4-2 等比数列（精讲）（基础版）（解析版）

4.2等比数列（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列满足，且，则数列的前项和等于（

）A． B． C． D．（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．3 D．4【答案】(1)C（2）B【解析】（1）因为，且，所以数列是以2为公比的等比数列，又，得，所以.故选：C（2）设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得，.故选：B.1.1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).温馨提示【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（

）A． B．C．或1 D．或1【答案】C【解析】设等比数列的公比为q.因为，，所以，，即，，所以，解得或.故选：C.2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知为等比数列的前n项和，且公比，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，得，因为，所以，即.故必要性满足；.因为，，所以．故充分性满足.所以“”是“”的充要条件.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知为等比数列，为其前项和，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，则，所以，，因为，即，，解得，因此，.故选：C.4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列的前项和为，，，则公比（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，等比数列满足，，，则，，两式相除得，.故选：D5（2022·四川·三模（理））已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．21 B．81 C．243 D．729【答案】C【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C考点二等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列中，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C【解析】根据等比中项得，所以.故选：C.【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在等比数列中，若，是方程的两实根，，，则，，则，则或，即充分性成立，当，或时，能推出，但无法推出，即必要性不成立，即“，是方程的两实根”是“，或”的充分不必要条件，故选：A．【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】因为､是方程的两根，所以，，所以，，又为等比数列，则，所以，所以或（舍去），所以.故选：B.2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（

）A．6 B．9 C．27 D．81【答案】B【解析】，.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）设，，，是非零实数，则“，，，成等比数列”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由成等比数列可得，但当时，不是等比数列，所以“a，b，c，d成等比数列”是“ad=bc”的充分而不必要条件，故选：A.4．（2022·广西柳州）在等比数列中，已知，，则公比（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由等比数列，解得，所以，所以，故选：D.考点三等比数列前n项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40【答案】D【解析】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故选：D．【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】当时，，又，即前10项分别为，所以数列的前10项中，，所以，故选：C．【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列中，，对任意，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】因为，且等比数列各项均为正数，所以，公比首项，所以，通项，所以，当且仅当，所以当时，的最小值为8.故选：C.【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（

）A．180 B．108C．75 D．63【答案】D【解析】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为，偶数项之和为，，等比数列的所有项之和为，则，解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和为，则r的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】当时,,当时，所以，故选B.4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.又，，成等差数列，所以，，所以.又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.考点四等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列结论正确的是（

）A．数列是公差为的等差数列B．数列是公差为2的等差数列C．数列是公比为的等比数列D．数列是公比为2的等比数列【答案】C【解析】∵，∴，既不是等比数列也不是等差数列；∴，∴数列是公比为的等比数列．故选：C【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列的前n项和为，则下列数列一定是等比数列的有（

）A．，，，… B．，，，…C．，，，… D．，，，…【答案】BD【解析】设数列的公比为，，对于A和C，都有首项，当时，，不满足等比数列，故AC错误；对于B，，且，同理，故数列，，，…为等比数列，B正确；对于D，，且，，故数列，，，…为等比数列，D正确；故选：BD2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{}满足：(1)求证：数列{}是等比数列；(2)，求数列{·}的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)因为，所以.而，所以数列{}是以为首项，以3为公比的等比数列，所以，即.(2)由（1）可得∴记……①所以……②①-②得：∴∴.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，．(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列前项和．【答案】(1)证明见解析；；(2).【解析】(1)因为，所以，又因为，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，从而，故.(2)由(1)中结论可知，

①，所以

②，由①②得，

化简整理得，，所以，故，所以，故.考点五等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是(

)A． B．1 C． D．【答案】D【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2，则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，则，∴.故选：D.【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（

）参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】第一次操作去掉，设为；第二次操作去掉，设为；第三次操作去掉，设为，依次类推，.故，整理，得，，，故n的最小值为7.故选：B.【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（

）A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末【答案】A【解析】设表示第n小时末的细菌数，依题意有，，则是等比数列，首项为，公比，所以.依题意，，即，所以,由于，又，所以，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,故选:A.2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（

）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A．42 B．56 C．63 D．70【答案】C【解析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，由，可得，解得，两边取对数得，则，所以，故需要的天数约为.故选：C3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台