第二章现代信号处理基础

第二章现代信号处理基础随机矢量及其统计特性（习题讲评）随机信号的估计评价及估计方法随机信号通过LTI系统相关抵消与正交分解谱分解定理信号模型参数与功率谱随机矢量及其统计特性以3个习题为例：例1N维高斯分布随机矢量的均值矢量为，协方差矩阵为。现对作线性变换，其中B是阶常数矩阵，试证明是高斯分布的。证明：由题意有，其概率密度函数为：其中，假设矢量为列矢量。的联合特征函数为：随机矢量及其统计特性式中，因为，由随机矢量特征函数的性质有：于是，也服从高斯分布。【证毕】随机矢量及其统计特性例2和分别为N维和M维零均值随机变量，不相关，但联合高斯分布。试证明它们是相互独立的。证明：设和为列矢量，其协方差矩阵分别为：、。设是和的联合矢量，记为：

的自协方差矩阵为：随机矢量及其统计特性

的概率密度函数即和的联合概率密度函数：【证毕】。第二章现代信号处理基础随机矢量及其统计特性随机信号的估计评价及估计方法随机信号通过LTI系统相关抵消与正交分解谱分解定理信号模型参数与功率谱随机信号的估计评价及估计方法估计器随机过程估计框图估计误差：从不同样本或同一样本不同N点数据，估计误差不同。参数x

的估计子的估计偏差（bias)：估计偏差：随机信号的估计评价1.无偏性和渐进无偏性：即从N个数据所得估计量的集平均等于待估计量的真值。2.有效性（方差）表明估计值偏离均值（对无偏估计即为真值）的分散程度。随机信号的估计评价(a)(b)方差小，偏差大(c)偏差小，方差大3.一致性（均方误差）称为的一致估计。均方误差即：估计子的均方误差等于其方差与偏差的平方和。随机信号的估计评价例：设一平稳白遍历随机过程的平均值和方差分别为m和,其任一样本函数为是一组N个取样点数据，试估计其平均值并作出评价。解：平稳遍历集合平均等于时间平均X(n)的均值估计：均值估计的集平均值：（无偏估计）均值估计的方差：随机信号的估计评价数字特征的估计方法1.均值的估计2.方差的估计此估计子是无偏的。当各样值不相关时，为一致估计(见上例)。可以证明：即该估计子是有偏的但是渐进无偏的。如果定义：则该方差估计是无偏的。3.自相关函数的估计由长为N的序列估计自相关函数：自相关函数估计的集平均：（无偏估计）数字特征的估计方法（有偏、渐进无偏估计）自相关函数估计的方差数字特征的估计方法第二章现代信号处理基础随机矢量及其统计特性随机信号的估计评价及估计方法随机信号通过LTI系统相关抵消与正交分解谱分解定理信号模型参数与功率谱随机信号通过LTI系统一、时域分析LTI系统示意1.输出Y(t)均值X(t)平稳时，有：Y(t)均值与时间无关2.输出Y(t)的自相关函数当X(t)平稳时，有：Y(t)的自相关函数仅与时间间隔有关，且有：3.输入与输出之间的互相关函数当X(t)平稳时，有：同理推导得：二、时域分析1.输出的自功率谱时域卷积对映（复）频域相乘2.输入与输出的互功率谱平稳时间序列通过离散LTI系统有对应类似的表达式连续系统离散系统输出的自相关函数输入、输出间的互相关函数输出的自功率谱输入、输出间互功率谱输出平均功率（均方值）例1：一离散时间平稳白噪声X(n)通过一阶IIR数字滤波器：解：输出功率谱：输出平均功率：试求输出的自相关函数、平均功率及自功率谱。白噪声：系统函数：冲激响应输出自相关函数例2：求双边功率谱的理想白噪声通过理想低通滤波器后输出噪声的功率谱、自相关函数及输出的噪声功率。解：设理想低通滤波器频响特性输出功率谱：输出自相关函数：输出噪声平均功率：第二章现代信号处理基础随机矢量及其统计特性随机信号的估计评价及估计方法随机信号通过LTI系统相关抵消与正交分解谱分解定理信号模型参数与功率谱相关抵消原理H+相关抵消器原理图相关抵消应用关于“三同信道”中的干扰对消原理：761234589Schmidt(施密特)正交正交分解定理的意义：便于直观理解信号的估计问题；便于信号的建模。矢量空间与内积空间：随机矢量的正交投影：

正交投影定理：Schmidt正交化：一维的情形二维的情形第二章现代信号处理基础随机矢量及其统计特性随机信号的估计评价及估计方法随机信号通过LTI系统相关抵消与正交分解谱分解定理信号模型参数与功率谱最小相位系统若离散系统传递函数H(z)的所有零点都在单位圆内，则称其为最小相位系统。最小相位序列序列，若其Z变换的所有零点都在单位圆内，则称该序列为最小相位序列。即：式中零点几个重要的概念（1）

倒序列:（2）

共轭系数多项式:（3）

共轭反射多项式：（4）

共轭倒序多项式：容易推导：相位序列变换最大相位（时延）序列：零点全在单位圆外。可证明：共有2M个序列具有相同振幅谱。部分能量：序列总能量：*最小相位序列能量集中在初始阶段(时延最小），最大相位序列能量集中在尾部(时延最大）。（证明见P12）零点零点若将不变零点倒易对应的功率谱估计：*具有相同振幅谱的2M个序列，其自相关函数相同。自相关函数的不变性：定义序列的取样自相关：*最小相位谱分解：找出成对共轭对称零点（共2M个）；将单位圆内零点归总构成最小相位多项式A(z)。零点倒易零点0.5零点2零点0.2零点5零点倒易例：对应序列：对应序列：对应最小相位序列：对应最大相位序列：序列序列序列序列具有相同幅度谱不同序列的部分能量部分能量：*不同序列总能量相同。*最小相位序列能量集中在初始阶段(时延最小），最大相位序列能量集中在尾部(时延最大）。（证明见P12）谱分解定理其为常数，B(z)是有理函数，即，其中任何实平稳随机信号x(n)的有理功率谱Sx(z)都可唯一地表示成最小相位形式：都是最小相位多项式。例：某平稳随机信号x(n)的有理功率谱为试利用谱分解定理将其分解为最小相位形式。解：Re1j0z1z2p2p1p4p3Im于是，谱分解定理的推论任何平稳随机信号x(n)都可以看成由白噪声序列激励一个因果和稳定的线性时不变系统B(z)产生的输出。平稳随机信号模型(白噪声)N(z)、D(z)最小相位多项式实际上，白噪声色噪声白化滤波器例：已知一离散时间有色噪声，其自功率谱为试设计一线性数字滤波器H(z)对其进行白化处理。解：系统框图如下（零极点都在单位圆内）第二章现代信号处理基础随机矢量及其统计特性随机信号的估计评价及估计方法随机信号通过LTI系统相关抵消与正交分解谱分解定理信号模型参数与功率谱出发点：设所研究的时间序列是由u(n)激励一个因果LTI系统H(z)所产生的输出；若H(z)是稳定的，则单位脉冲响应是确定性的，x(n)是平稳的；若u(n)是确定的，则x(n)确定；反之，x(n)随机。特别地，u(n)为白噪声，根据不同的传输函数H(z)可对不同的时间序列建模；由已知的x(n)或其自相关函数Rx(n)来估计H(z)的参数由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱。对一个研究对象建模是现代工程常用方法（精确的数学表达、模型灵活性）时间序列x(n)的参数模型：信号模型与系统模型的关系：信号模型不完全等同于系统模型，如FIR和IIR滤波器。信号模型的输入输出已知：激励源为白噪声，输出为随机序列；而系统模型的I/O具有多样性。信号模型研究的目的是通过研究系统特性获得信号的统计特性；系统模型的研究目的是获取系统特征参数。系统模型的稳定性对应信号模型的平稳性。同一序列可分别由不同阶数和参数的AR、MA、ARMA模型描述。AR、MA、ARMA模型的阶数和参数唯一确定时间序列的自相关函数和功率谱等统计特征。ARMA模型（零点—极点）ΣDDDD………Σ设输入是零均值方差为的白噪声序列，则输出功率谱：若h(n)为实序列，则：于是，AR模型（全极点）ΣDDDD………MA模型(全零点)DDD…ΣWold分解定理：任何广义平稳随机序列都可以分解为一个完全随机部分和一个确定的部分。（注：所谓“确定性随机序列是指能够通过以前无限个取样值完全加以预测的序列”。）Wold分解定理的推论：若随机序列功率谱连续，则任何ARMA或AR序列可以用一个无限阶的MA过程表示。任何ARMA或MA序列可以用一个无限阶的AR序列表示。任何随机时间序列可选择ARMA、AR和MA模型中的一个进行建模。即使选择了不合适的模型，但只要阶数足够高，仍可较好地逼近被建模的随机过程。ARMA、AR与MA模型的关系

估计ARMA或MA模型参数需要解非线性方程组，相对复杂；估计AR模型参数只需解线性方程组，相对简单，是研究重点。模型参数与功率谱基本思路：将模型参数与已知或估计的自相关函数联系起来，构成求解模型参数的方程组，从而估计对应模型下时间序列的功率谱。Y-W方程的建立推导：对Sx(z)求z反变换来获得Y-W方程；根据模型的差分方程求输出时间序列x(n)的自相关函数。

由差分方程：有AR模型的Yule-Walker方程为求AR(p