高一数学必修二课件第六章 第六节直接证明与间接证明

第六节直接证明与间接证明1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出___________________的证明方法从要证明的_____出发，逐步寻求使它成立的_________，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)的证明方法思维特点由因导果执果索因所要证明的结论成立结论充分条件内容综合法分析法实施流程文字表示“因为……所以……”“由……得……”等“要证……”“只需证明……”“即证……”等2.间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_________，从而证明了___________的证明方法.假设错误原命题成立(2)利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.简言之，否定→归谬→断言.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()(6)证明不等式最合适的方法是分析法.()【解析】(1)错误.综合法和分析法都是直接证明的方法.(2)错误.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不必是充要条件.(3)错误.应假设“a≤b”.(4)错误.反证法只是将结论进行否定，然后将这个反设作为条件，推出矛盾.(5)正确.用分析法可以发现解决问题的思路，然后用综合法写出证明的步骤.(6)正确.欲证的不等式两边都含有根号，且都大于0，因此可用分析法，通过平方等逐步寻求使其成立的条件.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√1.若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.∵a＜b＜0，又b＞a，2.用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件.3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()(A)假设三内角都不大于60°(B)假设三内角都大于60°(C)假设三内角至多有一个大于60°(D)假设三内角至多有两个大于60°解选B.“至少有一个不大于”的否定为“都大于”.4.已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是________.【解析】∵∴答案:5.设a，b是两个实数，给出下列条件：(1)a+b>2；(2)a2+b2>2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_____(填上序号).【解析】取a=-2，b=-1，则a2+b2>2，从而(2)推不出结论.(1)能够推出结论，即若a+b>2，则a，b中至少有一个大于1.可用反证法证明如下：假设a≤1，且b≤1，则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，即a，b中至少有一个大于1.答案:(1)考向

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综合法的应用【典例1】(2013·南昌模拟)对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0,x2≥0，x1+x2≤1都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.试判断g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由.【思路点拨】根据理想函数的定义，分析判断g(x)是否满足理想函数的三个条件即可.【规范解答】g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数，证明如下：因为x∈[0,1]，所以2x≥1，2x-1≥0，即对任意x∈[0,1]，总有g(x)≥0，满足条件①.g(1)=21-1=2-1=1，满足条件②.当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时，于是g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]由于x1≥0,x2≥0，所以于是g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]≥0,因此g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2),满足条件③，故函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数.【互动探究】本例中条件不变，问题变为“若函数f(x)是理想函数，证明f(0)=0”，如何求证？【证明】令x1=x2=0，则满足x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,于是有f(0+0)≥f(0)+f(0),得f(0)≤0.又由条件①知f(0)≥0,故必有f(0)=0.【拓展提升】综合法证题的思路【变式备选】设a>0,b>0,a+b=1,求证：【证明】方法一：∵a>0,b>0,a+b=1,∴又∵当且仅当时取等号，方法二：∵a+b=1,≥故等号成立的条件是考向2分析法的应用【典例2】已知函数f(x)=3x-2x，求证：对于任意的x1,x2∈R，均有【思路点拨】用分析法证明，从要证明的不等式出发，将其逐步简化，直至得出明显成立的不等式.【规范解答】要证明即证明因此只要证明即证明因此只要证明由于x1,x2∈R时，由基本不等式知显然成立，故原结论成立.【拓展提升】分析法证题的技巧1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证.【变式训练】已知a>0，求证：【证明】要证只要证∵a>0，故只要证即从而只要证只要证即而该不等式显然成立，故原不等式成立.考向3

反证法的应用【典例3】已知数列{an}满足a1=λ,n∈N*，其中λ为实数.求证：数列{an}不是等比数列.【思路点拨】先假设数列{an}是等比数列，则其前3项构成等比数列，由此推出矛盾.【规范解答】由已知可得假设存在实数λ，使{an}是等比数列，则必有即于是可得9=0，矛盾，所以假设错误，即数列{an}不是等比数列.【互动探究】本题条件不变，问是否存在实数λ，使得{an}是等差数列？【解析】假设存在实数λ，使得{an}是等差数列，由已知得所以解得λ=-18.于是an=-18+3(n-1)=3n-21,因此an+1=3n-18.代入中检验，成立，所以存在实数λ=-18，使得{an}是等差数列.【拓展提升】适合用反证法证明的六类问题适合用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题.(2)否定性命题.(3)唯一性命题.(4)至多、至少型命题.(5)一些基本定理.(6)必然性命题等.【变式备选】已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列.求证：不能构成等差数列.【证明】假设能构成等差数列，则由于是得bc+ab=2ac，而由于a,b,c构成等差数列，即2b=a+c，所以(a+c)2=4ac，即(a-c)2=0，于是得a=b=c，这与a,b,c构成公差不为0的等差数列矛盾.故假设不成立，因此不能构成等差数列.【满分指导】分析法与综合法的综合应用【典例】(12分)(2012·长沙模拟)已知函数f(x)=ln(x+2)，a,b,c是两两不相等的正实数，且a,b,c成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论.【思路点拨】【规范解答】f(a)+f(c)>2f(b)①.…………2分证明如下：因为a,b,c是两两不相等的正实数，所以由…………4分又因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac,于是…………6分…………………8分由于ac+2(a+c)+4=b2+2(a+c)+4>b2+4b+4,且函数f(x)=ln(x+2)是单调递增函数④，………………10分因此ln[ac+2(a+c)+4]>ln(b2+4b+4),故f(a)+f(c)>2f(b).………12分【失分警示】(下文①②③④见规范解答过程)1.(2013·上海模拟)“”是“对任意正数x,均有”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.当x＞0时，令解得因此当时，必有“对任意正数x,均有”，反之不成立，所以是充分不必要条件.2.(2013·韶关模拟)用反证法证明命题：“若a,b∈N,ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是()(A)a,b都能被5整除(B)a,b都不能被5整除(C)a,b不都能被5整除(D)a能被5整除【解析】选B，“a,b中至少有一个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”.3.(2013·安阳模拟)有下列条件：①ab＞0,②ab＜0,③a＞0,b＞0,④a＜0,b＜0,其中能使成立的条件的个数是__________.【解析】要使只要且即a,b不为0且同号即可，故有3个.答案:34.(2013·宁德模拟)设函数f(x)定义在(0,+∞)上，f(1)=0，导函数f′(x)=g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)是否存在x0>0，使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题设易知f(x)=lnx,g(x)=lnx+

令g′(x)=0得x=1.当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，故(1,+∞)是g(x)的单调递增区间，因此x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)=1.(2