几何变换之一

几何变换之一第1页，共47页，2023年，2月20日，星期三

图形变换是指将一个几何图形按照某种准则变换成另一个几何图形，例如，将图形进行缩放、旋转、平移等；将三维图形投影变换到二维平面上，将静态图形变换为动态图形，实现动画效果等等，这些过程都称之为图形变换。1概述第2页，共47页，2023年，2月20日，星期三二维图形几何变换的原理二维图形由点或直线段组成直线段可由其端点坐标定义二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换2基本二维图形几何变换第3页，共47页，2023年，2月20日，星期三1.平移变换（translation）平行于x轴的方向上的移动量平行于y轴的方向上的移动量xy平移变换（5-7）（5-8）2基本二维图形几何变换第4页，共47页，2023年，2月20日，星期三平行于x轴的方向上的缩放量平行于y轴的方向上的缩放量2.比例变换（scale）指相对于原点的比例变换

yx相对于原点的比例变换相对于重心的比例变换yx重心（5-10）（5-9）第5页，共47页，2023年，2月20日，星期三比例变换的性质当时，变换前的图形与变换后的图形相似当时，图形将放大，并远离坐标原点当时，图形将缩小，并靠近坐标原点当时，图形将发生畸变第6页，共47页，2023年，2月20日，星期三3.旋转变换（rotation）

点P绕原点逆时针转θ度角（设逆时针旋转方向为正方向）（5-11）（5-12）将式（5-11）代入式（5-12）得：（5-13）（5-14）yx旋转变换第7页，共47页，2023年，2月20日，星期三

1）齐次坐标技术的引入平移、比例和旋转等变换的组合变换处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。

2）变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现3）齐次坐标技术的基本思想把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决。

3齐次坐标第8页，共47页，2023年，2月20日，星期三4）齐次坐标表示齐次坐标表示不是唯一的

有n个分量的向量有n+1个分量的向量哑元或标量因子规格化的齐次坐标3齐次坐标第9页，共47页，2023年，2月20日，星期三5）基本几何变换的齐次坐标表示

平移变换比例变换旋转变换：6.无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示

时，齐次坐标表示一个n维的无穷远点

逆时针为正

第10页，共47页，2023年，2月20日，星期三1.对称变换（symmetry）（反射变换或镜像变换）（1）相对于y轴对称（2）相对于x轴对称oyx对称变换（1）yxo对称变换（2）4常用二维图形几何变换第11页，共47页，2023年，2月20日，星期三（3）相对于原点对称（即中心对称）（4）相对于直线y=x对称oxy对称变换（3）xyoy=x对称变换（4）第12页，共47页，2023年，2月20日，星期三（5）相对于直线y=-x对称xyoy=-x对称变换（5）第13页，共47页，2023年，2月20日，星期三2.错切变换（shear）（1）沿x轴方向关于y轴错切将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的倾斜线，而保持y坐标不变。△x

错切变换（1）yx第14页，共47页，2023年，2月20日，星期三（2）沿y轴方向关于x轴错切将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成Ψ角的倾斜线，而保持x坐标不变。

错切变换（2）yx△y第15页，共47页，2023年，2月20日，星期三1）相对于任意点（x0,y0）的比例变换对任意点比例变换的步骤：（1）平移变换（2）相对于原点的比例变换（3）平移变换当（x0,y0）为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相对于重心的比例变换。5二维组合变换第16页，共47页，2023年，2月20日，星期三令任意点比例变换示意图平移平移比例则有第17页，共47页，2023年，2月20日，星期三2）绕任意点（x0,y0）的旋转变换绕任意点旋转变换的步骤：（1）平移变换（2）对图形绕原点进行旋转变换（3）平移变换

θ(x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)θOxy(x1,y1)(x4,y4)相对于任意点(x0,y0)的旋转变换第18页，共47页，2023年，2月20日，星期三任意点旋转变换示意图平移平移旋转令则有第19页，共47页，2023年，2月20日，星期三3）对称平行于X轴的任意直线

当对称轴是平行于X轴的直线y﹦yc时，变换前后点的坐标之间的关系为：变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：其中变换矩阵：第20页，共47页，2023年，2月20日，星期三4）对称平行于Y轴的直线当对称轴是平行于Y轴的直线x﹦xc时，变换前后点的坐标之间的关系为：变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：其中变换矩阵：第21页，共47页，2023年，2月20日，星期三5）对称于任一点(xc,yc)的变换变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：其中变换矩阵：对称于任一点(xc,yc)的变换，可以看做分别相对于直线轴x﹦xc和直线轴y﹦yc的两次对称变换，是两者的综合：第22页，共47页，2023年，2月20日，星期三6）对称于任一轴的变换

首先平移直线经过坐标原点，而后将直线绕坐标原点旋转至同某一坐标轴重合，做对称于坐标轴的变换，最后反向旋转和反向平移将直线置回原处。第23页，共47页，2023年，2月20日，星期三做对称于Y轴的对称变换，其变换矩阵为：最后反向旋转和反向平移将直线置回原处，其变换矩阵分别为：第24页，共47页，2023年，2月20日，星期三所以，对称于任一轴y﹦mx﹢b的变换矩阵为：当m为直线斜率，b为截距时有：所以第25页，共47页，2023年，2月20日，星期三替换变换矩阵中的和得：上述变换用代数方程表示为：第26页，共47页，2023年，2月20日，星期三6二维图形几何变换总结

旋转、比例错切、对称透视投影总体比例平移第27页，共47页，2023年，2月20日，星期三6二维图形几何变换总结仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。

二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：

第28页，共47页，2023年，2月20日，星期三6二维图形几何变换总结二维几何变换具有如下不变性：直线的中点不变性；平行直线不变性；相交不变性；仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性；错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。仿射变换的封闭图形面积之比不变第29页，共47页，2023年，2月20日，星期三窗口视图变换1.窗口和视图区用户坐标系（worldcoordinatesystem，简称WC）设备坐标系（devicecoordinatesystem，简称DC）窗口区（window）视图区（viewport）用户坐标系与设备坐标系的变换关系可以二维仿射变换模型予以描述，如何推导？第30页，共47页，2023年，2月20日，星期三三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增加对z坐标的考虑而得到，其基本变换也为平移、比例、旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨论中我们已经使用了齐次坐标表示法，其变换矩阵是3×3阶矩阵。对于三维空间，则变换矩阵需要是4×4阶矩阵。1三维图形几何变换第31页，共47页，2023年，2月20日，星期三平移变换已知空间一点的坐标是P(x,y,z），沿X、Y及Z轴方向分别平移tx

、ty、tz，后，得新坐标P(x′,y′,z′）的表示式为：矩阵形式为：第32页，共47页，2023年，2月20日，星期三比例变换相对于原点的比例变换的表示式为：矩阵表示是：第33页，共47页，2023年，2月20日，星期三矩阵表示为：（1）绕Z轴旋转变换三维图形绕Z轴旋转时，图形上各顶点z坐标不变，x、y坐标的变化相当于在XY二维平面内绕原点旋转。所以绕Z轴旋转变换的表达式为：旋转变换第34页，共47页，2023年，2月20日，星期三（2）绕X轴旋转变换

三维图形绕X轴旋转时，图形上各顶点x坐标不变，y、z坐标的变化相当于在YZ二维平面内绕原点旋转。所以绕X轴旋转变换的表达式为：矩阵表示为：第35页，共47页，2023年，2月20日，星期三（3）绕Y轴旋转变换三维图形绕Y轴旋转时，图形上各顶点y坐标不变，x、z坐标的变化相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。所以绕Y轴旋转变换的表达式为：矩阵表示为：第36页，共47页，2023年，2月20日，星期三绕任意轴旋转变换已知空间一点的坐标是P(x,y,z),设给定的旋转轴为I，它对三个坐标轴的方向余弦分别为：绕该轴进行旋转变换其旋转矩阵的获取方法为：通过平移及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，绕坐标轴完成指定的旋转，然后再用逆变换使给定轴回到其原始位置。各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。第37页，共47页，2023年，2月20日，星期三设旋转角为θ，轴上任一点P(xc,yc,zc)为旋转的中心点。则复合变换的过程为：(1)将P(xc,yc,zc)平移到坐标原点；变换矩阵为：(2)将I轴绕Y轴旋转y角，同YZ平面重合，其变换矩阵为：第38页，共47页，2023年，2月20日，星期三(3)将I轴绕X轴旋转x角，同Y轴重合，其变换矩阵为：(4)将P(x,y,z）点绕Y轴旋转θ角，其变换矩阵为：第39页，共47页，2023年，2月20日，星期三（5）绕X轴旋转-x角，其变换矩阵为：（6）绕Y轴旋转-y角，其变换矩阵为：第40页，共47页，2023年，2月20日，星期三（7）将P(xc,yc,zc)平移回原位置，其变换矩阵为：复合变换矩阵为：T﹦T1T2T3T4T5T6T7第41页，共47页，2023年，2月20日，星期三（8）中间变量的计算方法变换过程式中，sinθx、sinθy、cosθx、cosθy为中间变量，应使用已知量n1、n2、n3表示出来。考虑I轴上的单位向量n，它在三个坐标轴上的投影值即为n1、n2、n3。取Y轴上一单位向量将其绕X轴旋转-θx角，再绕Y轴旋转-θy角，则此单位向量将同单位向量n重合，其变换过程为：第42页，共47页，2023年，2月20日，星期三即n1=sinθxsinθy，n2=cosθx，n3=sinθxcosθy。同时考虑到n12+n22+n32=1，可解得：第43页，共47页，2023年，2月20日，星期三将矩阵相乘后并将中间变量替换掉可得复合变换矩阵，展开成代数方程为：

x’﹦(x﹣xc)(n12﹢(1﹣n12)cosθ

﹢(y﹣yc)(n1n2(1﹣cosθ)﹢n3sinθ)﹢(z﹣zc)(n1n3(1﹣cosθ)﹣n2sinθ)﹢xcy’=(x﹣xc)(n1n2(1﹣cosθ)﹣n3sinθ)﹢(y﹣yc)(n22﹢(1﹣n22)cosθ)﹢(z﹣z