几何体表面积与体积的运算问题

一、规则几何体求表面积和体积问题例1如图，正方体ABCDABCD的棱长为1，E,F分别为线段AA,BC上的点，则111111三棱锥D1EDF的体积为____________.1D1C1解：VDEDFVFDDEhFDDESFD1DEA1B11131F1111SFEA1B1D1DE16DC332【小结】求空间几何体体积时，进行等积转换是常考点，本题转AB换顶点和底面是解题关键，体现了转化思想.例2已知正四面体的棱长为a，求其表面积与体积．解：S表4S侧41aa33a2．22（1．公式法）A过A作AO面BCD，垂足为O，由对称性可知，O为△ABC的中心．连接BO交CD于E，则E为CD中点，且BO2BE3AOa2(23a)26a，323VABCD1hABCDSBCD16a3a26a3.333412

．B DEC【小结】直接用公式求三棱锥的体积难点在于求高线，即点到面的距离．本题是利用正四面体的对称性解决的．（2.分割法）作CD的中点E，连接AE，BE．E是CD的中点，AECD，BECD．CD面ABE．CE面ABE，DE面ABE．AVABCDVCABEVDABE11DESABE1CESABE3SABECD331a1a(3a)2(1a)22a3BD322212CE【小结】借助线面垂直将正四面体分割成两个高线已知的三棱锥，规避了求正四面体高线的难点．3.补形法）将正四面体补成正方体，正四面体的棱长是正方体的面对角线，易知正方体的边长为a．这样我们就可以在正方体中研究正四面体．如图可知，正四面体可以看成正方体割2去四个小三棱锥所得．BVABCDV正方体4V三棱锥2a)31212a)22a3A(4a2(122322【小结】将正四面体放在正方体中研究是经常使用的方法．更一般的，任意一个四面体都可以将其补成一个平行六面体.CD二、不规则几何体求表面积和体积问题例3若某几何体的三视图（单位cm）如图所示，则该几何体的体积等于cm3．Ａ１Ｃ1DＡ解：根据三视图，将几何体还原成直观图ＢＣ由于几何体是不规则的，无法直接用体积公式，所以需要将其转化为规则的几何体．（1）补形法，即将不规则的几何体补成规则的几何体．Ａ１过A1作A1B1AB且A1B1AB，连接B1C1，B1D，则Ｂ１ＣABCA1B1C1是直棱VABCADCVABCABCVDABCBB1SABC1DB1SABCD111111113111ＡSABC(BB1113)24DB1)34(5323ＢＣ（2）分割法，即将不规则的几何体割成规则的几何体．解：法1：连接AD，CD，则几何体被分割成三棱锥DABC和四棱锥DACC1A1．VABCA1DC1VDABCVDAA1C1C1hDAA1C1CSDAA1C1C1DBSABCＡ332512134258ＣhDAA1C1C32hDAA1C1C33DＡHＢ Ｃ过B作BHAC交于H面ABC面ACCA交于AC，BHAC且BH面ABC，11BH面ACC1A1．面ABC面ACC1A1交于AC，BHAC且BH面ABC，BH面ACC1A1．VABCA1DC125hDAA1C1C424.3【小结】本题的关键有两处，一是将几何体分割成三棱锥和四棱锥，二是通过线面平行进行等积转化．解：（法2）过D作DEAA1交AA1于E，过D作DFCC1交CC1于F，则几何体被分割成四棱锥DACFE和三棱柱ABCEDF．Ａ１11VABCVDVABCEDF1hDSACFEDBSABCＣADCACFEACFEＥ1111115hDAA1C1C21345121224DＦ325【小结】本题的关键是将几何体分割成三棱柱和四棱锥．结合上一题，我们发现分割的方法可以有多种，具体选哪一种看运算的Ｂ简单与否．三、组合体求表面积和体积问题例4某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的表面积是（

ＡＣ）A.90cm2 B.129cm2 C.132cm2 D.138cm3由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为 3，底面是直角边长分别为 3、4的直角三角形， 四棱柱的高为 6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为 3和4，∴几何体的表面积 S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138cm2）．例5已知一个几何体的三视图如图所示（单位： m），则该几何体的体积为 _______m3．242244正视图侧视图俯视图解：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为p鬃124+1p鬃222=20pm3．33例6如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器， 容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（ ）A.500 cm3 B.866cm3 C.1372cm3 D.2048cm33 3 3 3解：设球的半径为R，