【公开课】平面向量基本定理课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1平面向量基本定理第六章

平面向量及其应用新知探究

我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。启发：可以逆用平行四边形法则，尝试将一个向量分解成两个向量的和的形式.力的分解是向量分解的物理模型，分解过程运用了平行四边形法则.新知探究探究

如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？OMN新知探究OMN思考1再给出另一个向量a，还能这样表示吗？思考2与e1或e2共线的向量，能这样表示吗？e1aa=λ1e1+0e2e2aa=0e1+λ2e2新知探究思考3

如果给定的两向量e1，e2共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？

不能，此时λ1e1+λ2e2与e1，e2共线，当向量a与它们不共线时，则无法表示.结论

：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.新知探究思考4零向量，也能这样表示吗？OMN结论

：平面上任意一个向量a都可以表示为：a=λ1e1+λ2e2新知探究探究3

现在我们知道，平面内任何一个向量a，都可以用两个不共线的向量e1，e2表示为a=λ1e1+λ2e2.在这种表示方法中，这样的实数λ1，λ2是唯一的吗？如何证明？结论

：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.你能把上述探究发现的结果，用数学语言描述出来吗？结论

：平面上任意一个向量a都可以表示为：a=λ1e1+λ2e2结论

：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.结论

：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.新知探究平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．平面向量基本定理

如果e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）．平面向量基本定理思考

作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？一组不共线的向量可以作为基底.零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.思考

一个平面内的基底有多少对？无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.思考

若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？可以不同，也可以相同平面向量基本定理

如果e1，e2不共线，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，则1.(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(

)A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2【解析】选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，所以不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．√√√习题演练3习题演练3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于____.习题演练例题讲解例1如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量例题讲解例2

如图，不共线，且，用表示.所以因为解法二：解：

结论：若A，B，P三点共线，O为直线外一点

如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，，用a，b表示CABEDF（课本P27T1）

习题演练例题讲解例3

如图CD是△ABC的中线，，用向量方法证明△ABC是直角三角形.分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示．可选为基底，表示，．证明，从而证得△ABC是直角三角形．例3

如图CD是△ABC的中线，，用向量方法证明△ABC是直角三角形.例题讲解证明：如图，设所以因为，所以CD＝DA．所以．则因为1、筑基分解2、转化条件3、向量运算4、还原答案如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于点E，求证：E为线段BD的一个三等分点．

习题演练习题演练1.知识点：