浙教版八年级竞赛培优训练第2讲 全等三角形

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全等三角形【思维入门】1．已知eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)B与△的周长相等，现有两个判断：①若＝AB，A＝，则△C≌eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC；②若∠＝∠A，∠B＝∠B，则△C≌△BC.对于上述的两个判断，下列说法正确的是

()A．①正②错误C．①②都错误

B．①错误②正确D．①②都正确2．如－－1，BEF在一条直线上AB∥DEAB＝DE＝CF＝6，则DF____．图1－2－13．如图1－2，BCEC，∠＝∠，添加一个适当的条件使ABC≌△，则需添加的条件是_不添加任何辅助线)．图1－2－24．如12－3，已知△ABC，＝，点D，E在BC，要使△ABD≌△ACE，则只需添加一个适当的条件：____(只填一个即可．图1－2－3

5．如图12－4，已知∠＝∠C添加一个条件使ABD≌△(标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是____(只填一个即可．图1－2－46．如－－，点B在线段上，BC∥，＝EDBC＝DB，求证：A＝∠图1－2－5【思维拓展】7．如－－，在四边形中，AB＝AD＝CD，若连BD相交于点O则图中全等三角形共有

()A．1对C．3

图1－2－6B．2对D．对8．如图－－7①，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转△ACB的位置，其AC交AD点E′B′分别交AD，于点F，，则在图1－2－7②中，全等三角形共有

()A．5对C．3

B．4对D．对

图1－2－79．如1－2－8，ABC与△均是等腰直角三角形，∠＝∠DCE＝°，在上，连结请找出一对全等三角形，并说明理由．图1－2－810【问题提出】学习了三角形全等的判定方(即“””SSS直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和△DEF，＝DF，＝EF，＝∠E，然后，对进行分类，可以分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B为直角时，△≌△.如图12－9①，在△ABC和△DEF中，AC＝，BC＝，∠＝∠＝90，根据____，可以知道ABC≌Rt△.图1－2－①

第二种情况：当∠B为钝角时，△≌△.如图12－9②，在△和△DEF中ACDF，＝，∠＝∠，且∠B，∠都是钝角，求证：△≌△DEF.图1－2－②第三种情况：当∠B为锐角时，△和△DEF不一定全等．在△ABC和△DEF中，＝DF，＝EF，＝∠E，且，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，△DEF和△不全等．(不写作法，保留作图痕迹)图1－2－③∠B要满足什么条件，就可以使得△ABC≌△DEF请直接填写结论：在△ABC和△DEFDFBC＝B∠∠B都是锐角____，则△ABC≌△.【思维升华】11如图1－2－10已知△ABC的面积为，将△沿的方向平移到△AB′的位置，使和C重合连结，交C于D，则△DC的面积为()A．4B．6C．8D．1212一个三角形的三条边的长分别是3，7另一个三角

图1－210形的三条边的长分别是3，3x－2，2x－1.若这两三角形全等，则x的值是_13如－2－11，已AB＝AC，BAC＝∠CDE＝°＝F是的中点，求证：FAFD

图1－2－11第

全等三角形【思维入门】

1122212212111211211221已知eq\o\ac(△112221221211121121122①若＝AB，A＝，则△C≌eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC；②若∠＝∠A，∠B＝∠B，则△C≌△BC.对于上述的两个判断，下列说法正确的是

(D)A．①正②错误C．①②都错误

B．①错误②正确D．①②都正确2．如－－1，BEF在一条直线上AB∥DEAB＝DE＝CF＝6，则DF__6__．图1－2－13．如图1－2，BCEC，∠＝∠，添加一个适当的条件使ABC≌△，则需添加的条件是__＝∠E∠＝∠D或＝DC不唯一)__(不添加任何辅助线)．图1－2－24．如12－3，已知△ABC，＝，点D，E在BC，要使△ABD≌△ACE，则只需添加一个适当的条件：＝或∠＝∠CAE或∠ADB＝∠，答案不唯一_只填一个即可)．图1－2－35．如图12－4，已知∠＝∠C添加一个条件使ABD≌△(标注新的字母，

不添加新的线段)你添加的条件是__＝＝或＝或＝答案不唯一_只填一个即可)．图1－2－46．如－－，点B在线段上，BC∥，＝EDBC＝DB，求证：A＝∠图1－2－5证明：∵DE∥，∴∠ABC＝∠BDE.又∵＝DE＝，∴△ABC()．∠＝∠E.【思维拓展】7．如－－，在四边形中，AB＝AD＝CD，若连BD相交于点O则图中全等三角形共有

(C)A．1对C．3

图1－2－6B．2对D．对8．如图－－7①，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB

绕点C按顺时针方向旋转△ACB的位置，其AC交AD点E′B′分别交AD，于点F，，则在图1－2－7②中，全等三角形共有

(B)A．5对C．3

B．4对D．对图1－2－79．如1－2－8，ABC与△均是等腰直角三角形，∠＝∠DCE＝°，在上，连结请找出一对全等三角形，并说明理由．图1－2－8解eq\o\ac(△,：)ACD≌△理由如下：∵∠ACB＝DCE＝90°，∴∠ACB－∠＝∠－∠DCB，即∠ACD＝∠又∵AC＝，CD，∴△ACDBCE)．10【问题提出】学习了三角形全等的判定方(即“””SSS直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和△DEF，＝DF，＝EF，＝∠E，然后，对进行分类，可以分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B为直角时，△≌△.如图12－9①，在△ABC和△DEF中，AC＝，BC＝，∠＝∠＝90，根据__HL__，可以知Rt△≌Rt△DEF.图1－2－①第二种情况：当∠B为钝角时，△≌△.如图12－9②，在△和△DEF中ACDF，＝，∠＝∠，且∠B，∠都是钝角，求证：△≌△DEF.图1－2－②第三种情况：当∠B为锐角时，△和△DEF不一定全等．在△ABC和△DEF中，＝DF，＝EF，＝∠E，且，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，△DEF和△不全等．(不写作法，保留作图痕迹)图1－2－③∠B要满足什么条件，就可以使得△ABC≌△DEF请直接填写结论：在△ABC和△DEF，＝DFBC，∠B＝∠，且，∠都是锐角，若__∠≥∠__，则△≌△DEF.

解：(1)HL；证明：如答图①，过点C作⊥，交AB的长线于，过点F作⊥DE，交DE的延长线于H，∵∠ABC＝∠DEF，且∠，∠DEF都是钝角，∴180－∠＝180－∠DEF，即∠CBG＝∠，CBG＝∠FEH，在△CBG和△FEH中，∠H＝90，＝EF，∴△FEHAAS，∴CG＝FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，＝FH，∴Rt△ACGRt△DFHHL)，∴∠A＝∠D，∠D，在△ABC和△DEF，＝∠DEF，＝DF，∴△ABCDEF(AAS；第10答图①如答图②，△和不全等；

2eq\o\ac(△,)′DC△ABC32eq\o\ac(△,)′DC△ABC33第10答图②∠B≥∠A.【思维升华】11如图－－，已知△ABC的面积为24，将沿的方向平移到△的位置和C重，交A于D，则△CDC的面积为(D)

△ABC合结图1－2－A．4B．6C．8D．12【解析】∵∥′，且CC，∴D为的中点，又∵BC＝，∴S

1＝＝×＝12.12一个三角形的三条边的长分别是3，，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x－2，2x－1.若这两个三角形全等，则的值是_3__．【解析】∵两个三角形全等，7当3x－2＝5时，＝，7把＝代入2x－1中，2x－1≠7，∴3－25是对应边，当3x－2＝7时，＝，把＝3入2－1，x－15.∴x的值为3.13如－2－11，已AB＝AC，BAC＝∠CDE＝°＝F是的中点，求证：FAFD

图1－2－11证明：如答图，连结AF，，并延长至G，使