人教版数学九年级上册同步讲义第二十一章一元二次方程（提分小卷）（教师版）

第二十一章一元二次方程提分小卷（考试时间：50分钟试卷满分：100分）一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2021·江苏九年级专题练习）下列关于SKIPIF1<0的方程：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，其中一元二次方程的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】依据一元二次方程的定义求解即可．【详解】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②x2+SKIPIF1<0=6＝6是分式方程，不是一元二次方程；③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x−1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程．故选A．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程SKIPIF1<0时，配方结果正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D．【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．3．（2021·山东中考真题）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．SKIPIF1<0 B．4 C．25 D．5【答案】A【分析】先求出方程的解，即可得到SKIPIF1<0，根据菱形的性质求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据勾股定理求出SKIPIF1<0即可．【详解】解：解方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，即菱形的边长为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．

【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．4．（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘SKIPIF1<0，据此即可列方程求解．【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得：SKIPIF1<0，故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．5．（2021·河南驻马店市·九年级二模）对于函数SKIPIF1<0，规定SKIPIF1<0，例如，若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0．已知函数SKIPIF1<0，那么方程SKIPIF1<0的解的情况是（）A．有一个实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【答案】C【分析】根据规定将方程SKIPIF1<0转化为一般式，再由根的判别式判断即可．【详解】解：根据题意：SKIPIF1<0，由：SKIPIF1<0，故：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．6．（2021·四川宜宾市·中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则SKIPIF1<0的值是（）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】C【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，∴m＋n＝−3，mn＝−9，∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，∴m2＋3m−9＝0，∴m2＋3m＝9，∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−SKIPIF1<0，x1•x2=SKIPIF1<0．7．（2020·广西河池市·中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：SKIPIF1<0x（x﹣1）＝36，化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．8．（2021·四川绵阳市·九年级二模）已知实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值为（）．A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1【答案】D【分析】设SKIPIF1<0，将已知方程转化为关于SKIPIF1<0的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】设SKIPIF1<0，∴原式可转化为：SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴将SKIPIF1<0(舍去)∴SKIPIF1<0的值为1，故答案为：D．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程、完全平方式等知识点，解答本题的关键是将SKIPIF1<0设为一个整体，并对所求值进行取舍．9．（2021·广西贵港市·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则k的值是（）A．－2 B．2 C．－1 D．1【答案】D【分析】利用根与系数的关系得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而得出关于SKIPIF1<0的一元二次方程求出即可．【详解】解：SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0的两个实数根分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得出：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）根与系数的关系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．10．（2021·北京市十一学校龙樾实验中学九年级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值为（）．A．1 B．9 C．－1或9 D．1或-9【答案】D【分析】通过解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．【详解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．①若x=0是两个方程相同的实数根．将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=-3，符合题意，∴m=1；②若x=2是两个方程相同的实数根．将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0，解得：x1=2，x2=-5，符合题意，∴m=-9．综上所述：m的值为1或-9．故答案为：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．二、填空题：本题共5个小题，每题4分，共20分。11．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的一个根为3，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】将SKIPIF1<0代入方程可得一个关于SKIPIF1<0的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．12．（2021·湖北十堰市·九年级一模）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】已知等式利用题中的新定义化简，整理得到，原式化简后代入计算即可求出值．【详解】解：根据题中的新定义得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因式分解得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确理解新定义、熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2021·湖北黄冈市·中考真题）若关于x的一元二次方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】根据一元二次方程根的判别式求出SKIPIF1<0的取值范围，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．14．（2020·山东莱州初二期末）用因式分解法解方程SKIPIF1<0，将左边分解后有一个因式是SKIPIF1<0，则m的值为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意得到x2-mx-6=（x-3）（x-a），即可求出m的值．【解析】解：根据题意得：x2-mx-6=（x-3）（x-a）=x2-（a+3）x+3a=0，

∴-m=-a-3，3a=-6，解得：a=-2，则m=1．故答案为：1．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题关键．15．（2021·山东德州市·九年级一模）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程SKIPIF1<0的两个根，则k的值等于______________．【答案】6或7．【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．【详解】解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，解得：k＝6，此时该方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝4，x2＝2，此时三角形的三边为4，4，2，符合题意；当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解得：k＝7，此时该方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，此时三角形的三边为3，3，4，符合题意，综上所述，k的值等于6或7，故答案为：6或7．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题：本题共5个小题，每题10分，共50分。16．（2021·苏州工业园区九年级期中）解方程：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0．【分析】（1）移项，利用提公因式解题；（2）利用完全平方公式、直接开平方法解题；（3）利用公式法解题；（4）先化为一般式，再利用十字相乘法法解题．【详解】解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·山西吕梁市·九年级二模）2020年12月25日，太原市地铁2号线一期线路正式投入载客初期运营，历时四年9个月的建设后，太原人终于能乘坐自己的地铁了．在2号线轨道铺设作业中，为了提前完成铺轨任务，采用了新型轮胎式铺轨机和全自动混凝土布料机，使得每天铺设轨道的长度比原计划多120米，原计划300天的铺轨任务，仅用了120天就全部完成．（1）求原计划每天铺设轨道多少米？（2）图2所示是太原地铁内关于“五台山”和“平遥古城”的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的SKIPIF1<0．求镶上的木质框架的宽为多少米？图1图2【答案】（1）80米；（2）0.2米【分析】（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解；（2）设镶上的木质框架的宽为y米．根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的SKIPIF1<0”列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：（1）设原计划每天铺设轨道x米．根据题意，得300x=120（x+120）．解得x=80．答：原计划每天铺设轨道80米；（2）设镶上的木质框架的宽为y米．根据题意，得SKIPIF1<0．解得y1=-3.2（不合题意，舍去），y2=0.2．答：镶上的木质框架的宽度为0.2米．【点睛】本题考查一元一次方程与一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．18．（2021·北京中考真题）已知关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若SKIPIF1<0，且该方程的两个实数根的差为2，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）见详解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0的两实数根为SKIPIF1<0，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0的两实数根为SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．19.（2021·成都市初三期中）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？【答案】(1)200元;(2)190元【分析】（1）设每个售价应为x元，根据月销量=980-30×SKIPIF1<0，结合月销量不低于800个，即可得出关于x的一元一次不等式；（2）根据总利润=每个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】（1）设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，980﹣30×SKIPIF1<0≥800，解得x≤200，