第十四章-第3讲-不等式选讲

考试要求1.不等式的基本性质(B级要求)；2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(B级要求)；3.不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法)(B级要求)；4.算术—几何平均不等式与柯西不等式(A级要求)；5.利用不等式求最大(小)值(B级要求)；6.运用数学归纳法证明不等式(B级要求).第3讲不等式选讲知

识

梳

理(－a，a)1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a____________∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔________________；②|ax＋b|≥

___________________________；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则_________≤|a±b|≤_________，当且仅当__________时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤_____________，当且仅当________________时，等号成立.3.不等式证明的方法 (1)比较法： ①作差比较法：

知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b只要证明_________即可，这种方法称为作差比较法.|a|－|b||a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0a－b>0②作商比较法：(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“__________”的方法.(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“__________”的方法.由因导果执果索因(4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.(5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.4.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥_________(当且仅当ad＝bc时，等号成立). ②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，等号当且仅当α，β共线时成立.(ac＋bd)21.求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.

解

①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2， ∴x<4，∴1<x<4， ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.

综上，原不等式的解集为(－∞，4).诊

断

自

测2.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围.解∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.故实数a的取值范围为[－2，4].4.(2018·江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.

解由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.

因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，所以x2＋y2＋z2的最小值为4.解∵x>0，y>0，故λ的最小值为－4.考点一绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值【例1－1】

(2018·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范围.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.【例1－2】(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值； (2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.

解

(1)∵x，y∈R， ∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1， |y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2， ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3. ∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3. (2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，

即|x－2y＋1|的最大值为5.规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法.【训练1】

(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.y＝f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.考点二绝对值不等式的综合应用所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}.(2)证明由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.规律方法

(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.【训练2】

已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集； (2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.

解

(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以实数a的取值范围是[2，＋∞).考点三证明不等式角度1比较法证明不等式规律方法作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号.角度2综合法证明不等式【例3－2】(1)已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3.规律方法1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和均值不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.角度3分析法证明不等式【例3－3】

设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴原不等式成立.因此要证原不等式成立，∴原不等式成立.规律方法当所证明的不等式不