选修4-4 第二节参数方程

第二节参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数_________并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程.

2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程

轨迹普通方程参数方程直线y-y0=tanα(x-x0)(α≠点斜式)

x=_________,y=_________.(t为参数)

圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)x=_________,y=_________.(θ为参数)

x0+tcosαy0+tsinαa+rcosθb+rsinθ轨迹普通方程参数方程椭圆

＝1(a＞b＞0)x=_______,y=_______.(φ为参数)双曲线

＝1(a＞0，b＞0)x=_______,y=_______.(φ为参数)

抛物线y2＝2px(p＞0)x=____,y=____.(t为参数，p＞0)acosφbsinφasecφbtanφ2pt22pt判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)曲线的参数方程中的参数都有实际意义.()(2)参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的.()(3)圆的参数方程中的参数θ与椭圆的参数方程中的参数φ的几何意义相同.()(4)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不惟一.()【解析】(1)错误.曲线的参数方程中的参数，可以具有物理意义，可以具有几何意义，也可以没有明显的实际意义.(2)错误.把普通方程化为参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致.(3)错误.圆的参数方程中的参数θ表示半径的旋转角，而椭圆的参数方程中的参数φ表示对应的大圆或小圆半径的旋转角，即离心角.(4)正确.用参数方程解决转迹问题，若选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

考向1直线的参数方程与应用

【典例1】直线(t为参数)的倾斜角为______.【思路点拨】将直线的参数方程化为普通方程，利用直线的斜率求倾斜角；也可以将直线的参数方程化为标准形式再确定倾斜角.【规范解答】方法一:直线(t为参数)的普通方程为y=斜率k=即tanα=又α∈［0，π)，∴α=故直线的倾斜角为方法二：直线(t为参数)即直线(t为参数)，令t′=2t，得故直线的倾斜角为答案：【互动探究】本例中条件不变，M0(1，-2)，当参数t=1时对应直线上的点为M,则|MM0|=______.【解析】本例中，M0(1，-2)为直线上的点，当参数t=1时对应直线上的点为M(0,-2+)，则|MM0|=2.答案：2【拓展提升】直线的参数方程的标准形式的应用设过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是

(t是参数)若M1,M2是l上的两点，其对应参数分别为t1,t2，则(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，(x0+t2cosα,y0+t2sinα).(2)|M1M2|=|t1-t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t=中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=||.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1+t2=0.【变式备选】直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，则|PQ|=______.【解析】方法一:将直线l的参数方程化为普通方程为y=3-x，与方程2x+y-2=0联立解得点Q的坐标为(-1,4)，∴|PQ|=方法二:将直线l的参数方程化为标准形式为代入2x+y-2=0得t′=∴|PQ|=|t′|=答案：考向2圆的参数方程与应用【典例2】(1)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为______.(2)(2013·湛江模拟)设P(x,y)是曲线C：(θ为参数)上任意一点，则的取值范围是______.【思路点拨】(1)将曲线的参数方程化为普通方程，利用直线与曲线的位置关系解决.(2)将参数方程代入转化为三角函数求取值范围，也可以利用曲线的普通方程以及判别式法解决.【规范解答】(1)曲线C的普通方程为(x－2)2+y2=1，这是圆心为(2，0)，半径为1的圆，圆心到直线3x-4y+4=0的距离是故直线与圆相离，所以圆C上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为3.答案：3(2)方法一：由P(x,y)是曲线C：(θ为参数)上任意一点，则即sinθ-kcosθ=-2k，得sin(θ-φ)=-2k，sin(θ-φ)=所以0≤()2≤1，即k2≤解得所以的取值范围是［］.方法二:由曲线C：(θ为参数)得(x+2)2+y2=1,令k=即y=kx，代入圆的方程，得(x+2)2+(kx)2=1，即(1+k2)x2+4x+3=0，由题意，得Δ=42-3×4(1+k2)≥0，即k2≤解得所以的取值范围是［］.答案：［］【拓展提升】直线与圆的位置关系(1)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的普通方程联立所求得的一元二次方程的根的判别式为Δ，则

位置关系几何性质判别式

相交d＜rΔ＞0相切d=rΔ=0相离d＞rΔ＜0(2)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离的最大值为d+r，最小值为d-r.【提醒】判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法(即判别式法)两种，解题时要灵活选取不同的方法.【变式训练】(1)若P(2,-1)为曲线(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为____________.【解析】曲线(0≤θ＜2π)的普通方程为(x-1)2+y2=25,表示圆心为C(1,0)，半径为5的圆，直线CP的斜率弦所在直线的斜率为1，所以弦所在直线的普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.答案：x-y-3=0(2)(2012·西安模拟)若直线l:x-y=0与曲线C：(φ为参数，a＞0)有两个公共点A,B，且|AB|=2，则实数a的值为______.【解析】曲线C：(φ为参数，a＞0)的普通方程为(x-a)2+y2=2，表示圆心为(a,0)，半径为的圆.由|AB|=2，得圆心到直线的距离为1，即得|a|=2，∵a＞0，∴a=2.答案：2

考向3圆锥曲线的参数方程与应用【典例3】(1)若点P(x,y)是曲线x2+3y2=3上一点，则x+y的取值范围是______.(2)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为______.【思路点拨】(1)由椭圆的参数方程化为求三角函数的取值范围.(2)将曲线的参数方程化为普通方程联立方程组解得交点坐标.【规范解答】(1)曲线x2+3y2=3即+y2=1，由椭圆的参数方程

(θ为参数，θ∈R)，得x+y=cosθ+sinθ=2sin(θ+)，则x+y的取值范围是［-2，2］.答案：［-2，2］(2)曲线C1和C2的普通方程分别为y2=x(y≥0)和x2+y2=2，联立方程组，解得x=1,y=1，所以曲线C1与C2的交点坐标为(1,1).答案：(1,1)【拓展提升】圆锥曲线的参数方程的特点(1)椭圆、双曲线的参数方程与三角函数的关系密切，解题时要注意角的取值范围；抛物线的参数方程与一次函数和二次函数有关，解题时注意二次方程的性质及其应用.(2)一般地说，如果题目中涉及圆锥曲线上的动点，应考虑用参数方程来表示点的坐标，可使解题目标明确，过程表达清晰，求解方便.【变式训练】(1)椭圆=1(a＞b＞0)与x轴正方向交于点A，O为原点，若椭圆上存在点P，使OP⊥AP，则椭圆离心率e的取值范围是______.【解析】设椭圆=1(a＞b＞0)上的点P的坐标为(acosθ,bsinθ)，O(0,0)，A(a,0),由OP⊥AP，得·=0,即(acosθ,bsinθ)·(acosθ-a,bsinθ)=0，得a2cos2θ-a2cosθ+b2sin2θ=0，整理，得e2=得＜e2＜1，即＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是(1).答案：(1)(2)(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：

(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a=______.【解析】曲线C1：(t为参数)的普通方程为y=3-2x，与x轴的交点为(0)；曲线C2：(θ为参数)的普通方程为=1，其与x轴交点为(-a,0),(a,0)，由a＞0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知a=答案：考向极坐标方程与参数方程的综合题【典例】(1)(2013·珠海模拟)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：

(θ为参数)和曲线C2：ρ=1上，则|AB|的最小值为______.(2)已知极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数)，则曲线C上的点到直线l的最短距离为______.【思路点拨】(1)将曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程，利用曲线的位置关系以及几何性质求解.(2)将曲线(含直线)的极坐标方程和参数方程化为直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系以及几何性质求解.【规范解答】(1)曲线C1：(θ为参数)的普通方程为(x-3)2+(y-4)2=1，曲线C2：ρ=1的直角坐标方程为x2+y2=1，两圆的圆心距为|C1C2|==5＞R1+R2=2,所以两圆外离，依题意，|AB|的最小值为|C1C2|-(R1+R2)=5-2=3.答案：3(2)将曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，得x2+y2-2x=0，即(x-1)2+y2=1，这是圆心为C(1,0)，半径为1的圆.将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程，得4x-3y+3=0，则圆心到直线的距离为故直线与圆相离，所以圆C上的点到直线l的最短距离为d-r=答案：【互动探究】本例(1)(2)中条件不变，则(1)|AB|的最大值为______.(2)曲线C上的点到直线l的最远距离为______.【解析】(1)由于两圆外离，点A，B分别在两个圆上，则|AB|的最大值为|C1C2|+(R1+R2)=5+2=7.答案：7(2)由于直线与圆相离，则圆上的点到直线l的最远距离为答案：【拓展提升】圆与圆的位置关系以及应用(1)两圆的位置关系以及意义(两圆半径分别为R,r，且R≥r,d为圆心距)位置图形定义几何性质交点个数

外离两圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部d>R+r0个外切两圆有唯一的公共点，且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部

d=R+r1个位置图形定义几何性质交点个数相交两圆有两个公共点R-r<d<R+r2个内切两圆有唯一的公共点，且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部d=R-r1个内含两圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部d<R-r0个(2)若圆C1与圆C2外离，圆心距为d,两圆的半径分别为R,r，动点A在圆C1上，动点B在圆C2上，则A,B之间距离的最小值为d-R-r，最大值为d+R+r.【变式备选】(1)(20