(华师版初中数学教案全)第二十二章二次根式

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第二十二章二次根式

22.1二次根式（第1课时）

教学任务分析

使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的

知识技能

教取值范围和二次根式的取值范围.

学数学思考使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性.

目解决问题培养学生根据条件处理问题的能力及分类讨论问题.

标情感态度培养学生辩证唯物主义观点.

重点二次根式中被开方数的取值范围.

难点二次根式的取值范围.

板书设计

课题：22.1二次根式

问题：1，2，3，42.例题与练习

1.二次根式的定义总结收获

课后反思

1

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动一回顾与思考1,2两题学生口答:

1．４的平方根是_____；1.４的平方根是±2;0的

0的平方根是______；平方根是0;－16没有平方

－16的平方根是____.根.使学生回忆平方根和

2．5的平方根是_______；2.5的平方根是±5;算术平方根的内容

5的算术平方根是____.5的算术平方根是5.

3．直角三角形的两条直角

3.题经过计算后回答65;

边分别为7和4，斜边为__.

4.题学生口答s.

4．正方形的面积为s,则它

的边长为_____.

活动二接触新知

请同学们思考:为什么

上面3、4题的结果是，

65一定要加上a≥0这一条

s他们表示一些正数的算件?引导学生说出只有正数

利用开方开不进的式

术平方根.和零才有平方根，负数没有

子引出二次根式的定义.

1.二次根式的定义:一般平方根.

的,我们把形如a(a≥0)

的式子叫做二次根式，

“”称为二次根号.

（1）小题与学生一起分析；

2.例题与练习

例1.下列各式是否为二

次根式?

（2）小题请学生分析；

（1）m21;（2）a2;

（3）n2;（4）a2;

（5）xy.

进一步巩固被开方数

解：（1）∵m2≥0,∴m2+1>0（3）小题请学生认真思考

一定要大于等于零这一条

2后回答；

∴m1是二次根式.件.

（2）∵a2≥0,

∴a2是二次根式;

（3）∵n2≥0,∴-n2≤0,

（4）（5）两小题需要分情况

∴当n=0时n2才是二次根

讨论，请学生考虑清楚在回

式；

（4）当a-2≥0时是二次答.

根式,当a-2<0时不是二

次根式；即当a≥2是二次

根式,当a<0时不是二次根

式；

（5）当x-y≥0时是二次根

式,当x-y<0时不是二次根

式；即当x≥y是二次根式,

当x<y时不是二次根式.

2

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

例2.当x为何值时,下列各

式在实数范围内有意义?

（1）x3

2

（2）4x

3使学生进一步掌握二

（3）5x次根式取值范围的习题.

（4）x1

解:（1）由x-3≥0,得x≥3.（1）（2）小题学生自己能

当x≥3时，x3在实够解决.

数范围内有意义；

（2）

21

由4x≥0，得x≤.

36

12

当x≤时，4x对第四小题试着讨论.

63

在实数范围内有意义；

（3）由-5x≥0,得x≤0;

（3）小题注意符号问题；

当x0时，5x在实数

≤

范围内有意义；

（4）∵0，

x≥

∴x+1>0，（4）小题请学生思考后解

∴x为任意实数x1答.

都有意义.

练习:

1.一个矩形的面积是1、2两小题检查中等

18cm2,它的边长之比为学生练习1、2两小题及以下学生对基础知识的

2:3,它的边长应为多少？是基础题,学生自己能够完掌握情况.

2.当a是怎样的实数时，下成.

列各式在实数范围内有意

义？

（1）a1（2）2a3

3题是灵活应用二次根3题检查中等以上学生

3.已知y=x3-3x,式的取值范围才能解的题是否对二次根式的取值范

求x+y的值.目,需要学生认真思考.围有更深刻的理解.

3

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动三.总结收获有助于培养学生的总

学生总结有何收

1.二次根式的定义及被开方数的取结能力,并让学生总结经验

获和经验教训,教

值范围;教训有助于学生大胆的说

师补充.

2.被开方数的取值范围在计算中经出自己的错误避免今后再

常作为隐含条件给出,注意合理应出现同样的失误.

用.

作业:

1.下列各式是否为二次根式?

x23；a2；a2；m7.

2.当a是怎样的实数时，下列各式在

实数范围内有意义？

(1)3a;

(2)a1;

(3)62a2.

4

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22.1二次根式（第2课时）

教学任务分析

知识技能使学生初步掌握利用（a）2=a（a≥0）进行计算.

教

数学思考乘方与开方互为逆运算在推导结论（）2=（≥0）中的应用.

学aaa

目解决问题二次根式的非负性和如何利用（a）2=a（a≥0）解题.

标通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（a）2=a（a≥0）,

情感态度

使学生感受到数学知识的内在联系.

重点应用（a）2=a（a≥0）进行计算.

利用二次根式的非负性（上一节已谈及二次根式的取值范围）和利用

难点

（a）2=a（a≥0）解题.

板书设计

课题：22.1二次根式

问题1，2，3结论：(a)2=a（a≥0）

例1.总结收获

课后反思

5

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动一回忆旧知识学生口答

问题：1.有意义，因为5>0；

5利用这两个式子复习被

1.5，a有意义吗？为

a当a≥0时有意义，开方式的取值范围.

什么？当a<0时无意义；

2.5表示的意义是什么?2.5表示的是5的算术

3.a表示的意义是什么?平方根.

复习算术平方根的基本

活动二引入新知识3.a表示的是当a≥0

形式.

请同学们想一想a有没有时a的算术平方根.

可能小于零？为什么？

学生思考并解释，不完善

a≥0(a≥0）

的地方教师补充.引出初中阶段的第三个

例1.已知

非负式.

+=0，求

x3y5

xy的值是多少？

解：∵x3+y5=0，找学生来讲解做法.

使学生理解非负式的应

∴x3≥0且y5≥0，

用.

∴=0且y5=0；

x3

即x+3=0且y-5=0

解得x=-3,y=5

∴xy=-15.

练习:已知学生独自思考解题，然后

1a+b7=0，全班同学集体进行交流.

求a-b的值.

答案：a-b=8.

活动三探求规律进一步巩固二次根式的

根据算术平方根的意义填空：非负性.

1.(9)2=_________；

请学生口答结果后总结

2.(3)2=_________；

3.(1)2=_________；

由学生自己发现规律，他

5有何规律.

4.(0)2=_________；们更容易记住.

5.(a)2=______；（a≥0）1.9;

由于a（a≥0）表示非负2.3;

数a的算术平方根，根据平3.1

方根的意义，a的平方等5

于a，因此我们就得到一个4.0;

结论：5.a;

(a)2=a（a≥0）

6

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

例2.计算:

（1）（1.7）2；

（1）小题学生口算结果.

（2）（25）2；逐层深入使学生对

（3）（a21）2.(a)2=a（a≥0）

解：（1）（1.7）2=1.7；（2）与学生一起写出过程有更深刻的理解.

（2）（25）2.这里用到公式（ab）n=anbn

=22×（5）2=4×5

=20.

（3）问学生为什么不用给

2

（3）（a1）2=a2+1.出字母的范围.

练习.计算：

1.（0.5）2；

2.（710）2；进一步巩固所学内容.

2

3.（3）2；

7

学生自己计算在小组对答

4.（a2b2）2.

案.

解:1.（0.5）2=0.5；

2.（710）2=490；

2

3.（3）2=12

749

4.（a2b2）2=a2+b2.

活动四总结收获1.请学生谈一谈自己的使学生大胆的说出自己的

1.注意二次根式的非负性收获以及自己对本节课的想法和错误，以便及时改

在解题中的应用；体会;正.

2.(a)2=a（a≥0）2.请你给大家一些建议,

的应用范围，一定要注意；在做这种题目是应注意哪

3．请谈一谈本节所学的内容学问题.

与哪些学过的知识有联系.

作业：

计算：

1.(4)2;

2.(7)2;

3.(33)2；

4.(21.5)2

7

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22.1二次根式（第3课时）

教学任务分析

知识技能使学生理解并掌握a2=a,并能利用这一结论进行计算.

教

数学思考通过对的化简，培养学生分类讨论的思想.

学a2

目解决问题解决了a2这一类问题的化简问题.

标

情感态度培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物

重点利用a2=a（a≥0）进行计算

难点当a<0时，a2=-a这一结论的推导和应用.

板书设计

课题：22.1二次根式

问题1，2结论：当（a≥0）时a2=a

归纳小结例2.计算:

课后反思

8

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问题与情境师生行为设计意图

活动一复习旧知识

学生口答第（1）小题

1.(3.9)2

（2）小题学生考虑应考虑这两道小题的设计目的

2.(x)2=_______

什么?怎样填写?是复习旧知识,使学生与本

=_______；

节课的内容分开.

活动二探索填空

_____=22=______；

_____=42=______；

_____=0.12=______；

_____==______；使学生理解a2（a≥0）

22

实际上是求2的算术平方

3与学生一起分析填空，同a

_____=02=______；根.

时讲清a2（a≥0）的意义

22求的是22算术平方根，并总结出规律.

即求4的算术平方根是2；

同理依次可得

4，0.1，2，0；

3

因此，总结出

当（a≥0）时a2=a.培养学生的归纳能力

例1化简:

（1）82；

（2）16；（1）（2）两小题学生自己

解决；虽然可以取全体实数，

（3）(x21)2.x

（3）小题提醒学生应注意但要养成习惯对字母进行

解：（1）82=8；

考虑x的取值范围.讨论.

（2）16=42=4；

2

（3）(x21)2=x+1.

练习.计算：

（1）0.32；

（2）

22

7对负指数的化简学生应

（3）25；学生独自完成，在全体订多加注意.

（4）102.正答案.

解：（1）0.32=0.3；

（2）22=2；

77

（3）25=5；

（4）102=10-1=0.1=1.

10

9

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问题与情境师生行为设计意图

活动三拓展提高

议一议：

(4)2=_______=______；

与学生一起分析计算,从特殊到一般归纳完

(5)2=_______=______；

得出完整的结论.整的a2化简的结论.

2=______=______；

(10)

由上可知,需要a

a2

的范围吗？为什么？

a2当a<0时，a2=？

a2=＿＿＿(a≥0)

=＿＿＿(a<0).

例2.计算:

(3)2

（1）；利用这三个小题进一

2（1）（2）两小题学生

（2）7；步使学生对2的化简有更

a

8自己完成；深刻的理解.

（3）小题仿照结论完

（3）(m1)2.

成.

解:（1）2；

(3)=3

（2）72=7；

88

（3）(m1)2=m-1(m≥1)

=1-m（m<1）.

代数式定义:用运算符号把为学生介绍代数式的介绍代数式的定义为

数和字母连接起来的式子,基本概念.今后的学习代数式化简做

叫做代数式.好准备.

s

例如:7,a,x+y,-2ab,,

t

m2,25,等都是代数式.

活动四归纳小结

请学生们回忆本节课训练学生的语言表达

a2

1.的化简；所学到的内容,谈谈你的收能力,勇于表达出自己的意

2获和体会,有什么好方法告

2.a与（a）2的区别;见和想法.

诉大家.

3.代数式定义.

10

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

作业：

1.计算：

(1).32；

(2).0.62；

(3).104；

(4).()2.

2.已知直角三角形的两条直

角边为a和b,斜边为c.

(1)如果a=12,b=5,求c；

(2)如果a=3,c=4,求b；

(3)如果c=10,b=9,求a；

(4)如果a=b=2,求c.

11

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22.2二次根式的乘除（第1课时）

教学任务分析

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与

知识技能运算；

教

2．会进行简单的二次根式的乘法运算．

学

数学思考让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.

目

解决问题使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

标

情感态度培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯.

会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运

重点

算．

难点二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．

板书设计

课题:22.2二次根式的乘除

引例练习：化简1,2

例题总结

课后反思

12

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动一探索发现

观察下面的例子：

49366

49236

于是可得到：请学生自己计算出结使学生了解到探索规律

一般都是从特殊到一般

4949果,并力争独立发现规律.

又如：

1255

25,

16164

115

255;

1644

类似地可以得到：

11

2525.

1616

由上面的特殊例子引

导学生得出

abab(a≥0，b≥0)

例1计算:

与学生一起应用使学生初步掌握如

abab(a≥0，b≥何计算二次根式乘法.

（1）3×7,

0)计算二次根式乘法.

1125

（2）×;

5

解:（1）3×7=21;

（2）1×125

5

注意,运算的结果，

1应该尽量化简.

=125=25=5.

5

练习1.计算:学生自我检验二次根

式乘法的掌握情况.

（1）2×21;

（2）3×12.

解:（1）2×21=42;

（2）3×12=36=6.

13

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动二举一反三

把abab反过来,就

得到abab利用它

就可以将二次根式化简.注意公式的逆用,经常

会帮助我们解决很多问题.

今后题中若不说明a使学生进一步记住化

中的a≥0.简是将能够开方的部分从

例2化简:根号中开出来.

与学生一起写全步骤.

（1）3681；

（2）9a2b3(a≥0,b≥0).

解:

（1）3681=3681

=6×9=54；

（2）

9a2b39a2b3

3ab2b3ab2b学生独自做,然后小组使学生亲身经历二次

作答案,并使他们记录下自根式的化简过程,找出自己

3abb

己的错误之处,以便下边交还不太理解的知识点.

活动三比一比谁最强

流.

1.化简:

（1）126；

（2）23415；

1

（3）6aab.再给上题出现错误的

2学生自己写出过程和

学生一次改正的机会,使他

2.化简:答案,在集体交流.

们对自己充满信心,坚信自

49121

（1）；己一定能学好.

（2）289；

（3）8y2；

（4）64xy3z4.

请学生小组交流本节

3.一个矩形的长和宽分别课的收获和体会,并记录在

是10cm和22cm，求这个笔记本上,再由小组代表分充分调动学生的学习

矩形的面积.别说出本组的收获,比一比积极性和爱护集体的心理,

活动四总结收获哪一组说得好.促使人人发言,人人有收

1.abab(a≥0，b≥0)获.

的正反两方向在计算和化

简中的应用；

2.注意,运算的结果，应该

尽量化到最简形式.

14

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

作业：

1．计算:

(1)75；

1

(2)27；

3

(3)515；

(4)3248.

2.化简：

(1)27x2y3；

2a

(2)18ab.

3

3.等边三角形的边长是3，

求这个等边三角形的面积.

15

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22.2二次根式的乘除（第2课时）

教学任务分析

1.会进行简单的二次根式的除法运算．

知识技能2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运

教算．

在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算

学数学思考

法则.

目引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数

解决问题

学问题．

标

通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作

情感态度

用的.

会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的

重点

除法运算.

难点二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用．

板书设计

课题:21.2二次根式的乘除

aa

结论1.（a≥0,b>0）例2

bb

aa

结论2（a≥0,b>0）练习1

bb

例1练习2

课后反思

16

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动一回忆对比

1.请同学们回忆

abab(a≥0，b≥0)使学生回忆起二次根对比二次根式的乘

是如何得到的?式乘法的运算方法的推导法推导出除法的运算方

过程.法

2.学生观察下面的例子，并计

算：

由学生总结上面两个式的关系增强学生的自信心,

得：类似地，请每个同学并从一开始就使他们参

再举一个例子，与到推导过程中来.

对学生进一步强化

请学生们思考为什么

类似地，请每个同学再举一被开方数的取值范围,以

b的取值范围变小了？

个例子，然后由这些特殊的例及分母不能为零.

子，得出：

aa

（a≥0,b>0）

bb

例1.计算:

31

（1）24;（2）.

218与学生一起写清解题

3

过程,提醒他们被开方式强化学生的解题格

解:（1）24一定要开尽.式一定要标准.

3

24

84222;.

3

31

（2）

218

313

183933

2182

17

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动二自我检测

练习1计算:

（1）287；

125

（2）；找四名学生上黑板板为了更快地发现学生

5

演,其余学生在练习本上计的错误之处,以便纠正.

3

（3）3x18x；算,然后再找学生指出不

2m6m足.

（4）.

311n2

活动三挑战逆向思维

aa此处进行简单处理是

把反过来,就得

bb二次根式的乘法公式因为有二次根式的乘法公

到可以逆用,那除法公式可以式的逆用作基础理解并不

逆用吗?难.

aa

（a≥0,b>0）

b

b

利用它就可以进行二次根

式的化简.

例2化简:

7

（1）;

121

让学困生在自己做题

36a

（2）(b≥0).找学生口述解题过程，时有一个参照.

25b2

教师将过程写在黑板上.

777

解:（1）

12112111

36a36a6a

（2）

25b225b25b充分发挥组长的作用,

练习2化简：请学生仿照例题自己尽可能在课堂上将问题解

0.09144解决这两道小题,组长检查决.

（1）

0.36100本组的学习情况.

12mn3

（2）

m3

活动四谈谈你的收获

1．商的算术平方根的性质

请学生自己谈收获,并培养学生的归纳与小

(注意公式成立的条件)．

总结本节课的主要内容.结的能力.

2．会利用商的算术平方根

的性质进行简单的二次根

式的化简．

18

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

作业：

计算:

18

（1）；

2

521

（2）；

710

3a12b2

(3)；

521a

1000m

(4).

150m3

19

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22.3二次根式的加减（第1课时）

教学任务分析

知识技能能够正确进行简单的二次根式加减法的运算.

教

通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思

数学思考

学想.

目解决问题通过二次根式加减法运算培养学生运算能力.

标通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充

情感态度

分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣.

重点二次根式加减法的运算.

难点探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算.

板书设计

课题:21.3二次根式的加减

提出问题：例2计算课堂小结

例1计算:

练习1练习2

课后反思

20

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动1提出问题创设问题情景，引起学生思

一个运动场要修两块考.设置问题情境,引出课

长方形草坪，第一块草坪的题，激发学生的学习兴趣.

学生回答：这个运动场要准

长是10米，宽是5米，第

备（105+205）平方米

二块草坪的长是20米，宽

的草皮.

也是5米。你能告诉运动

场的负责人要准备多少面教师提问：学生思考并回

积的草皮吗？答教师出示课题并说明今

天我们就共同来研究该如

问题：105+205是什么

何进行二次根式的加减法

运算？

活动2探究活动运算.

下列3个小题怎样计算?我们可以利用已学知在知道5+5怎么计

识或已有经验来分组讨论、

①5+5；算的基础上继续探讨，渗透

交流，看看5+5到底等转化思想.培养学生小组合

②5-125；于什么？小组展示讨论结作交流能力及根据已有知

③5-50+20.果.识和经验进行探究的能力.

教师引导验证：

问题：1）35-52还能继

续往下合并吗？①设5=a,类比合并同类

2）看来二次根式有的能合项或面积法;

并，有的不能合并，通过对②学生思考，得出先化简，

再合并的解题思路

以上几个题的观察，你能说

说什么样的二次根式能合5-125=5-55=-45

并，什么样的不能合并吗？③先化简，再合并

二次根式加减时,先将5-50+20

二次根式化简成最简二次=5-52+25使学生应用类比思想解决

根式后，再将被开方数相同=35-52问题.

的进行合并.学生观察并归纳:二次根式

活动3化为最简二次根式后,被开

练习1指出下列每组的二方数相同的能合并.

次根式中，哪些是可以合并培养学生观察、归纳能力.

的二次根式？（字母均为正

数）

（1）8,12，27；

教师巡视、指导，学生完成、

11

（2）72，75，；交流，师生评价.

250通过例题练习题使学

提醒学生注意先化简成最

（3）3，a，32a3b5.生能够正确找到可以合并

8ab简二次根式后再判断.

2b的二次根式.

21

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

例1计算:

（1）9a25a；

学生自己在笔记本上利用这简单的题目树

（2）8045.

独立完成.立学困生的自信心.

解:（1）9a25a

3a5a8a；

（2）8045

45355.

例2计算:

1

（1）2184332；

8

11

（2）(322)(75)

38

解:进一步巩固二次根式

加减法运算.

（1）原式=622122教师巡视、指导，学生

=；完成、交流，师生评价.

172

（2）原式

21

=423253

34

1513

=23.

43

练习2计算:

（1）189827；

1

（2）

240.56

8

活动四课堂小结

通过今天的学习你有

何收获？

（1）把每个根式化为

1.二次根式加减法的教师引导学生回忆本

最简二次根式.

运算方法和步骤是什么?节所学内容，学生回忆、交

（2）把其中最简二次

2.二次根式加减法应流，教师和学生一起补充完

根式合并.

注意先化简成最简二次根善，使学生更加明晰所学知

式，以及运算的准确性.识.

3.在学习过程中运用

了类比的学习方法.

22

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

作业：

计算:

（1）322；

（2）21227；

9

（3）18；

2

（4）4x222x；

（5）2x2a2x3；

（6）18322；

（7）755496108；

13

（8）(23)(227).

24

23

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22.3二次根式的加减（第2课时）

教学任务分析

知识技能利用二次根式加减法解决一些实际问题.

教

数学思考培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.

学

目解决问题获得把实际问题转化为数学问题的体验.

标

情感态度通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识.

重点将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点.

难点被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．

板书设计

课题:22.3二次根式的加减

复习引入

计算:

问题1问题2

练习1复习总结

课后反思

24

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教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动一复习引入

计算:（1）80205;

复习回顾二次根式加

21减法,引入本节课的内容.

（2）3402.学生复习二次根式加

510

数学来源于生活,应用于生活.减法的一般步骤.

下面我们研究一下二次根式在

实际生活中的应用.

活动二展示问题

问题1现有一块长7.5dm,宽

5dm的木板,能否在这块木板上训练学生的审题能力.

截出两个面积分别为8dm2和学生独自审清题意.

18dm2的正方形木板?教师与学生一起分析带领学生寻找将实际

解:因为大、小正方形木板的面题意,得出解题方法.问题转化为数学问题的思

积分别为8dm2和18dm2,所以,它路.

们的边长分别为8dm和18dm.

818

2232

52dm

2