天津市重点中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学试题及参考答案

-2022学年第一学期高三第二次月考数学姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.定义集合运算：A∗B={z|z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B}.若集合A={1,2,3}，B={0,1,2}，则∁A∗BA=(

)A.{0} B.{0,4} C.{0,6} D.{0,4,6}2.“α=π6”是“sinα=12A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充要 D.既不充分也不必要3.函数y=2−lnx22+lnx2A. B.

C. D.4.根据下表中的数据可以得到线性回归方程y=0.7x+0.35，则实数m，n应满足(

)x3m56y2.534nA.n−0.7m=1.7 B.n−0.7m=1.5 C.n+0.7m=1.7 D.n+0.7m=1.55.在等差数列an中，a10<0，a11>0，且a11>A.17 B.18 C.19 D.206.三棱锥O−ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示NM，则NMA.12(−a+b+c) 7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A.x221−y228=1 B.8.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，若AF=3FB，则直线l的斜率为A.2 B.12 C.32 9.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosA.向左平移π8个单位长度 B.向右平移π8个单位长度

C.向左平移π4个单位长度 D.10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数，若f(x)≤f(π6)对x∈R恒成立，且f(A.kπ−π3,kπ+π6(k∈Z) B.kπ,kπ+11.已知ΔABC的外接圆圆心为O，且AB+AC=2AO,|OA|=|AB|，则向量A.14BC B.34BC C.12.已知函数f(x)=x2+(4a−3)x+3a,   x<0loga(x+1)+1,   x≥0 (aA.(0,23] B.[23,第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.i是虚数单位，则复数3−i1+2i=____．14.(1x−2x2)5展开式中的常数项是15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2−2ay−2=0(a>0)相交于A,B两点，若AB16.已知x>0,y>0，则2xyx2+4y217.某一大型购物广场有“喜茶”和“沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶.如果第一天去“喜茶“店，那么第二天去“喜茶“店的概率为0.7；如果第一天去“沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6.则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率为______．18.已知f(x)=xex+1e+e2，gx=−x2−2x−1+a三、解答题（本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150(1)若a=3c，b=27，求(2)若sinA+3sinC=20.(本小题12分)

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD//QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD=PD=2QA=2．

(Ⅰ)求证：QB//平面PDC；

(Ⅱ)求二面角C−PB−Q的大小；

(Ⅲ)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7315，求线段DH(本小题12分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)已知点C满足3OC=OF，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C22.(本小题13分)

已知正项数列{an}满足a1(1)求数列{an(2)设数列{1an}的前n项和为

23.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an−1，n∈N∗⋅数列{bn}满足nbn+1−(n+1)bn=n(n+1)，n∈N∗，且b1=1．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)若cn=参考答案选择题D

2.B

3.A

4.A

5.C

6.B

7.D

8.D

9.A

10.D

11.A

12.C

填空题15−75i

14.−10

15.2

16.223

解答题19.解：(1)由余弦定理得b2即28=3c解得c=2，

所以a=23所以S△ABC=1(2)因为A=180∘所以sin=1因为A>0°，C>0°，

所以0°<C<30°，

所以30°<30°+C<60°，所以30°+C=45°，所以C=15°．

20.证明：(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，

AB⊄面PCD,CD⊂面PCD，∴AB//面PCD

∵四边形ADPQ是梯形，AQ//PD,AQ⊄面PCD,PD⊂面PCD→AQ//面PCD，

AB∩AQ=A,AB,AQ⊂面ABQ，

∴面ABQ//面PDC，QB⊂平面ABQ，

∴QB//平面PDC．

解：(Ⅱ)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

则C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，Q(2,0,1)，

PB=(2,2,−2)，PC=(0,2,−2)，PQ=(2,0,−1)，

设平面PBC的法向量n=x1,y1,z1，

则n⋅PB=2x1+2y1−2z1=0n⋅PC=2y1−2z1=0，取y1=1，

得n=(0,1,1)，

设平面PBQ的法向量m=x2,y2,z2

则m⋅PB=2x2+2y2−2z2=0m⋅PQ=2x2−z2=0，取x2=121.解：(Ⅰ)由已知可得b=3，记半焦距为c，由|OF|=|OA|可得c=b=3，

由a2=b2+c2，可得a2=18，

∴椭圆的方程为 x218+y29=1，

(Ⅱ)：∵直线AB与C为圆心的圆相切于点P，

∴AB⊥CP，

根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx−3，

由方程组y=kx−3x218+y29=1，消去y可得(2k2+1)x2−12kx=0，解得x=0，或x=12k2k2+1，

依题意可得点B的坐标为(12k2k2+1,6k2−32k2+1)，

∵P为线段AB的中点，点22.解：(1)由已知an+12−an2−(2n+1)(an+1+an)=0，

即(an+1+an)(an+1−an−2n−1)=0，

又an>0，故an+1−an=2n+1，

即an−23.解：(1)当n=1时，S1=2a1−1=a1，所以a1=1．

Sn=2an−1，当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，

两式相减得an=2an−1，

从而数列{an}为首项a1=1，公比q=2的等比数列，

从而数列{an}的通项公式为an=2n−1．

由nbn+1−(n+1)bn=n(n+1)，两边同除以n(n+1)，

得bn+1n+1−bnn=1，

从而数列{bnn}为首项为1，公差d=