教学设计1 抛物线的简单几何性质_第1页
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文档简介

§2.3.2抛物线的简单几何性质●教学目标1.掌握抛物线的几何性质;2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程;3.能利用工具作出抛物线的图形.●教学重点抛物线的几何性质●教学难点几何性质的应用●教学过程Ⅰ.复习回顾简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答)师:这一节,我们根据抛物线的标准方程①来研究它的几何性质Ⅱ.讲授新课范围当x的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).2.对称性抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.4.离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.总结：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率轴轴轴轴师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质.例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),求它的标准方程。分析：由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P.解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),所以可设它的标准方程为:因为点M在抛物线上，所以，即，因此所求方程是说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤；②抛物线没有渐近线；③抛物线的标准方程中的几何意义：抛物线的通径，即连结通过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段.例2.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.分析：例3是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB分段转化成点A、B到准线距离，从而达到求解目的.解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为y=x－1.①将方程①代入抛物线方程y2=4x,得（x－1）2=4x化简得x2－6x＋1=0解之得：将x1，x2的值分别代入方程①中，得即A、B坐标分别为、.解法二：在图8—22中，到准线x=－1的距离同理于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1＋x2＋2.由此可以看到，本题在得到方程x2－6x＋1=0后，根据根与系数关系可以直接得到x1＋x2=6于是可以求出|AB|=6+2=8.说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.例3.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴。证明：如图，以抛物线的对称轴为轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系。设抛物线的方程为：①点的坐标为，则直线的方程为②抛物线的准线方程是③联立②③，可得点的纵坐标为：④因为点的坐标是，所以直线的方程为⑤其中联立①⑤，可得点的纵坐标为⑥由④⑥可知，∥轴，当时，结论显然成立，所以直线平行于抛物线的对称轴。Ⅲ

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