5-1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）（解析版）

5.1平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版）题组一题组一概念辨析1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下面的命题正确的有（

）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若，满足且与同向，则D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（

）A．对于任意两个向量，若，且同向，则B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件D．若，则与的夹角是钝角【答案】BC【解析】选项A：向量是既有大小又有方向的量，但不能比较大小，故选项A错误；选项B：在单位向量上的投影向量为，故选项B正确；选项C：若存在负数，使得，则；若，则向量与的夹角为钝角或，故选项C正确；选项D：若，则与的夹角是钝角或角，故选项D错误；故选：BC.3．（2022·江苏）（多选）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（

）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．【答案】ABD【解析】对于选项A，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故A正确；对于选项B，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；对于选项C，取，无论取何值，向量都平行于x轴，而向量的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故C错误；对于选项D，，又，不共线，，即，即，（当且仅当时等号成立），，得，故D正确故选：ABD．4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设是已知的平面向量且，向量，和在同一平面内且两两不共线，关于向量的分解，下列说法正确的是（

）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使．【答案】AB【解析】对于A，给定向量，总存在向量，使，故A正确；对于B，因为向量在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确；对于C，设，给定，则不存在单位向量和实数，使，故C错误；对于D，设，给定，则不存在单位向量和单位向量，使，故D错误．故选：AB．5．（2022·东莞高级中学）（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．【答案】ACD【解析】A.若向量，则不一定平行，故错误；B.根据向量的运算律可知，B正确；C.，且，所以或，故错误；D.表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，与不一定相等，故错误.故选：ACD6．（2022·全国高三专题练习）（多选）已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A．若，则B．若，且，则C．若∥，∥，则∥D．若，则【答案】ABC【解析】对A，不一定共线，故A错误；对B，平面向量的数量积没有消去律，故B错误；对C，若，则的方向是任意的，故C错误；对D，，故D正确.故选：ABC.7．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确命题的序号是________．【答案】②③【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若,，则，显然正确，故③正确；对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确，对于⑤，当时，，，但推不出，故⑤不正确.故答案为：②③题组二题组二共线定理1．（2022·广东）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】因为､､三点共线，所以存在实数λ，使得，，所以，∴，解得.故选：A.2．（2022·河南省杞县）已知向量，不共线，，，若，则______．【答案】6【解析】因为，且，所以存在，使得，即，因为，不共线，所以解得，．故答案为：6.3．（2021·全国）设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使和共线．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：，，，，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）和共线，∴存在实数λ，使，即，.，是两个不共线的非零向量，，.题组三题组三平面向量的基本定理1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中）中，是边上靠近的三等分点，则向量（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为点是边上靠近的三等分点，所以，所以；故选：C.2．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，所以为三角形的重心，所以.故选：B.3（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∵，又，∴，即.故选：D.4．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．6．（2022·全国·高三专题练习）在等边中，O为重心，D是的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】O为的重心，延长AO交BC于E，如图，E为BC中点，则有，而D是的中点，所以.故选：D7．（2022·河南）在△ABC中，，M为AD的中点，，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取为基底.利用向量的线性运算可得：，所以，所以=.故选：A8．（2022·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内一点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，,，而，所以，又，即，所以.故选：D.9．（2022·云南·一模（理））在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意作上图，设，由条件，∴，，，∴点D在AB的延长线上，并且，∴

，故选：D..10．（2022·辽宁沈阳·二模）（多选）如图，在方格中，向量，，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A不正确，作向量与向量，可得，且，故B与C正确，连接BD，则AC与BD互相垂直，所以向量与向量在向量上的射影的数量是相同的，所以，故D不正确．故选：BC.

11．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）（多选）在中，为中点，且，则（

）A． B．C．∥ D．【答案】BC【解析】因为，则三点共线，且，又因为为中线，所以点为的重心，连接并延长交于，则为的中点，所以，所以∥故选：BC．12．（2022·全国·模拟预测）（多选）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD，BC交于点F，H设，，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，设，，则，，，，，．又F为的重心，则，直线AG的方程为，直线BC的方程为，联立解得，则，，，因为，，所以，，，．故选：ACD．13．（2022·全国·高三专题练习）在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．【答案】【解析】由已知，得，所以，因为，所以，，所以．故答案为：14．（2022·全国·高三专题练习）在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.【答案】【解析】因为，所以，又，即，因为点在线段上，所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，所以，又是边长为的等边三角形，所以，故.故答案为：.15．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，E、F是边，上的点，，，若，则平行四边形的面积为_________．【答案】【解析】如图，，，所以，即，解得或（舍去），所以平行四边形的面积为.故答案为：．16．（2022·全国·高三专题练习）等腰直角ABC中，点P是斜边BC边上一点，若=+，则ABC的面积为______【答案】【解析】如图，由于=+，所以，则，所以在等腰直角中，，，所以，即腰长为5，故的面积.故答案为：.17．（2022·全国·高三专题练习）已知，则与的面积之比为_______【答案】【解析】，点在的边上：有，．故答案为：．题组四题组四数量积1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）在中，，．若，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得,即,即，即，解得，故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解析】，且所以：．故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形的边长为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则.故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，三点共线，，又故选：C5．（2022·陕西·交大附中）已知在平行四边形中，，则值为__________．【答案】【解析】由题设可得如下图：，而，所以，又，所以，则，故，可得，即.故答案为：6．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）已知等边的边长为6，平面内一点P满足，则____________．【答案】【解析】因，则，等边的边长为6，则，所以.故答案为：7．（2022·天津·模拟预测）已知菱形的边长为，是的中点，则______．【答案】【解析】依题意，，因为菱形的边长为4．所以．故答案为：8．（2022·全国·高三专题练习）如图，，则_________【答案】【解析】因为，所以，即，所以，故答案为：题组五题组五取值范围1．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）边长为2的正三角形内一点（包括边界）满足：，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点M在内部（包括边界），所以，由.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，于是得，而，且与不共线，则，即有，因此，，当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，所以的最小值为.故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆上任意两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，连接，，设为和的夹角.则且，由，当时，有最小值；当时，有最大值为10.故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中点为，连接，，因为是圆的一条动弦，且，所以，又，，即因此，取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，又点为直线上的任意一点，所以点到直线的距离，即是，即，因此，即.故选：C.6（2022·全国·高三专题练习）在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，所以又，可知所以化简可得又，，所以则即，又在递增所以故故选：A7．（2022·天津·高三专题练习）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，若线段上存在一点，使得，则_______，若点为线段上一个动点，则的取值范围为_______.【答案】

【解析】由题意，设，根据向量的线性运算，可得，则，解得，所以，若点为线段上一个动点，如图，设，，，，，，因为，所以．故答案为：；.8．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.【答案】

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【解析】因为在中，，所以,即.因为点在线段上移动（不含端点），所以设.所以，对比可得.代入，得；代入可得，根据二次函数性质知当时，.故答案为：题组六题组六平面向量与其他知识的综合运用1．（2022·全国·高三专题练习）若是的各边中线交点，，，分别是角，，的对边，若，则角（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】是的各边中线交点，是的重心，，，则有，设，则，，则有，则，故选：.2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（

）A．2 B．C． D．【答案】A【解析】为的重心，又在线段上，故选：．3．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，因为AD为BC边上的高，所以，因为M为AD的中点，所以，又因为，所以，所以.故选：C.4．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）在边长为2的等边中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】如图，作交于点，则为等边三角形，又，则，又，则四边形为平行四边形，则，则.故选：C.5（2022·全国·高三专题练习）在△中，点D满足=，直线与交于点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设,则,，且，共线，则，所以所以，解得，此时，所以，故.故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知是半径为2的圆O的内接三