正弦定理余弦定理及其应用

sin()sin()正弦定理、余弦定理其应用河南省新高级中（465550）万立勇河南省新代岗小（465550）胡霞正弦定理和余弦理是解斜三角形和判定三角形型的重要工具要作用是将已知条件中的、角关系转化为角的关系或边关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解三角形的基元素是指已知两边一二角一边或三边求它三个元素问题，进而求三角形的三线（中线、高线角平分线及周长等基本问题例：

ABC

中，

A

3

，BC，则

ABC

的周长为（）A．

43sin

3．43sinB36

3C．

6sinB

3D．B36

3分析：由正弦定，求出或体求出则周长为得到结果．解：由正弦定理：

3sin3

bbc23

，得＝

2＋sin(B3

故三角形的周长为＋b6sin

6

3

，故选D)

评注题是选择题也可ABC为三角形时B＝3，故排除而(．

6

应为33＋例：ABC中知

AB

466,cosB36

边的中线BDA的值．分析：本题关键利用余弦定理，求出ACBC再由正弦定理，即得解：设E的点，连接则DE，且

DE

126AB23

，设BE＝x在BDE利用余弦定理可得：

2BE

EDcosBED

，5x

2

82662336

x，1，x

73

（舍去）故，而

22BCcos

，即

AC

2213

又

306

，221故

2

330

，

sinA

70146二判三形形：出角形中的三关系，判此三的

22形。22例：

ABC

中，已知

cosB

，那么

ABC

一定是（A．角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D．正三角形解法：由

cosB

AAB，即A，得，A故(．解法2由题意，得＝

2sinA2a

，定理，得＝a

2

c2ac

b

2

．ac2bc∴＝即a，a，故选．2ac评注：判断三角形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判法，⑵统一化为边，再判断解法．三解决面有问主是用、余定，并合角的面公来解．例：在ABC中，若

120，AB5，7，则ABC面积＝_________分析：本题只需余弦定理，求出边再运用面积公式＝决．

12

ABACA即可解解：由余弦定理，得＝

AB

2

ACBC2254912AB10AC2

，解得AC＝3

∴S＝

12

1531AB．ABACAACh，得＝AB4232。2故选(．四求问例年国高考天津)在ABC中A、B、C

所对的边长分别、b

，设

满条件b

2ca

和

cb2

3，和tanB的．分析：本题给出些条件式的求值问题，关键还运用正、余弦定理．解：由余弦定理

b

2

c2a212

，因此，

A在ABC中∠C=180－∠B=120由已知条件，应正弦定理

cB)120cosB32

解cotB从而tanB

五正弦理三形实应用利用正余弦定理斜三角形，在实际应用中有着泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解角形的知识，例析如下：（一量问题

例如示了测河的宽度一岸边选定A点，望对岸标记物C，CAB=30°，∠CBA=75°AB=120cm，求CD

C的宽度。分析：求河的宽，就是求ABC

A

图

D

B在AB上高，而在河的一边，已测出AB、∠CAB、∠CBA，个三角形可确定。解：由正弦定理

ACABsinCBAsinACB

，∴AC=AB=120m，又∵

S

ABC

1ABACCAB2

ABCD

，解得CD=60m。点评：虽然此题算简单，但是意义重大，属宽问（二险问题例舰艇测得灯塔在它的东向，此舰艇以30海时的速度向正东前进30分钟后又测灯塔在它的东若灯塔周围海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的险？解析艇A点测到灯塔S在东方上；舰艇航行半小时后到达B点测得S在

北方向上。在△ABC中AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，

西

A

15

30

°

C

东由正弦定理得BS=AB=15作SC直线

南

图垂足为，。这表明航线离灯的距离为海里灯周围10海内有暗礁继航行有触礁的危险。点评：有关斜三形的实际问题，其解题的一般骤是理解题，分清已知与所求，其要理解应用题中的有关名词术语示意图，并将已知条件在图形中标析与所研究问题有的一个或几个三角形，通过合运用正弦定理和余弦理

22求解。22（三击问题例如船在A处船A的南偏东45°

北方向，距A有9n并的

A度沿南

45

°偏西航行以28n的速度航行，应沿什么方，用多少尽快追上乙

B15

°船？

C解析乙船C相遇。在ABC设，。

图3理

2ABcos

，28t

2

18120t(，128t2

60t0

）3=0，得t=，t=432

（舍）∴AC=28×

34

3=21=154根据正弦定理，

sin

BCsinAC

15

3532114

，又角，535372253，又＜＜，∴arcsin＜，1414142144∴甲船