正弦定理与余弦定理应用

2得A=－2得A=－解三形正弦理用）bc1.正弦定理：===2R.（关键点“比”用法边角转化）sinsinC利用正弦定，可以解以下两类关三角形的问.（）已知两角任一边，其他两边一角；（）已知两边其中一边对角，求一边的对.（从而进步求出其他边和角）2.余弦定理：a=b+c22bccosA；cos=

2

a

2

；在余弦定理，令C=90°，这cosC=0，所2=2+2.利用余弦定，可以解以下两类关三角形的问题：（）已知三边求三个角（2）已知两边它们的夹，求第三边和其他两个.可能出现一、两解或解的情况这时应结合“三角形中大边对大角理及几何图来理解.题一判三形形：1.△ABC中，2cossinA=sinC，则△的形状定是（）A.等腰直角角形B.角三角形C.等三角形D.边三角2.列件△ABC是角三角形是（）

答案：A.sin

+cosA=

B.·BC＞0C.tan

+tan+tanC＞

D.b=3，c=3

，=30°

答案：解析：由A+cosA=

2sincos

＜0，∴A为钝角.由BC＞，得＜0∴cos〈BA，〉＜0.B为钝角由tan+tan+tanC＞，得tan（+tantan）＞0.∴tantanB＞，A、、C都为锐.由

3π=，得sinC=，=或.sinBsinC23.△ABC中，

=

sinBsincoscos

，判断这个角形的形.解：△是直角三角题二解三形求度和度4.已（+b++c－a）=3，则∠A=_______.1

222解析：由已得（+c）－2=3，∴2+1ππAsin（2+2－222解析：由已得（+c）－2=3，∴2+1ππAsin（2+2－c2）得sin=·2cos.∴tan=1.∴=.答案45°2222225.在ABC中＞°”是“sin＞

2－2=.∴=.∴∠A=.答案：2bc23”的A.充分而不要条件B.要而不充分条件C.充分必要条D.既充分也不要条件解析：在△ABC中A°＜sin答案：

1sin

＞°＜A＜°＞°26.在ABC中角、、所对的分别b、，若三形的面=_______.

（+－∠的度数解析：由=

11π2447.△ABC三个内角、B、C的对边分别a、、，如果2=（+证：A=2B.证明正定理=2Rsin

=2Rsin

=2sin

C入2=b+中

=sin

sin

+sin

C）sin2

－sin=sin

Bsin

212－2=sin

sin（+）

（cos2Bcos2）=sin

Bsin（+）sin+）（－）=sinBsin（+因为、、C为角形的三角，所以sin（+B≠0.所以sin（－）=sin即=2.该题若用余定理如何?

.所只能有－=，解：利用余定理，由2=（+ccosA=

2

（（）c==，2bc22cos2=2cosB－1=2）2－ac

（b）c（b）c

2

c－.b所以cos

=cos2B.因为、是△的内角所以A=2.评述：高考中，涉及三角形的目，重点考查正弦、余弦定理，考的侧重点在于三角换.这是题者的初衷8.△ABC，、、

分别为∠、∠B、∠C的对，如果、、

成等差数列∠=30，△的面积为，那么等于（）A.

B.1+

C.

D.2+

答案：2

11π3366CD3=.b22222222=（+）－≥.∴＜11π3366CD3=.b22222222=（+）－≥.∴＜≤，22B（）π9.已锐eq\o\ac(△,角)ABC中（+）=，sin（－）=.5（）求证：tan

=2tan；（2设AB=3求AB边上的.（）证明：∵（+）=，sin－）=，5∴

3sinBcossinico5sinBsinBcAsi

tata

=2.∴tan=2tan.（）解：

＜+＜，∴sin（+）.∴tan+）=－，54即

tanAtanB1tanB

=－.将tan

=2tanB代入上整理得2tan

B－4tanB－1=0解得tan

=（负值舍去）.得tanB=，∴=2tan=2+.设边上的高则=AD+=+=.由=3得CD=2+tan262+.

所以AB边上的高为10.在ABC中、b、c分别是∠、∠、∠C的对长，已知a、、c成比数列，2－c2=ac－，求∠的大小及

sinc

的值.sin3解=sin211.在ABC中，若∠=60，则=_______.baacac解析：==（b）（a）ab

.

（）∵∠=60°∴2+2－2=2cos

=.∴2+2=+2.代（*）式

acacbc

=1.答案：1题三取范题12.在ABC中，角、C所对的边分为b、，依次成等比数列，求=

2Bsin

的取值范围解：∵2=，∴cos

=

a11π=22c2y===sin+cos=2sin+）sinBcos.∵

ππ72π＜+≤，∴＜sin（+）≤1.故1＜≤.412413.已知△ABC中，22

（2

－sin

）=（－）

，外接圆半为2

.3

2222213cos2+=3A－sin2sin（A30°）+.22222213cos2+=3A－sin2sin（A30°）+.22（）求∠；（）求△面积的最大.解）由2sin2

－sin2）=（－sin

B得22（

－

c

2

）=（－）.R又==60°

，2－2=ab2.∴2+2－2=ab.∴cos

==.0°°，∴（2）=sin=×=222

sin

A

=2

sin

sin（120°）3

sin

A°cos

A－cos120°

）=3sin

cos

+

sin2

=

sin2

∴当2A=120，即=60°时，=max

.14.在锐eq\o\ac(△,角)ABC，边长=1，b=2，则边c的值范围_______.