7=1X(-1)7=一1三、解答题9.在各项均为负数的数列｛an｝中，已知2*=3*+1，且％・&5=27,证明｛an｝是等比数列，并求出通项公式．［证明］V2an=3an+1,••・9=2,故数列｛a｝是公比q=2的等比数列.an3 n 3又a2•a5=2p贝Ua1q•a甘=27，22即a2•(3)5=(3)3.由于数列各项均为负数，则a=—3.1232 2/.an=—2x(3)n—1=一(3)n—2.(2018—2019学年度山东菏泽一中高二月考)已知数列｛an｝为等比数列，an>0,a1=2,2a2＋a3=30.(1)求a；n(2)若数列｛bn｝满足"+］="+*,”=%，求b5.［解析］(1)设公比为q，由题意得2al口+&y=30，.•・4q+2q2=30，.•.q2+2q—15=0，.•・q=3或一5.Van>0，Aq=3./.an=a1qn—1=2•3n—1.(2)Vb1=a2，Ab1=6.又bn+1=bn+an，Abn+1=bn+2^3n—1.“=4+2X30=6+2=8，b3=b2＋2x31=8＋6=14，b4=b3+2x32=14+18=32，b5=b4+2x33=32+54=86.B级素养提升一、选择题.已知同｝是公比为q(qW1)的等比数列，an>0，m=a5+a6，k=a4+a7，则m与k的大小关系是(C)A.m>k B.m=kC.m<k D.m与k的大小随q的值而变化［解析］m—k=(a5+a6)—(a4+a7)

=(a5-a4)-(a7-a6)=a4(q—1)—a6(q—1)=(q—1)(a4—a6)=(q—1)•a4•(1—q2)=—a4(1+q)(1—q)2<0(Va>0,qW1)..数列｛an｝是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列｛bn｝的连续三项，则数列｛b｝的公比为(C)nTOC\o"1-5"\h\zA.g B.41C.2 D.-乙［解析］・・匕1、a3、a7为等比数列｛bn｝中的连续三项，Aa2=a・a,设｛a｝的公差为d,则dW0,317 n.,.(a+2d)2=a(a+6d),；.a=2d,1 11 1；•公比q=K=;^=2,故选C.a12d.已知/a2,a3,…，a8为各项都大于零的等比数列，公比口/1,则(A)A.a1＋a8>a4＋a5B.a1＋a8<a4＋a5&1+&8=&4+&5a1+a8与a4+a5大小不定［解析］由条件知，(ai+a8)—(a4+a5)=ai(1+q7—q3—q4)=ai［(1—q3)+q4(q3—1)］=a1(1—q3)(1—q4)=a1(1—q)(1+q+q2)•(1—q2)(1+q2)=a1(1—q)2(1+q)(1+q2)(1+q+q2).Vq>0且qW1,a1>0,.(a1＋a8)—(a4＋a5)>0,.a1＋a8>a4＋a5..若正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax,logbx,logcx(C)A.依次成等差数列 B.依次成等比数列C.各项的倒数依次成等差数列C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列［解析］十喘［解析］十喘x=loga+logc=log(ac)=logb2ac=2logb=

x2

=2logb=

x2

logbx1logx，1logbx，高成等差数列.c、填空题.在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是192.［解析］由条件得，768=6Xq7,解得q=2..•・a=6X25=192.6.某林场的树木每年以25%的增长率增长，则经10年末的树木总量是今年的—％倍.［解析］设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为an，则&_=*+*X25%=1.25an.则『=1.25,则数列｛a｝是公比q=1.25的等比数列.a nn贝Ua10=a1q9=1.259m.所以4=1.259.a1三、解答题.等比数列｛an｝中，已知3=2,a4=16.(1)求数列｛a｝的通项公式；n(2)若a3、a5分别为等差数列｛bn｝的第3项和第5项，试求数列｛bn｝的通项公式及前n项和Sn.［解析］⑴设｛a｝的公比为q,n