选修4-5 第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式

第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种

作差比较法作商比较法理论依据a>b______a<b______a=b

______

b>0,>1a>bb<0,>1

a<b

适用类型适用于___________特征的不等式的证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明a-b>0a-b<0a-b=0具有多项式2.综合法和分析法(1)综合法一般地，从_________出发，利用_____、公理、_____、性质等，经过一系列的_____、_____而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由因导果法.已知条件定义定理推理论证顺推证法(2)分析法证明命题时，从___________出发，逐步寻求使它成立的___________，直至所需条件为_________或___________________(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法.

要证的结论充分条件已知条件一个明显成立的事实3.反证法(1)假设要证的命题_______，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和____________(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明___________，我们把它称为反证法.(2)证明步骤：反设→归谬→肯定原结论.

不成立命题的条件原命题成立4.放缩法(1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_____或_____，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.(2)理论依据a＞b,b＞c

a___c.

放大缩小＞5.数学归纳法(1)数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当____时命题成立；②假设当__________________时命题成立，证明______时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.n=n0n=k(k∈N+,且k≥n0)n=k+1(2)数学归纳法的基本过程判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若>1,则x+2y>x-y.()(2)已知a>b>-1,则()(3)设t=s=(b>a>0)，则s≥t.()(4)证明可用比较法证明.()(5)数学归纳法的第一步n的初始值一定为1.()【解析】(1)错误.若x-y<0，则有x+2y<x-y.(2)正确.∵a>b>-1,∴a+1>b+1>0,∴(3)错误.∵b>a>0,∴a-b<0,a(a+1)>0,∴∴s<t.(4)错误.该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好用分析法.(5)错误.数学归纳法中的第一步n的初始值不一定为1，如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第1个值n0=3.答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×

考向1比较法证明不等式【典例1】(1)当x∈R时，1+2x4与2x3+x2的大小关系为_______.(2)已知当a,b∈(0,+∞)时，aabb与的大小关系为_________.【思路点拨】(1)中两式作差后可判断差的符号，故可利用作差法判断1+2x4与2x3+x2的大小关系.(2)中是幂指数型的代数式，可利用作商法判断其大小.【规范解答】(1)方法一：(1+2x4)-(2x3+x2)=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(2x3-2x+x-1)=(x-1)[2x(x2-1)+(x-1)]=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x+)2+]≥0，∴1+2x4≥2x3+x2.方法二：(1+2x4)-(2x3+x2)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1=(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0，∴1+2x4≥2x3+x2.答案：1+2x4≥2x3+x2(2)当a=b时，当a＞b＞0时，则＞1.当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0，则＞1.综上可知，当a，b∈(0，+∞)时，成立.答案：【互动探究】本例(2)条件不变，则与abba的大小关系为____________.【解析】当a=b时，当a＞b＞0时，0＜＜1，＞0，＜1;当b＞a＞0时，＞1，＜0，＜1，∴≥abba.答案：≥abba【拓展提升】比较法证明不等式的几点说明(1)一般地，当所证不等式的两边均为整式(多项式)时，可考虑用作差比较法.(2)作差比较法证明不等式的一般步骤是作差、变形、判断符号、得出结论.(3)变形整理是关键，变形的目的是为了判断差的符号，常用的变形方法有：因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(4)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(5)利用作商比较法时，要注意分母的符号.【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另外，要比较的两个代数式均为正值，且不宜用作差比较法时，也常用作商比较法.【变式备选】若a,b,m,n都为正实数，且m+n=1,则与的大小关系为___________.【解析】∵()2-()2=ma+nb-m2a-n2b-2mn=m(1-m)a+n(1-n)b-2mn=mna+mnb-2mn=mn(

)2≥0,且

>0,

>0,∴答案：考向2综合法与分析法的应用【典例2】(1)已知a+b+c=1,则ab+bc+ca的最大值为______.(2)已知x>0,y>0,设则s与t的大小关系为____________.【思路点拨】(1)已知条件是a，b，c和的形式，可考虑将已知条件两边平方然后结合基本不等式求解.(2)可先采取特殊法比较s与t的大小关系，然后去证明.【规范解答】(1)由a+b+c=1得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca),∴ab+bc+ca≤当且仅当a=b=c时等号成立.答案：(2)令x=y=1,则由y=2x在R上为增函数，∴猜想s>t，证明如下：要证明只需证明(x2+y2)3>(x3+y3)2，即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6，即证3x4y2+3x2y4>2x3y3.∵x>0,y>0,∴x2y2>0,即证3x2+3y2>2xy.∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy,∴3x2+3y2>2xy成立,∴即s>t.答案：s>t【拓展提升】1.综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个：①a2≥0(a∈R).②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有：a2+b2≥2ab,≥ab,a2+b2≥(a+b)2.③若a,b为正实数，特别

④a2+b2+c2≥ab+bc+ca.2.分析法证明不等式的思路用分析法证明不等式，是从要证的不等式着手，逐步推求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知正确的不等式或为已知条件，是一种执果索因的思考方法和证明方法.【提醒】分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆.【变式训练】(1)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1，则的最小值为______.【解析】当且仅当a=b时，等号成立.同理当且仅当b=c时，等号成立.

当且仅当a=c时，等号成立.∴当且仅当a=b=c时等号成立.又a+b+c=1,∴≥1.答案：1(2)已知a>0,设n=a+-2，则m与n的大小关系为____________.【解析】当a=1时，m=0,n=0,m=n.当a=2时，m=n=∴m>n.猜想：m≥n.证明：要证原不等式成立，只需证即证：只需证：即证：只需证：由基本不等式知故上式显然成立，∴原不等式成立，即m≥n.答案：m≥n考向3反证法与放缩法的应用【典例3】在下列空白处填上适当的不等号:(1)若函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a，b∈R，则当f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)时，a+b______0(填“≥”或“≤”).(2)_______2.【思路点拨】(1)利用反证法求解.(2)由于有n项，直接求和不可能，故可利用放缩法解决.【规范解答】(1)假设a+b＜0，则a＜-b,b＜-a.又f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，则f(a)＜f(-b),f(b)＜f(-a).两式相加得f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b).这与已知条件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,故a+b≥0.(2)∵∴==2-＜2.答案：(1)≥(2)＜【拓展提升】1.反证法的应用技巧(1)当要证明的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论很困难时,常用反证法.(2)如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只需研究一种或很少的几种情况的不等式时,常用反证法.2.用放缩法证明不等式的常用方法(1)添加或舍去一些项.(2)将分子或分母放大(或缩小).(3)真分数的性质:若0＜a＜b,m＞0，则(4)利用基本不等式.(5)利用函数的单调性.(6)绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【变式训练】若n＞1，且n∈N+，则下列两式的大小关系为:______【解析】∵∴＞=答案：＞考向4数学归纳法的应用【典例4】若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)-f(k)的值为______.【思路点拨】明确f(n)中各项特点，正确写出f(k),f(k+1),观察f(k+1)与f(k)的差异，然后写出结果.【规范解答】∵f(k)=12+22+…+(2k