高中立体几何中的最小角定理与最大角定理的应用 讲义-2023届高三数学二轮复习（含答案）

最小角定理与最大角定理的应用目录最小角定理与最大角定理的应用 1知识梳理 2例题精选 41三余弦定理 42三正弦定理 93最小角定理 124最大角定理 175两个定理综合应用 23

知识梳理一、最小角定理1．直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫作这条斜线和平面所成的角．为什么要这样定义?因为线面角的定义是为了反映直线相对于平面的倾斜程度的，而任何一条直线和平面内的所有直线所成的角的最大值都是90∘，而最小值可以反映直线的倾斜程度，2．最小角定理线面角是平面的一条斜线与该平面内的直线所成角的最小值．证明如图，OP是平面α的一条斜线，点P在平面α内的射影是点H，直线OQ是平面α内除OH以外的的任意一条直线．作HQ⊥OQ于点Qcos从而cos⁡∠POH＞cos说明三余弦定理有时也被称作“爪子定理”，此外三余弦定理也是三面角余弦定理的特例．二、最大角定理1．二面角的大小的定义先直观的感受一下如下几个二面角的大小关系：二面角大小的定义:在二面角α−l−β的棱上任取一点O,分别在半平面α,β内作OP,OQ垂直为什么这样定义二面角的大小?因为∠AOB是半平面α内的所有直线与另一个半平面β先发挥一下空间想象力,以O为圆心,定长r为半径,在β内作半圆AOB,设半圆弧的中点为C,点P是半圆上一动点,它在α内的射影点为H.则当点P从点A移动到点C的过程中,点P的高度越来越高;点P从点C移动到点B的过程中,点P的高度越来越低.从而当点P在点C处时,即OP⊥l时,OP与成的角θ的正弦值sin⁡θ2.最大角定理二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大值.证明如图,∠POH是二面角α−l−β的平面角,且PH⊥β,Qsin⁡∠(即三正弦定理:sin线线角·sin面面角=sin线面角).从而sin⁡∠POH

例题精选1三余弦定理例1从点P出发的3条射线PA,PB,PC,每两条射线的夹角是60∘答案33解析如图,在PC上取点D作DO⊥平面PAB,垂足为O,PO为PC的射影,则∠CPO是PC与平面PAB所成角,由题意知:cos⁡∠即cos⁡60∘=cos⁡∠例2已知平面α//β,直线l与α所成角的正切值为22,直线m⊂α,l⊥m,直线n⊂β答案π3解析如图,设l'为直线l在平面α上的射影,则l'⊂α.又l⊥m,由三垂线定理知l'⊥m,且cos⁡θ1=63cos⁡解得cos⁡θ2=32,即θ2=例3如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为棱AB,BC的中点,则二面角B1答案13解析如图,连接BD,设BD∩MN=O,易得MN⊥平面BB1连接A1C1,则∠A1cos⁡∠即cos⁡∠A1C1P例4e1,e2,e3为空间单位向量,e1⋅eA.36−433 B.36+433答案选A.解析设OE1=e1∵空间向量a满足a⋅∴OA在平面OE1E2内的投影OB是∠E1∴∵对任意的x,y∈ℝ,a−xe1−yea−λe3的最小值即为点法一以O为圆心,直线OB为x轴,在平面AOB内建立平面直角坐标系,则点A(3,4)到直线OE3:y法二利用三角函数角差求出正弦由题意可得sin⁡∠E3OB=6例5(2018全囯I卷理)如图,四边形ABCD为正方形,点E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.答案(1)略;(2)34解析(2)作PH⊥EF,垂足为H,由(1)知:PH⊥平面ABFD,DE⊥PE.不妨设DP=2,则DE=1,从而PE=3,又PF=1,EF设DP与平面ABFD所成角为α,则由三余弦定理知:cos⁡αcos⁡θ=cos⁡β45(1)求证:EF⊥(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.答案(1)见以下证明过程;(2)33解析(1)证明:因为平面ACFD⊥平面ABCcos⁡∠设BC=a,则DC=2B所以BD=D由勾股定理的逆定理可知BC⊥DB,又因为三棱台中EF//(2)略.注这里三余弦定理起了关锂作用,由三余弦定理得到得∠BCD的余弦值,进而通过计算证得BC⊥BD,两道小题都是通过转化的思想,将直线进行平移后进行处理.第(1)小题是把直线EF平移到BC,第(2)小题是把直线DF平移到

2三正弦定理例1如图,在正三棱柱ABC−A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BBA.π3 B.π4 C.arcsin⁡104答案选D.解析由题意可知,二面角D−AA1−C的大小为∠BAC例2如图,在坡面α与水平面β所成二面角为60∘的山坡上,有段直线型道路AB与坡脚成30∘的角,这段路直通山顶A.已知此山高1353米.若小李从B答案33解析作AO⊥平面β于点O,作OC⊥l于点C.由题意可知∠ACO=在ℝt△AOB中,由sin⁡∠ABO=AO例3已知棱长为1的正四面体P−ABC,PC的中点为D,动点E在线段AD上,则直线答案0,解析设二面角D−AB−C的平面角为设直线BE与平面ABC所成的角为θ,由三正弦定理得sin⁡又sin⁡∠ABE∈0,63例4(2018年全囯II卷理)如图,在三棱锥P−ABC中,AB=(1)证明:PO⊥平面ABC(2)若点M在棱BC上,且二面角M−PA−C为30∘答案(1)略;(2)34解析(1)证明:由题意知,O为AC中点,所以OP⊥AC,且又由OP2+OB2=(2)由题意知,线线角∠CPA=60∘,二面角M−PA−

3最小角定理例1已知在平行四边形ABCD中,M、N分别为AB、AD上异于点A的两点,把△AMN沿MN翻折,记翻折后的A为A',直线A'C与平面A.θ1=θ2B.答案选C.解析A'C与平面BCDNM所成的角θ1,就是A由最小角定理可知,θ1小于A'C与平面BCDNM内作射影之外的其他任何直线所成的角,所以注点评:本题主要考查空间线面位置关系及空间角的相关知识,考查考生的空间想象能力及逻斩推理能力,常规解法是作出A'在平面ABCD内的射影,进而分别作出θ例2已知二面角α−l−β是直二面角,A∈α,A.θ1+θ2=90∘ B.答案选C.解析如图,过点A,B分别作l的垂线,分别交于点C,D,则AC⊥β,BD⊥例3如图,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC−A1B1C1中,P是棱BC上的动点.记直线A1P与平面ABCA.θ1=θ2B.答案选C.解析由题意可知∠A1PA=θ1是线面角,θ2是线线角,由最小角定理知:θ注这道题如果按照线面角、线线角的定义进行计算,再比较大小,需要构造三角形,解三角形,利用三角函数的定义、单调性求解,计算复杂,耗时较长,但如果用最小角定理则可秒杀.例4已知三棱锥P−ABC的所有棱长为1,M是底面△ABC内部一个动点(包括边界),且M到三个侧面PAB,PBC,PCA的距离A.α=βB.β=γ答案选D.解析设此正四面体各个面的面积为S,则V即VA−PBC=3VM−PBC,设过△ABC的重心G且平行于BC设线段AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,ℎ1所以点M在△BDG内(不含BG边,DG边),故点M的轨迹是线段B1G注意到β也是PM与底面所成的角,由最小角定理可知β<又AB,AC与B1cos⁡所以cos⁡α=cos⁡γ例5在三棱维A−BCD中,BC=BD=AC=AD=10,AB=6,CD=16,点PA.31010B.1010C.答案选A.解析取CD中点M,连结BM,PM,因为BC=BD=AC=AD=10,CD=16,所以AM=BM=6,进而知△ABM为等边三角形,也知∠易得BO=33,OP=BP由最小角定理可知:异面直线BP与CD所成角的最小值即为直线BP与平面ACD所成的角,即(sin⁡例6如图,在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点P是平面AA.0,12 B.0,13 C.1答案选A.解析设B1D∩面A因为|PD|+PB1=2+13,所以点P又点P是平面A1BC1内一动点,易知平面A1BC1截粗球的图形为圆面,故点所以直线B1P和直线AD1所成角即为B1P和直线BC1所成角,由最小角定理可知,B1易知θ=π3,且B1P和直线BC1所成角的最大值为π

4最大角定理例1如图,已知三棱锥D−ABC,记二面角C−AB−D的平面角是θ,直线DA与平面ABC所成的角是θ1A.θ⩾θ1B.θ⩽答案选A.解析由最大角定理知:θ⩾θ1下面来个画蛇添足吧:由最小角定理得θ1⩽θ当二面角θ趋向于0时,θ⩽θ2;当二面角θ趋向于π例2如图,已知三棱锥A−BCD的所有棱长均相等,点E满足DE=3EC,点P在棱AC上运动,设EP与平面BCD所成角为答案22解析因为EP是平面ACD内的一条动直线,所以EP与平面BCD所成角θ的最大值即为二面角A−CD−B设H为正四面体A−BCD的底面BCD的中心,设CD的中点为F,连接HF,如下图,易知∠AFH设正四面体的棱长为6,则HF=3,sin⁡∠注本题跟例1几乎一模一样,都是把线面角的最大值转化为二面角.例3如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.易知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15cm,(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).答案53解析法一常规方法∵AB=15,AC=25,∴BCPC=2ℎ,tan⁡∵3−403ℎ+25法二最大角定理如下图,不妨取BM⊥平面ABC,再过B作BH⊥AC于点H,连MH,可得MH⊥AC由最大角定理可知:AP与平面ABC所成角的最大值即为二面角M−因为AB=15m,AC=25m所以BM=∴tan⁡∠MHB=MBBH=注AP的最大仰角,即为AP与平面ABC所成角的最大值.因为点P在射线CM上移动,则AP是平面MCA内的一条动直线,由最大角定理,AP与平面ABC所成角的最大值,即为二面解M−AC−例4如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=3,AD=5,A答案513解析法一几何法,利用垂线法作出二面角的平面角延长C1E交BB1于Q,连接QF,过B1作B1H⊥FQ于H,连接HC1,由B1C1⊥tan⁡∠当点E在棱BC上运动时,动直线FQ过定点F,两个临界位置是FB、FA,所以点B1到直线FQ的距离B1H的最大值为B二面角的一个面固定,即半平面FQB1固定,另一个半平面在变动,注意到这个不停变化的半平面经过定直线C1F,所以由最大角定理可知,二面角的最小值就是法二建系法以A为坐标原点,分别以直线AB、AD、AA1为设平面EFC1与平面AA1B1B所成的锐二面角为θ,点En取y=12得,n=(−2t−10,12,3tcos⁡又tan2⁡θ=1cos法二投影面积法AB=3,AD=4,AA1=4,ΔC1EF在平面AA1B1以A为坐标原点,分别以直线AB、AD、AA1为E(3,S△C1PE=例5如图,已知△ABC中,D是AB的中点,沼直线CD将△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'−CD−B的平面角为答案选B.解析法一考虑极端情况当二面角A'−CD−B趋向于0时,∠A'CB⩾α;当二面角当二面角A'−CD−B趋向于0时,∠A'DB⩾法二(1)当AC=BC时,(2)当AC≠BC时,如图,点A'投影在AE上.α因为等腰△A'OA和等腰△A'DA有公共底边,且DA⩾

5两个定理综合应用例1已知三棱锥D−ABC,平面DAB⊥平面ABC,记二面角D−AC−B的平面角α,DAA.α⩾β⩾γB.β答案选A.解析由最大角定理可知β⩽α.因为β可看作AB与AD成的角(线线角),γ是AB与平面ADC所成的角(线面角),所以由最小角定理得β⩾注线面角可以找到对应的线线角,这个线线角必小于等于其他的线面角例2已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S−AB−C答案选D.解析由题可知,四棱锥S−ABCD是正四棱锥,如图,设底面正方形的中心为O,AB的中点为M.则又SE与BC所成的