选修4-1 第一节相似三角形的判定及有关性质

选修4-1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理名称条件结论

定理一组平行线在一条直线上截得的线段相等在其他直线上截得的线段也_____

推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线_____第三边

推论2经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线_____另一腰相等平分平分2.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的_____线段成比例.(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段_______.对应成比例3.相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定.①定义:对应角_____，对应边_______的两个三角形叫做相似三角形.②预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)_____，所构成的三角形与原三角形_____.相等成比例相交相似③判定：定理1：两角对应_____，两三角形相似.定理2：两边对应_______且夹角_____，两三角形相似.定理3：三边对应_______，两三角形相似.相等成比例相等成比例④直角三角形相似的判定：(2)相似三角形的性质.①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_______.②相似三角形周长的比等于_______.③相似三角形面积的比等于相似比的_____.④相似三角形外接圆的直径比、周长比等于_______,外接圆的面积比等于相似比的_____.相似比相似比平方相似比平方4.直角三角形的射影定理定理:直角三角形斜边上的高是_____________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_________.两直角边在斜边上射影比例中项判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)三角形相似不具有传递性.()(2)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质.()(3)相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比.()(4)两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两三角形相似.()【解析】(1)错误，三角形相似具有传递性，即△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，则△ABC∽△A2B2C2.(2)错误，可以通过作辅助线将多边形转化为三角形加以证明．(3)正确,由相似三角形的定义知，∠BAC=∠B′A′C′，∠1=∠2，由直角三角形相似的判定方法知，Rt△ADI∽Rt△A′D′I′,可知结论正确.(4)错误，如图，∠B=∠B′,当时相似.当时不相似.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×考向1平行线分线段成比例定理【典例1】(1)(2013·西安模拟)如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝______，AD∶DB＝______.(2)如图所示，F为ABCD边AB上一点，连接DF交AC于G，并延长DF交CB的延长线于E，若DE＝5，DF＝4，则＝________.【思路点拨】(1)利用平行线分线段成比例定理的推论，列比例式求解.(2)利用平行线分线段成比例定理及推论，经中间比值代换求值．【规范解答】(1)∵DE∥BC，∴∵BF∶EF＝3∶2，∴∴AC∶AE＝3∶2.同理DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即∴即即AD∶BD＝2∶1.答案：3∶22∶1(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC.∵AD∥BC，∴又∵AB∥DC，∴∴答案：【互动探究】本例(2)中条件不变，结论改为=________.【解析】∵AD∥BC,∴答案：【拓展提升】平行线分线段成比例定理及其推论的应用(1)平行线等分线段定理及其推论是证明两条线段相等的重要依据,特别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过一边的中点.(2)利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果.【变式备选】(1)(2013·惠州模拟)如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F，则下列结论中：①②③④其中正确结论的序号是________.【解析】∵CF∥AD,∴所以①④正确.又∵BF∥AD，∴所以②正确.答案：①②④(2)(2013·广州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E,F分别在AB,CD上，且EF∥AD，若则EF的长为______．【解析】如图所示，延长BA,CD交于点P，∵AD∥BC，∴∴又∵∴∴∴∵AD∥EF，∴又AD＝2，∴EF＝答案：考向2相似三角形的判定与性质【典例2】(1)如图所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，若则＝________.(2)如图所示,平行四边形ABCD的对角线交于点O，OE交BC于E，交AB的延长线于F，若AB=a,BC=b,BF=c,则BE=________.【思路点拨】(1)通过∠BDF=∠EDC＝∠ECD＝∠BAD，证明△DBF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得结果.(2)过O作OG∥BC，交AB于G，构造△BEF∽△GOF求解.【规范解答】(1)∵E为Rt△ADC斜边AC的中点，∴DE＝EC，则∠C＝∠EDC.又AD⊥BC，且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C，从而∠BDF＝∠EDC＝∠BAD.又∠F=∠F，因此△DBF∽△ADF，∴答案：(2)过O作OG∥BC，交AB于G，显然GO是△ABC的中位线，所以GO=BC=b,GB=AB=a.在△GOF中,BE∥OG,所以△BEF∽△GOF,所以即答案：【拓展提升】相似三角形证明方法证明三角形相似时一般的思考程序是：(1)先找两对内角对应相等.(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例.(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．【提醒】在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.【变式训练】(1)(2013·汕头模拟)如图所示的Rt△ABC中有边长分别为a，b，c的三个正方形，若ac=4，则b＝______.【解析】由三角形相似知∴ac－bc＝b2－bc，∴b2＝ac.∴b＝＝2.答案：2(2)(2013·中山模拟)已知：如图，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB=1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为______.【解析】∵PQ⊥PC，∴∠APQ+∠BPC=90°，∴∠APQ=∠BCP，∴Rt△APQ∽Rt△BCP，∴∵AB=4,AP∶PB=1∶3,∴PB=3,AP=1,∴AQ=∴PQ=答案：考向3射影定理及其应用

【典例3】(1)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若AE·AB＝5，则AF·AC＝______.(2)在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE＝______.【思路点拨】(1)由垂直条件，联想射影定理，然后进行计算．(2)首先利用勾股定理求BC，再结合射影定理和三角形面积公式即可求解.【规范解答】(1)∵AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形，又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.在Rt△ADC中,同理可得AD2＝AF·AC，又AE·AB＝5,∴AF·AC＝AE·AB＝5.答案：5(2)由勾股定理得：BC＝＝5，由射影定理得：CD＝由三角形面积得：AD＝由三角形面积得：DE＝答案：【拓展提升】直角三角形中成比例线段问题的解决方法(1)如图，Rt△ABC中，若CD为高，则有CD2=BD·AD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB，利用上面等积式和勾股定理，已知图中的任意两条线段，可求出其余四条线段.(2)直角三角形中出现斜边上