小专题复习课（五）平面解析几何

小专题复习课（五）平面解析几何热点聚焦考情播报热点一：直线的方程1.以直线的方程，两条直线的垂直与平行，点到直线的距离公式为主要考查对象，常与圆、圆锥曲线等知识交汇命题2.试题以选择题、填空题形式出现时，考查学生的双基，属基础题，以解答题形式出现时，常与圆锥曲线综合，属中高档题热点二：圆的方程1.圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系，是高考命题的主要对象，常与直线、圆锥曲线等知识交汇命题2.多以选择、填空题为主，突出考查学生数形结合思想，转化与化归思想，以及函数与方程思想热点聚焦考情播报热点三：圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考中必考的内容，试题可以直接考查根据圆锥曲线的标准方程求范围、对称性、离心率等知识，也可以利用圆锥曲线的几何性质求圆锥曲线的标准方程2.多以选择、填空题形式出现，考查学生分析问题，解决问题的能力，考查学生的基本运算能力及数形结合思想，有时也出现在解答题的第(1)问中，属基础题热点聚焦考情播报热点四：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用1.该类试题一般为高考的压轴题，以圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系为载体，通过直线与圆锥曲线相交得到的弦的弦长，弦中点及与弦端点坐标有关的计算来考查，常与向量、函数等知识交汇命题2.试题以解答题为主，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，考查基本运算能力，逻辑推理能力热点聚焦考情播报热点五：圆锥曲线的综合性问题

1.该类试题一般以椭圆或者抛物线为依托，围绕直线与圆锥曲线的位置关系.考查对定点、定值、最值、参数取值范围等问题的求解与证明，常与函数、方程、不等式、平面向量等知识交汇命题2.多以解答题的形式出现，考查学生综合运用相关知识解决问题的能力以及运算能力，属于高档题热点一

直线的方程1.(2013·吉首模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行，则tan2α的值为()【解析】选B.依题意，得：2.(2013·邵阳模拟)点P(2,-1)为圆(x-3)2+y2＝25的一条弦的中点，则该弦所在直线的方程是__________.【解析】点P(2，-1)为圆(x-3)2+y2=25的弦的中点，设该圆的圆心为C，则该弦所在直线与PC垂直，故弦所在直线的方程为x+y-1=0.答案:x+y-1=03.在平面直角坐标系xOy中，A，B分别为直线x+y=2与x,y轴的交点，C为AB的中点，若抛物线y2=2px(p>0)过点C，则焦点F到直线AB的距离为______.【解析】由题意，得A(2,0),B(0,2),C(1,1)，所以抛物线方程为y2=x，所以焦点为所以点F到直线AB的距离为答案:热点二

圆的方程1.(2013·常德模拟)已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为()(C)(x-1)2+y2=1(D)x2+(y-1)2=1【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，则a=1,b=0.所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.2.(2013·成都模拟)圆心在曲线(x>0)上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为()【解析】选A.设圆心坐标为则当且仅当x=2时取等号，所以半径最小时圆心为圆方程为3.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=则＝__________.【解析】因为直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，联立得得(a2+b2)x2+2acx+c2-b2=0,令A(x1,y1),B(x2,y2),则又｜AB|=所以圆心距而答案:热点三

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质1.(2013·株洲模拟)已知双曲线的渐近线为焦点坐标为(-4，0)，(4，0),则双曲线方程为()【解析】选D.由已知设双曲线方程为(λ>0),即a2=λ,b2=3λ,∵焦点坐标为(-4,0),(4,0),∴c＝4，即c2=a2+b2=4λ=16,∴λ=4,∴双曲线方程为2.若双曲线(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx(b＞0)的焦点分成7∶5的两段，则此双曲线的离心率为()【解析】选C.因为线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7∶5的两段，所以36b2=4c2,36a2=32c2,∴3.(2013·济南模拟)以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的方程为______.【解析】由已知可以知道，抛物线的焦点坐标为(5，0)，双曲线的渐近线方程为则所求的圆的圆心为(5，0)，利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r，则有故圆的方程为(x-5)2+y2=9.答案:(x-5)2+y2=94.(2013·怀化模拟)若椭圆(a＞0,b＞0)的焦点在x轴上，过点作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_____.【解析】因为一条切线为x=1，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0)，即c=1，设点连接OP，则OP⊥AB，因为所以kAB=-2，又因为直线AB过点(1，0)，所以直线AB的方程为2x+y-2=0，因为点(0，b)在直线AB上，所以b=2，又因为c=1，所以a2=5，因此椭圆的方程为答案:热点四

直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用1.(2013·哈尔滨模拟)已知椭圆(a＞b＞0)的左焦点为点F到右顶点的距离为(1)求椭圆的方程.(2)设直线l与椭圆交于A，B两点，且与圆相切，求△AOB的面积的最大值.【解析】(1)由题意得∴b2=a2-c2=1,∴椭圆方程为(2)当直线l的斜率不存在时，l的方程为代入椭圆方程此时|AB|=当直线l的斜率为0时，l的方程为代入椭圆方程当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+m.点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2，y2).由直线l与圆x2+y2=相切得即由方程组消去y得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0.|AB|2=(1+k2)［(x1+x2)2-4x1x2］

当且仅当即时等号成立，此时|AB|max=2.∴△AOB面积的最大值为2.(2013·娄底模拟)已知椭圆(a>b>0),过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为原点到该直线的距离为(1)求椭圆的方程.(2)斜率小于零的直线过点D(1，0)与椭圆交于M，N两点，若求直线MN的方程.(3)是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D(1，0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由得a=b=1,所以椭圆方程是：(2)设MN:x=ty+1(t<0)代入得(t2+3)y2+2ty-2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由得y1=-2y2.由得∴t=-1,t=1(舍去).直线MN的方程为：x=-y+1,即x+y-1=0.(3)存在.理由如下：将y=kx+2代入得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)设P(x3,y3),Q(x4,y4)，PQ为直径的圆过D(1，0)，则PD⊥QD，即(x3-1,y3)·(x4-1,y4)=(x3-1)(x4-1)+y3y4=0,又y3=kx3+2,y4=kx4+2，得(k2+1)x3x4+(2k-1)(x3+x4)+5=0①又代入①解得此时(*)方程Δ>0,∴存在满足题设条件.热点五圆锥曲线的综合性问题1.(2013·天津模拟)已知△ABC的两顶点A，B分别是双曲线2x2-2y2=1的左、右焦点，且sinC是sinA，sinB的等差中项.(1)求顶点C的轨迹T的方程.(2)设P(-2,0),M，N是轨迹T上不同的两点，当PM⊥PN时，证明直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.【解析】(1)由条件知A(-1,0),B(1,0),且sinA+sinB=2sinC,∴|BC|+|AC|=2|AB|=4,∴点C的轨迹是以A，B为焦点，长轴长2a=4的椭圆(不包括x轴上两点),∴点C的轨迹T的方程是(x≠±2).(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN:x=my+b,由得(3m2+4)y2+6mby+3b2-12=0,∴=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(my1+b+2)·(my2+b+2)+y1y2=0,整理，得(m2+1)y1y2+m(b+2)(y1+y2)+(b+2)2=0,化简,得7b2+16b+4=0,解得b=或b=-2(舍去),故直线2.(2013·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上,焦距为P是椭圆上一动点，△PF1F2的面积最大值为2.(1)求椭圆的标准方程.(2)过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若求证：λ1+λ2为定值.【解析】(1)设椭圆的标准方程为(a＞0,b＞0).因为焦距为所以当点P在