第四章第三节波动方程的混合问题分离变量法

第三节一维波动方程的混合问题分离变量—Fourier方法Fourier方法，又称分离变量法，是求解偏微分方程定解问题的一个重要方法，本质是把偏微分方程的定解问题通过变量分离转化为一个特征值问题，并把它的解表示成按特征函数展开的级数形式。Fourier的思想影响深远。

现在是1页\一共有37页\编辑于星期五内容3.1

世纪争论

3.2

Fourier解法3.3

驻波法3.4Fourier变换

现在是2页\一共有37页\编辑于星期五3.1

世纪争论

1822年法国数学家、物理学家Fourier1的热的数学理论（TheorieAnalytique

de

la

Chaleur）一书的出版，是应用数学发展中最重要的一个里程碑．该书不仅为一般类型边值问题提供了一种示范性的形式处理、也开拓了一类具有很大普遍性的数学方法的理论．在他的著作中写道；“深入研究自然是数学发现最丰富的泉源”。现在是3页\一共有37页\编辑于星期五Fourier生平

Jean

Baptiste

Joseph

Fourier（1768－1830），也译作傅里叶，法国数学家、物理学家。9岁父母双亡，

被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学，1794到巴

黎，成为高等师范学校的首批学员，

次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔

省地方长官。1817年当选为科学院院

士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。

现在是4页\一共有37页\编辑于星期五2.1

世纪争论

在数学史上，关于偏微分方程的第一次真正的成功来自对以小提琴弦为典型的弦振动问题的重新研究，即考察弦发出的声音在空气中的传播。在研究了这种声音之后，数学家们处理了各种形状的号角、管风琴、铃、鼓和其他乐器发出的声音。也在这个时期，交响音乐才得到真正的发展。

现在是5页\一共有37页\编辑于星期五在当时处理弦振动问题时，弦被当成“小珠的弦”，即弦被看成由݊个离散的、相等的和等间隔的、被此间用没有重量的柔软的弹性绳相连接的重物构成．1727年，John

Bernoulli处理了离散质量的情况。1746年，d’Alembert在论文“张紧的弦振动时形成的曲线的研究”中提议，证明无穷多种与正弦曲线不问的曲线是振动的模式。首先证明了一维波动方程的解可以表示为

现在是6页\一共有37页\编辑于星期五几个月后，Euler发表了论文“论弦的振动”，提出用分段连续函数，指出振动弦的一切可能的运动，无论弦的形状怎样，对于时间那是周期的。Daniel

Bernoulli（

John

Bernoulli的儿子）也加入了d’Alembert与Euler的争论，断言振动弦的许多模式能够同时存在，是这条弦响应所有这些模式的和或叠加；但未给出数学论据以支持他们论点。1769年，年轻的的Lagrange参加了争论，引发了求和号和积分号的交换问题。现在是7页\一共有37页\编辑于星期五2.2

Fourier解法

在Daniel

Bernoulli的赞助下，Fourier的工作解决了关于弦振动问题的解的争论。下面研究一维波动方程的混和问题：

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Fourier解法按照Fourier提出的方法，取一乘积形式的解带入原方程分离变量，把上式写成

从而得到分离方程

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Fourier解法根据分离方程和适当的齐次边界条件组成的问题，确定分离常数的容许值。齐次边界条件得到

从而得到函数的齐次方程组

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Fourier解法为了得到非平凡和有意义的解，分别讨论现在是11页\一共有37页\编辑于星期五2.2

Fourier解法现在是12页\一共有37页\编辑于星期五2.2

Fourier解法我们把这个解记为现在是13页\一共有37页\编辑于星期五2.2

Fourier解法下面求解其解为常数归并现在是14页\一共有37页\编辑于星期五2.2

Fourier解法显然满足边界条件；使之满足剩下的初始条件，需要确定两组未知系数。若要试图满足初始条件，可取

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Fourier解法有现在是16页\一共有37页\编辑于星期五2.3

驻波法

分离变量法有明显的物理意义，现在我们以两端固定的一维弦振动为例来说明这一点．把形式解的每一项改写

其中

现在是17页\一共有37页\编辑于星期五现在是18页\一共有37页\编辑于星期五2.3

驻波法

所以在物理上亦把分离变量法称为驻波法，把弦的振动看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。如果用弦振动来描述弦乐器的演奏，此时解ݑ൫ݔ，表示乐器发出的声音，那么弦的基音是由最低频率

现在是19页\一共有37页\编辑于星期五不同的弦乐器之所以在同一个音调下发出的声音，就是因为虽然它们具有同一个基音频率，它们却有着完全不同的泛音，因此引起了音色的差异。现在是20页\一共有37页\编辑于星期五点时，基音及所有的泛音频率就比原来的频率增加一倍，这样色就发出了比原来高八度的音调。此外，经常用拧紧弦线的方法来调整音调．其实从基音表达式可以看出，这是通过改变弦的张力来促使基音频率变化。张力越大，基音频率越高．不同的弦线有粗细之分，反映了弦线在密度上的差异，粗弦线密度大，细弦线密度小，因此两根不同的弦线在相同的条件下，细弦线比粗弦线发出更高的音调。

现在是21页\一共有37页\编辑于星期五3.4Fourier变换现在是22页\一共有37页\编辑于星期五现在是23页\一共有37页\编辑于星期五物理意义现在是24页\一共有37页\编辑于星期五现在是25页\一共有37页\编辑于星期五现在是26页\一共有37页\编辑于星期五现在是27页\一共有37页\编辑于星期五现在是28页\一共有37页\编辑于星期五Radon变换现在是29页\一共有37页\编辑于星期五现在是30页\一共有37页\编辑于星期五

广义函数的Fourier变换

现在是31页\一共有37页\编辑于星期五现在是32页\一共有37页\编辑于星期五

d’Alembert公式

现在是33页\一共有37页\编辑于星期五