优选教案：人教B版高中数学选择性必修第三册5.1.2 数列中的递推

5.1.2数列中的递推本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习数列中的递推数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列递推公式是学生学习了数列的概念、通项公式、表示方法以及分类基础上，对数列知识进一步深入和拓广，让学生认识到数列递推关系是研究数列的一个重要途径。数列的前n项和及前n项和Sn与an.的关系也是数列中的重点内容。让学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，加深课程目标学科素养A.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.B.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.C..理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an1.数学抽象：数列递推公式2.逻辑推理：数列的前n项和与通项的关系3.数学运算：前n项和Sn求通项a4.数学建模：数列的概念重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标情景导学问题1.如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？观察1，3，

6，10，15，…中数字出现的规律，写出第8个数.如果将给定的数列记作数列{an}，那么相当于是给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8，因为a2-a1=3-1=2a4-a因此，可以猜想，数列{an}应该满足an+1=aa7a8显然，上述数列{an}可以由a1=1，,an+1一、数列的递推关系如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).通项公式与递推公式的区别与联系类别区别联系通项公式an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项递推公式已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式三、典例解析例1.分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第，写出数列的第7项；（1）1,2,4,7,11，…;（2）-1,2,5,8,11，…;（3）1,-2,4,-8,16，….解:（1）因为a2-a1=2-1=a4-a所以，a即a从而可知a6a（2）因为a2所以，a即a从而可知a（3）因为a所以,an+1即a从而可知a由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=a跟踪训练1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=2anan+2给出解:∵a1=1,an+1=2anan+2,∴a3=2aa4=2aa5=2a故该数列的前5项为1,23例2.意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系.解:根据题意可知，前2个月内，小兔子都还没有长成大兔子，因此F第3个月时，第1个月的那对小兔子会生1对小兔子，因此F第4个月时，第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子，因此F第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子，因此F第6个月时，第1个月的那对小兔子、第3个月出生的小兔子以及第4个月出生的小兔子，都会生1对小兔子，因此F一般地，当n应该等于第n又因为第n

-2个月的兔子对到了第n个月都能生1F例2中的数列，通常称为斐波那契数列，可以证明，斐波那契数列1，1，2，3，5，8,…的通项公式为F因为其中的，恰好是黄金分割比，所以斐波那契数列也称为黄金数列。令人惊奇的是斐波那契数列在很多领域中都有广泛的应用，而且自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中还有专门的斐波那契分析法，有兴趣的读者请查阅有关资料进一步了解吧！问题2.已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列，220，530，950，1360，1820，2350，假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即220+530+950+1360+1820+2350=7230二、数列的前n项和一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.例如，对于尝试与发现中的数列来说，S1=a1=220，S2=a1+a2=220+530=750，S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等。问题3.已知数列{an},的前n项和为Sn=2n

你能写出a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？因为S1=2×1+1=3，又因为S1=a1，所以a1=3.因为S2=2×2+1=5，又因为S2=a1+a2,所以a2=因为S3=2×3+1=7，又因为S3=a1+a2+a3=S2+a3所以，a3=三、an与Sn的关系一般的如果数列{an}的前n项和为Sn，那么当n≥2Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1Sn=a1+a2+a3+…+an所以Sn=Sn-1+an因此an=S例3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2,

求数列解：由题意可知当n≥2a又因为2×1-1=1,因此a由Sn求an的方法an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2),若a1适合an(n≥2),则用一个公式表示an,若a1不适合a跟踪训练2.(1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an;(2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an.分析:利用an=S1(解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.显然a1=-1也适合n≥2时的an=4n-5.故数列{an}的通项公式为an=4n-5.(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1,显然a1=2不适合n≥2时的an=4×5n-1.故数列{an}的通项公式为an=2通过正具体情境，引出数学问题，进行数学分析。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列递推关系的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过典例分析，深化对数列递推关系概念的理解。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对数列递推关系的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题，引入数列前n项和的概念，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.下列说法错误的是()A.递推公式也是数列的一种表示方法B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.答案:C2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于()A.6 B.7 C.8 D.9解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.答案:C3.设数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4的值为()A.15 B.37 C.27 D.64解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.答案:B4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,则通项公式an=解析:∵an+1=an+ln1+1∴a2-a1=ln1+11a3-a2=ln1+12=lna4-a3=ln1+13=ln……an-an-1=ln1+1n-1以上(n-1)个等式相加,得an-a1=ln2+ln32+…+lnnn-1∵a1=2,∴an=2+lnn.∵a1=2+ln1=2,∴{an}的通项公式为2+lnn.答案:2+lnn5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1),∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1．因为an＝Sn－Sn－1只有当n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.五、课时练通过总结