小学奥数精华讲义汇总

2012第一讲分数的速算与巧教学目本讲知识点属于计算块内容，分为三个方面系统复习和学升初常考计算题型1、裂项：是计算中需要发现规律、利用的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握1a形式的，这里我们把较小的数写面，即a<b，11(1abbaa=×对于分母上为341n×(n+1)×(n+，1n×(n+1)×(n+2)×(n+11[11n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n=×+×+×++11[11n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n=×+×+×+×+×++×+×分子全部相同，最简单形式为都是1都是x(x然数)的，但是只要将提取出来即可转化为分子都是1算分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2接abab1abababb+=+=××a2b2a2b2aabababb+=+=××(1)1×2+2×3+3×4+...+(n−1)×n1(1)(3=n−×n×n123234345...(2)(1)1(2)(1)(4××+××+××++n−×n−×n=n−n−nn二、换中小学课外辅导领牌-2分母n9，其中n个按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中90·9a=a·ab=ab··19910ab=ab×=ab·abcabca=1=120+=())1+1=)(1+1=)(1+1=)(1+1从分母N两个mn,有11(()()(mnmNNmnNmnNm+==++=1A+本题10有:1,10,2,5例如：选1211(12)1211010(12)+==+=++2)10(12)11111111101111012143515=+=+=+=例题精【例1】11111234234534566789789+++⋅⋅⋅+××××××××××××××1111=×⎛−+−++−⎞⎜××××××××××××⎟⎝⋯11312389=×⎛−⎞⎜××××⎟⎝=【巩固】3 12342345171819++××××××××3[1(1111...1131232342343451718191819=××−+−++×××××××××××1123181920181920××=−=×××××5712323489+++×××××⋯相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原3234312323489++=++×××××⋯3111212123234891012323489=×⎛+++⎞+×⎛+++⎞⎜××××××⎟⎜××××××⎝⎠⎝⋯中小学课外辅导领-3311111112112122323348991023349=××⎛−+−++−⎞+×⎛+++⎞⎜××××××⎟⎜×××⎝⎠⎝⋯31121111121291023349=×⎛−⎞+×⎛−+−++−⎞⎜××⎟⎜⎟⎝⎠⎝⋯3112122902=×⎛−⎞+×⎛−⎞⎜⎟⎜⎝⎠⎝71460=−−23=也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项为2n+3，所()()()()()(23212121nnnnnnnn+=×+×++×+×+×()(2n+1×n+与3n×n+1×n+11555910910×+++×××××××（⋯5910910+++×××××××观察可知523，734，……即每一项的分子都5910910+++×××××××⋯23349234345910++=++×××××⋯111113424453510119=+++++×××××⋯1111359=⎛+++⎞+⎛+++⎞⎜×××⎟⎜×××⎟⎝⎠⎝⋯111111111111111435468109=⎛−+−++−⎞+×⎛−+−+−++−+−⎞⎜⎟⎜⎝⎠⎝⋯11111=⎛−⎞+×⎛−+−⎞⎜⎟⎜⎝⎠⎝8123325=+×⎛+⎞⎜⎝=所以原115531=×=345124523563467101113+++×××××××××××⋯【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5原32425212345234563456710111213=+++×××××××××××××××⋯可以用平方差：32=1×5+4，42=2×6+4，52=3×7+4……32425212345234563456710111213=+++×××××××××××××××⋯563456710111213×+×+×+×=+++×××××××××××××××⋯中小学课外辅导领-411123434545611234563456710111213=⎛++++⎞⎜××××××××⎟⎝+⎛++++⎞⎜××××××××××××××××⎟⎝⋯⋯1111112234344511423452345345610111213111213=×⎛−+−++−⎞⎜××××××⎟⎝+⎛−+−++−⎞⎜××××××××××××××××××⎟⎠⋯⋯11112231213234111213=×⎛−⎞111⎛–⎞⎜××⎟⎜××××××⎟⎝⎠⎝122121324111213=−+××××+=××18211=×118308=−【例3】12342232342345234++++××××××××⋯⋯12342232342345234=++++××××××××⋯⋯2234234−−−=+++×××××⋯⋯111111122232323423492349=−+−+−++××××××××××⋯⋯19=−××⋯×【例4】11111212312++++++++⋯ 111(11)12==+×，1112(1222==++×22222(11)2001122334100101101101=++++=×−=×××【巩固】2341(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(123+++×++×++++×+++++++×+++⋯⋯⋯1×＋33×＋4＋511–313–616–1–【巩固】2341(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12+++×++×++++×++++++×++⋯⋯【解析】211(12)11=×+，31(12)(123)1212=+×++++中小学课外辅导领-51001(1299)(12100)129912=++⋯+×++⋯+++⋯++1112=+115050=−【巩固】123112(12)(123)(1239)(123−−−×++×++++++×+++⋯（）⋯1(23410=−+++×××⋯1111111=−⎛−+−+−++−⎞⎜⎝⋯11=−⎛−⎞⎜⎝1=【例5222221111+++++−−−−−.

113【解析】这题是利用平方差进行裂项：a2−b2=(a−b)×(a+b)，(1)(1)(1)(1)(1)(1244668810101212=++++×××××(111111111111)24466881010121214=−+−+−+−+−+−(11)12142=−×22222223571223347+++×××⋯222222222222222347−−−=+++×××⋯2222221111111223347=−+−+−+⋯+218=−=222222223151715171199311995+++++++++−−−−⋯2222121212121315171199311995=⎛+⎞+⎛+⎞+⎛+⎞++⎛+⎞+⎛+⎞⎜−⎟⎜−⎟⎜−⎟⎜−⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋯9972224461994=+⎛+++⎞⎜×××⎟⎝⋯9971111124461994=+⎛−+−++−⎞⎜⎝⋯99712=+⎛−⎞⎜⎝997=122232++++×××⋯为22−1，42−1，62−1，……，1002−1，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4乘以4后除以4中小学课外辅导领牌-6原2222221464141611⎛=×⎜++++⎟⎝−−−−⋯22211111111=×⎛++++++++⎞⎜−−−−⎟⎝⋯1501114=×⎛+++++⎞⎜××××⎟⎝⋯1423355799⎡⎛⎞⎤=×⎢+×⎜−+−+−++−⎟⎥⎣⎝⋯⎡⎛⎞⎤=×⎢+×⎜−⎟⎥⎣⎝1504=×12=【巩固】2244668810××××+++××××2211111(1)(1)annn==+=−−−×原(11)(11)(11)(11)(11=++++++++××××51(11)55521111=+×−=+(22)(88)(1818)(3232)(5033557799=−+−+−+−+26 35791111=++++−=−【例6112311(11)(11)(11)(11)(1122323++++×++×+××⋯⋯11122(11)(11)(11)(11)2(1)(2)1231nnnnnn+=+==×++++++×+××+⋯(11)(11)(11)(11)2334451999⎡−+−+−++−⎤×⎢⎣⋯＝1−11111212312++++++122(11n12(1)1nnnn===++⋯×+原1112(23(31)2007(200722=+++×+×+⋯×2221223342007=+++×××⋯2=×=【巩固】111335357357+++++++++⋯⋯【解析】1nnnnn==++⋯++×++×，中小学课外辅导领-7原11111=+++++×××××⋯11111

1010=⎛+++⎞+⎛+++⎞⎜×××⎟⎜×××⎟⎝⎠⎝⋯11111211122=×⎛−⎞+×⎛−⎞⎜⎟⎜⎝⎠⎝=【例7】12123123412322323423+++++++++×××+++++⋯⋯(12((1)1(1)2nnannnnn+×=+××+−原2334455623344554 ×××××××=××××=××××××⋯⋯233445564849495050142536474750485149××××××=××××××××××××⋯3502152=×【例82222222222223333333333331121231241211212312412++++++++−+−+++++++++223332(1)12622(1112(1)3(1)34nnnnannnnnnn×+×++…+===×=×++…+×+×+原式2[(11)(11)(11)(11312233426×+−+++⋯⋯−+2(11)327×−2211111213199⎛+⎞×⎛+⎞××⎛+⎞⎜−⎟⎜−⎟⎜−⎟⎝⎠⎝⎠⎝⋯2211(1)((1)1(1)1(2)annnn+=+=+−+−×原2233989899(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(99×××=×××+×−+×−+×−+×⋯223344559898999929997100981100×××××=××××××=××××××⋯222223213199×××−−⋯【解析】通项(()()()(221n1111nnnnn+=+++−223344989899(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(99××××=××××+×−+×−+×−+×−+×⋯22334455989899 100×××××=××××××××××⋯223344989899132435979998=××××××⋯×××2991100=×2222121100500022005000999900+++−+−+−⋯中小学课外辅导领-8【解析】本题的通项22100nn−n理分n2−100n50005000−n(100−n5000(100−n)⎡⎣100(100−n)⎤⎦看出如把n换成100n的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下2250−5000+．将项数和为100(()(222()2222100100220010000100500010010010050001005000100nnnnnnnnnnnn−+−−+==−+−−−+−+−，所以原式249+199．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式=199【例1】⎞⎛+++++−⎞⎛×+×+××22212221111120141224⋯⋯21×＝3121−41×＝514(1)(261212+2+2++n2n×n+×n＝⋯子有10有10是“一个对一个”呢⎛+++++−⎞⎛×+×+××22212221111120141324⋯⋯＝⎞⎛×+×+××−⎞⎛×+×+××10111231126201412241⋯＝⎞⎛×+×+××−⎞⎛×+×+××2022201412241⋯＝⎤⎡⎞×–×++⎞⎛×–×+⎞⎛×–××202212012241＝⎞⎛×+×+××201412241⋯＝⎞⎛×+×+××10121161⋯⎞×⎛611．模块二、换元与应【例10】计算：1333537393+113+133【解析】原式=13233343+⋯+143+153(2343+⋯+143()(233315158124×=−×+576002724=−×=【巩固】13+243×5+⋯9【解析】原式(2−1)(2+1(3−1)(3+1(10−1)(10中小学课外辅导领-9()()()()(2222222212310101121106=−+−++=+++=++++×=−⋯⋯⋯【巩固】计算：1232343458【解析】原式2(22−1)+3(32−1)4(42−1)9(92=23+33+43+⋯+93−(2+3+4+⋯+()2()=1+2+3+⋯+9−1−2+3+4+⋯+=452−45=23451111113333+++++【解析】法一：利用等比数列求和。711313⎡⎛⎞⎤×⎢−⎜⎟⎢⎣⎝⎠⎥⎦–7⎡⎛⎞⎤=⎢−⎜⎟⎥×⎢⎣⎝⎠234511111133333S=+++++则23433111113333S=++++++6333S−SS=法三：本题与例3是例3子为3，与公比41，分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，2345222222233333S，则运用6213S，整理得S=(2242621002)(1232529921239109832+++⋅⋅⋅+−+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++【解析】原22222222(21)(43)(65)(10099−+−+−+⋅⋅⋅+=(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(100+×−++×−++×−+⋅⋅⋅++×=123499100505050100100++++⋅⋅⋅+==【巩固】⑴( = ⑵12342+87662+2468×8766= 【解析】⑴观察可知 都与415926相差1，设a= 原式=a2−(a−1)(a+1)=a2−(a2−1)=1=12342876622×1234中小学课外辅导领-10=(1234+8766)2=100002【巩固】计算：122232422005220062【解析】原式200722006252−42+3222=(2007−2006)×(2007+2006)+(2005−2004)×(2005+2004)+⋯+(3−2)×2)=2007+2006+2005+2004+⋯+3+21(20071)2=×+×122222323242425220002122334452000++++++++⋅⋅⋅××××【解析】原1222223232424252200021212232334344545200020012000=++++++++⋅⋅⋅+×××××××××122334452000 =++++++++⋅⋅⋅+2(13)(24)3519992001122334420002000=+++++⎛+⎞+⋅⋅⋅+⎛+⎞+⎜⎟⎜⎝⎠⎝22222200040002001=++++⋅⋅⋅++个2【例14】⎡⎣2007(8.5×8.5−1.5×1.5÷10⎤⎦÷1600.3【解析】原=⎡⎣2007−(8.5+1.5)(8.5−1.5)÷10⎤⎦÷160−=⎡⎣2007−10×(8.5−1.5)÷10⎤⎦÷160−=(2007−7)÷160−0.3=12.5−0.3【巩固】计算：53574743原式=(55−2)×(55+2)−(45+2)×(45−2)=552−22−(452−22)=552−452=(55−45)×(55+45)【巩固】计算：11×19+12×18+13×17+14×16【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差．原式(15242(152−32(15222(152−12=152×4−(12+22+32+42=900−30=其中12223242可以直接计算，但如果项数较多，应采用122221(1)(21)6nnnn【巩固】计算：1×992×983×974951原式(50−49)(5049+(5048)(50+48+⋯+(501)×(50=(502−492)+(502−482)+⋯+(502−12=502×49−(12+22+⋯+492=502×49−(12+22+⋯+492 -1150249149506=×−××=502×49−49×=49×25×(100−=49×25×=【巩固】看规律1312，132332，13233362……，试求6373.原=(13+23.+⋯+143)−(13+23.+⋯+53)()2()2=1+2+3+⋯+14−1+2+34+=1052−152=(105−15)(105+15)=90×120=(111)(111)(1111)(1242462462++×++−+++×【解析】11124+++=a1124b，则：(1)(6=a−×b−a×b16=ab−b−ab+1(6=a−b116=×【巩固】(1111)(1111)(11111)(112342345234523+++×+++−++++×+【解析】1123a11(1155(+a)(a+)-a+a+【巩固】111111111111111112131412131415111213141512131⎛+++⎞×⎛+++⎞−⎛++++⎞×⎛++⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝【解析】111112131+++=a112131b，151=a×⎛⎜b+⎞⎟−⎛⎜a+⎝⎠⎝151=ab+a−ab−1(=a115111=×【巩固】11111111111111115791179 （+++）×+++−（++++×+【解析】1111579+++=11179++=B原113=A×⎛⎜B+⎞⎟−⎛⎜A+⎝⎠⎝113=A×B+A−A×B−1(=A−中小学课外辅导领-1211135=×【巩固】计11111111111111234524624624⎛++++⎞×⎛++++⎞−⎛+++++⎞×⎛+++⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝【解析】1111234++++=A111234+++=原式=16A×⎛⎜B+⎞⎟−⎛⎜A+⎝⎠⎝=16A×B+×A−A×B−×B=1166×A−16=×(A−B16=212391239111292323410234102231034⎛++++⎞+⎛++++⎞×−⎛++++⎞×⎛+++⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋯⋯⋯【解析】123234t，则有21(11212122222t+t×−+t⎛t−⎞=t+t−⎛t+t−t−⎞=⎜⎟⎜⎝⎠⎝【巩固】2(1239(12391(11239239234102341022341034+++⋯+++++⋯+×−++++⋯+×+【解析】12392t3=4++，则有2111)2121)22222t+t×−+tt−=t+t−t+t−t−【巩固】计121 12009++++++⋯⋯【解析】设N=31+.原式12N++1111N++=12NN+111++=1212NN+++.【巩固】7.88+6.77+5.66)(9.31+10.98+10)−7.886.775.66+10×【解析】换元的思想即“打包”，令a7.886.775.66，b9.31+10.98，=a×(b+10)−(a+10)×b=(ab+10a)−(ab+10b)=ab+10a−ab−10b=×(a−b=10×(7.88+6.77+5.66−9.31−10.98)=10×0.02=【巩固】计算(10.450.56)0.450.560.67)(1+0.450.560.67)×(0.45+0.56【解析】该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设a0.450.56，b0.450.56+有原式(1a)×b(1+b)×a=b+ab−a−ab=b−a【例16】计算：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇，结果保留三位小数【解析】方法一：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇中小学课外辅导领-13方法二：0.1̇+0.125+0.3̇+0.16̇113989=+++1118=+53==̇【巩固】0.54̇0.3̇6̇⑵1.21.24••×+【解析】原5453649490999011–=+=+=·0.908，化为分数即9089990–=129992799927=×+=×+【巩固】计算：0.01̇0.12̇0.23̇0.34̇0.78̇【解析】方法一：0.01̇0.12̇0.23̇0.34̇0.78̇0.89̇11212323437878989090909090−−−−=++++1112131719090909090=+++++方法二：0.01̇0.12̇0.23̇0.34̇0.78̇=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.01̇+0.02̇+0.03̇+0.04̇+0.08̇+=2.1+0.01̇×2.11=+=2.1+0.3=【巩固】计算（1）0.2̇91̇0.19̇2̇0.3̇75̇0.52̇6̇（2）0.3̇30̇−=+521+=1==（2）原330186999–=×330999×=×5=【例17】某学生将1.23̇乘以一个数a时，把1.23̇误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3. 【解析】由题意得：1.23a1.23a•，即：0.003a•3900a．解得a90，1.231.239011190a•=×=×【巩固】将循环小数0.0̇27̇与0.1̇79672̇相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最位小数是多少【解析】0.0̇27̇×0.1̇79672̇27179672 99999999937999999=×=×==̇̇循环节有6，100÷6=16……4，因此第100环节中的第48，第10l5．这样四舍五入后第100位为9．+⋯⋯⋯中小学课外辅导领-14【例18】有8数23,59,0.51̇24,47是其中6第个数是0.51̇，那么按从大到小排列时，第4个数【解析】23̇59̇24≈13显然有0.5106<0.51̇<0.5̇1̇<0.52<0.5̇<0.6̇24<051<0.51<13<5<47259̇̇̇，8列第40.51̇，所以<<24<0.51<0.51<13<5<47259口口̇̇̇．(“□”，表示未知的那2数).所以，这8列第4个数是7a【解析】17̇̇27=0.2̇85714̇37=0.4̇28571̇47=0.5̇71428̇57=0.7̇14285̇67a.=0.857147ȧ，即a67a化成循环小数之后，从小数点后第1和是9039，则a7a的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、86成只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857完整1428+57组成。9039÷(12+4+5+78=334⋯21，而21–6时才符合要求，显然，857142”，因此这个分数应该67，所以a67a化成循环小数之后，小数点后第20097，则a7a由6成20096334⋯⋯5，因此只需判断当a为几时满足循环节第57a3和1化成循环小数后第100位上的数字之和 和1转化成循环小数后再去计算第100通过观察计算发200212009，而10.9，则第1000.̇

ċ写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数abc= ċ,因此,化成最简分数后的分母应该是999们将999分解质因数得:9993337,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分数就变成了假分数了,符合这个要求的999的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就中小学课外辅导领-15是58−37=21,也就是0.9993727abc=abc=abc×̇̇,因此abc2127567（1）()()()()()()()(11111111111020=+=+=+=+=+（2）()(11=【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有11()()(mnmNNmnNmnNmnA+==+=++，从分母n的约数中任意找出两个m和n(mn11()()(mnmNNmnNmnNmnA–==−=−−（1）10的约数有：1，10，2，5．例如：选1和2，有：1121211010(12)10(12)10(12)30+==+=×+×+×；从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m和n，它们的数值虽然不同，但是如果m和n的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的．本题中，从10数4C4=10种，但是其中比值不同的只有5所以本题共可拆分成51111111111102020111101260143515=+=+=+=+=+（2）10数有1、2、5、10，我们可选2(52)10(52)10(52)6–==−=×−×−×()()()()()(111111=−−=+【解析】先选10的三个约数，比如5、21，表示成连减式52−1和连加式52+1．则：()()()()()()11111110410208040=−−=+1111111036151734=−−=++个单位分数的和或差了．比如，要得到111，根据前面的拆分随意选取一组，比111012111213=+111101360=++【例22】1111111111=+=−=++=−【解析】11111111114572120183040513581915=+=−=++=−中小学课外辅导领-16=()(1−1-(1=()()(1+1+【解析】11111110410208040=−−=+注：这里要先选105、21，表示成连减式5-2-1 【解析】小于的质数有 (116)(215)(314)(89)17171717171717++++++⋯⋯++=172–。–––––––––+++++++++1123568911145922=+++++++++ 4993×499。因此，分母为1996和(11995)(31993)(5011495)(997999)1111996199619961996199619961996++++⋯⋯++++=++…+=112356892++++++++592【例24】112004a，其中a、b且a<b，那么满足上述条件的所有数对（a,b）112120042004(12)2004(12)6012=+=+113120042004(13)2004(13)8016=+=+123120042004(23)2004(23)5010=+=+134120042004(34)2004(34)4676=+=+【巩固】如112009A，A，B均为正整数，则B最大是多少1N1A–的形式11()()(mnmNNmnNmnNmnA–==−=−−，其中m和n都是N的约数。如果要让尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此m=2009，n=1，所以B=2009×2008.1234512123123412345123456123456++++××××××××××××××××××××中小学课外辅导领-1712123123412345123456123456−−−−=++++××××××××××××××××××××1111112121231231234123456=+−+−+××××××××××××××⋯111212123456=+×××××××1==(11)(22)(33)(88)(992349–×−×−×⋯×−×(1)n11annnnnnnnn+=−=++1223242829234678923459=××××⋯××=×××××练习3.计算：13+33+53+⋯+993= 【解析】 ()()233321214nn+相比，133353993缺少偶数原式=(13+23+33 )−(23+43 11002101223(13235034=××−×+1100210122315024=××−××=502×(1012−2×512=练习4.11111111111220072320082200823⎛+++⎞×⎛+++⎞−⎛+++⎞×⎛+++⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋯⋯⋯【解析】1123a=++⋯+1123b=++⋯+原式(11=+a×b−+b×a=b+ab−a−ab=b−a练习5.····110.150.218⎛+⎞××⎜⎝(2.23̇4̇0.9̇8̇)÷1115121823909909⎛−−⎞=⎜+⎟×⎝37111 993111=××===̇̇⑵2.234223422990–̇̇==0.98̇̇，所2.2340.98223298124299099990̇̇−̇̇=−==(2.2340.98)1112211120.090.029011̇̇−̇̇÷=÷=+=̇̇+̇=̇̇月测备233!4!++⋯+= -18231231234123=++××××××××⋯⋯3234123−−=++××××××××⋯⋯1111112123123123412399123=−+−++×××××××××××××××⋯⋯112123=×××12=122222322004220052200521223200420052005++++++×××⋯2(1)22(1)2(1)(1)(1)1annnnnnnnnnnn+++==+=×+×+×+原式(21)(32)(43)(54)(20052004)(200612233445200420052005++++++++⋯+++20052200540102006=×+（法222(1)221212(1)(1)annnnnnnnnn+++===+=×+++×12333123+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅【解析】原()2123123+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=1+2+3+⋅⋅⋅+200612006(20062=××+【备选4算621458621458378126947126947207⎛++⎞×⎛++⎞−⎛+++⎞×⎛+⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝【解析】+=；b，378207=a×⎛⎜b+⎞⎟−⎛⎜a+⎝⎠⎝()378621378207126=a−b×=×200920099990099990⎛−⎞×⎜⎝1=̇̇1̇̇，110.000010.0000199900−=̇̇−̇̇=̇̇而9009917×1399019120092009110.00000000900991200999900999909901⎛−⎞×=××⎜⎝̇̇=0.000̇00000000091̇×11×2009= 1×2009=中小学课外辅导领-19第二讲比和比性质1：若ab=c：d，则(ac)：(bda：b=c：d；性质2：若ab=c：d，则(ac)：(bd性质3：若ab=c：d，则(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．①xayb=⇒ybxa=；xyab=；abxy=②xayb=⇒mxamyb=；xmaymb(其中m0③xayb=⇒xaxyab=+；xyabxa−=；xyabxyab+=−④xayb=，yczd=⇒xaczbd=；x:y:z=ac:bc:bdx的c等于y的d，则x是y的ady是x的bc．例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分到的物体数量与x的比分别为a(a+b)和b(a+b)，所以甲分配到axa+ba+b例如：两个类别A、B，元素的数量比为a:b(这里a>b)，数量差为x，那么A的元素a−bB的元素数量为bxa−b，所以解题的关键是求出(a−b)与a或b的比值．中小学课外辅导领-20，，得到甲等于三个数和的13+1，同样的乙等于甲、丙两数和的112+1557512=+::1:1:53:4:43甲乙丙的2【解析】甲的一半、乙的22比为11:(12):122⎛÷⎞÷⎛÷⎞⎜⎟⎜⎝⎠⎝即2:1:2，化简为41:3，那么甲的3、乙的2的一半这三个数的比为42(1233⎛×⎞×⎛×⎞⎜⎟⎜⎝⎠⎝即8:2:3，化简为16:12:9【例27】如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的4，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的16，圆B的阴影部分面积占圆B面积的1，圆C的阴影部分面积占圆C面积的13．求圆A、圆B、圆C【解析】设A与B的共同部分的面积为xA与C的共同部分的面积为y有()6(4A=B+C=x+y5x=B3yC，于是得到56453B+C=⎛B+C⎞⎜⎝式子可化简为B=15C，所以520AB+CC.最后得到A:B:C20:15【例28】某男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．【解析】以总人数为1，则甲组男会员人数为103108731×++，女会员为31103×=中小学课外辅导领-21乙组男会员为85108753×++13553313+2105–⎛+⎞=⎜⎝，女会员为2133+21025–⎛+⎞=⎜⎝数之比为1:95:910=队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比31，求这两个工程队原先承包的修建公路长度【解析】(法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%完成了60%，所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3=180%180%40%450%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:19(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于31，而们分别完成了各自任务的40%60%为(3÷40%):(1÷60%)=9:2．乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为1213、532:1【解析】会员总人数10014:11，则可知男、女会员人数分别为5644人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数为x人，则乙组人数为(50x)女会员比为12:132426组男、女会员比例，则可得：245(50)2568xx，解得x=18．人数为181823×=【例30】(2007A、B、C三项工程的工作量之比为1:23，由甲、【解析】根据题意，如果把A工程的工作量看作1，则B工程的工作量就是2C工作量就是设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x、y、z.经过k(((22331kxkykykzkz=−=−⎩=3ky+=⋯⋯23kx+=−，7xk=将7xk代入⑴，得6yk．代入⑶，得3zk=甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是4634637k7k7k=中小学课外辅导领-225620%三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【解析】由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6560校有50(6050)20%22获二等奖的有22(4.5+1)4.5=18606050%−1812人，那么乙校获一等奖的也有1212÷50×100%=【例31】①某校毕业生共有9一班男生比二、三班多1人一、二、三班男生比二、三班总人数多1人七、八、九班男生比四、五、六班少1人人等，则总数等于四个班的人数之和．所以，男、人数之比是5:4．人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【解析】一共有16(13−11)×(13+11192【巩固】小新、、三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，34+6、434+6、34+6，所以小新拥有的藏书数量为52334×+的藏书数量为52434×+本，拥有的藏书数量为52634×+【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了8018元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙【解析】由于甲比丙多捐1818甲、乙所捐资的和为：18(107)×1060(元)，乙、丙所捐资的和为60−18元．所以，甲捐了80423860382238−18=20中小学课外辅导领-23【解析】根据题意可知一班与二班分到的球数比113:212033×+个，二班分到皮球1207248【例33】一班和二班的人数之比是87，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【解析】原来一班的人数为两班总人数的887=+445=+，调班前后一班人数的比值为846158(65×648人，二班原来的人数为48÷8742【例34】大班和中班共有32名男生，18名．已知大班男生数与数的比5:3，中班男生数 数的比为2:1，那么大班 【解析】由于男、人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假18名全部是大班，则大班男生数：数=5:3=30:18，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：数=2:1=6:3，以3个中班换3个大班，每换一组可增加1个男生，所以需要换2组；所以，大班有18−3×2=12(名)．【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【解析】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有72080800人，五、六三个年级的人数比为323800332×+800232×+人；四年级：30080220【解析】设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则202120×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠笔的单价是距B点2C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2【解析】两只蚂蚁在距B点2C2241.2倍，相同时所以甲爬的路程是4(65×52020424米)，长方形的周长为202444【例36】甲乙两车分别从AB两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B95和94。设全程x中小学课外辅导领-245694894+=还剩＝1，没有走所以A、B全长为450【例37】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用915分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是1159，工作时间相同，工作量与工作效率成5+和5+100(53)535÷−+用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是11595+和5+40053535×⎛−⎞=⎜++⎟⎝【例38】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的1倒入CC桶都恰好装满．求A、B、CA桶水的全部加上B桶水的1等于B桶水的全部加上A桶水的1，所以A桶水的2等于B桶水的4，那么A桶水的全部等于B桶水的4253÷=桶水为B桶水的6155．所以A、B、C三个水桶的容积之比是617655=又A、B、C三个水桶的总容积是1440A×+B桶的容积是48056C48076×=【巩固】学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的15那么六年级学生人数等于22.573学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为25712152年级学生人数为6151215×+=180中小学课外辅导领-25×+×+人．从宽边截去2135%【解析】如果只将长边截去35%，宽、长之比为4⎡⎣5(135%)⎤⎦=16:13度为21(16−13)×16=112厘米，所以原来铁板的长为11245÷=【解析】要保证面积不变，一边减少20%4加514，所以原正方形的边长为214÷=【例40】一把小刀售价3元．如果买了这把小刀，那么与剩余的钱数之比是2:5；如果买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13．原来有【解析】由已知，的钱相当于、买刀后所剩钱数和的55257=+当于、买刀后钱数和的888+1321=，所以、的钱数的比值8:5821=，而买刀后、的钱数之比为2:5=6:15，所以买刀前后的钱数之比为8:6=4:3，所以小刀的售价等于原来钱数的4314–=以的钱数为314÷=元。也可这样看，买刀与未买刀的钱数比2:83:7= 的钱数为4⎡⎣3(43)⎤⎦=12（元【巩固】甲、乙两人原有的钱数之比为65，后来甲又得到18030这时甲、乙钱数之比为18:11【解析】两人原有钱数之比为65180150比仍为6:5，现在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了120元，现在两人钱数之比为18:11，可以理解为：两人的钱数分别增加180元和150元之后，钱数之比为18:15，然后乙的钱数减少120元，两人的钱数之比变为18:11，所以120元相当于4，13030(18+15)990元，所以原来两人的总钱数之和为990−180−150=660元．【例41】一项机械加工作业，用4A型机床，54台A型机床和2型机床3天可以完成；用3台B型机床和9台C型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下A、C型机床继续工作，还需要 天可以完【解析】由于用4A型机床54A型机床和2B型机床3成，所以2台B型机床3天完成的量等于4台A型机床2天完成的量，则A、B两种机床每天完成的量的比为(23(423:4，即A型机床每天完成的量为型机床每天完成的量为4，该项作业总量为34560，那么C的量为(6024392，3560(342)5=15，A、C型机床还需继续工作15(3+23中小学课外辅导领-26相比，大人增加了60%，儿加了90%，共增加了2100人，但门票收入与前一【解析】前一天大人与小孩的人数比为1(60%2)56，六一那天增加的大人与增孩人数比为(560%(690%5921005×=孩增加的人数为2100−750=1350人，大人的总数为750÷60%+750=2000人，小孩的总人数为1350÷90% =2850人，总人数为2000+2850=4850人．【例43】某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，【解析】法一：设原来苹果有x吨，则原来桃子有2x1xx×−=×+x37．所以原有苹果3737274法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1:21子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是1(120%)5，剩下的桃子是2313×+，所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是4385．现在再售出苹果18124:15子的重量比是8:151212815子的重量比还是8:1518325吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为4:15，所以这585相当于844份，最后剩下的桃子有581554一天后剩下的桃子有87122吨，原有桃子111321÷+74237【例44】有一个长方体，长和宽的比是21，宽与高的比是3:2．表面积为72cm2，求这【解析】由条件长方体的长、宽、高的比632的面积比为(6×3(62(32=181263:2:1，表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为7213232××+的面积为7212232××+，左面的面积为72011232××+18×126=1296362，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为【巩固】有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积．【解析】由条件宽与高的比为321:3，所以这个长方体的长、宽、高的比为2:1:3即中小学课外辅导领-27632422016463××+22013463××+22012463××+厘米，所以这个长方形的体积为30×15×104500【例45】（2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路对于过往车辆标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该的大型车和中型车数量之比是564:11型车多270元．（1）这天通过的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）【解析】⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将5664中的4统一成[4,6=12，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由56=10和4:111233，得到大型车:中型车:小型车=10:1233．以10辆大型车、12辆中型车、33辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多103330×1030270309过大型车有10990129=108339297（2）这天收取的总费用为：3090+15×108297×107290与3枚硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、硬币各摞成一个圆柱体，并【解析】由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5，壹分硬币和硬币的数量4:3=6:4.5，所以壹分硬币、贰分硬币以及硬币的数量比为6:5:4.5，12:109124121210×+124101210×+枚，硬币的数量为12491210×+有48×1402365308分，即币值为3.08【例47】某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之1076689，运送土方的路程之比为15:14:14为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车2492457∶∶．10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙量之比为50∶35∶42．那么三种卡车10天内的工作量之比为：502354429202057⎛×⎞⎛×⎞⎛×⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝15作量之比为：20104015322020271040202715×+=(++)×+(++．的比为543765朋友比原计划多得了15中小学课外辅导领-28，，，，÷⎛−⎞=⎜⎝果数为5405150×=原计分配为5：4:312份实际分配为76518化通比为151293614：121036【巩固】今年儿子的是父亲的1，15年后，儿子的是父亲的5【解析】方法一：今年儿子的相当于父子差的11413=–，15年后儿子的相当于父子差的55115=–，所以15年相当于父子差的5163−=，差1512岁.今年儿子303=10方法二：今年儿子的是父亲的1，所以儿子：父亲＝1：4；15子的是父亲的5儿子父亲1：45：11根据不变量化通比为285：11【例49】一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长在图⑴中小长方形面积的比是A:B=1:2，B:C=12．AB=13，BC=13.又知长方形D'的宽减去D的宽所得到的差与D'的长去D的长所得到差之比为1:3⑵【详解】因为A:B=1:2，B:C=1:2，所以A:C=1:4；因为AB=1:3，BC=1:3，所以AC=1:9，中小学课外辅导领-29设长方形的宽为a,长为b3439410ab–=–．得a:b25．又a+b56228，所以a8，b20．所以长方形面积=20×8=160．【例50】中学生运动会男女运动员比例为19:12，决定增加女子艺术体操项这样男女运动员比例变为201330:19151912=+，增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，．女子艺术体操项目人数为24712762031，男子象棋项目的人数为39196231，男子象棋项目运动员比，原来总运动员人数为153÷=男子象棋项目运动员有31001人，女子艺术体操运动员有31007×人，所以现在的总运动员人数为310050353185【巩固】袋子里红球与白球的数量之比是1913．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11．已知放入的红球比白球少80只．那么原来袋子里共有只球．【解析】根据第一次操作白球的数量不变，把19:13改写成5739536539二次操作相对于第一次操作红球数量不变，把13:116555看出，经过两次操作后，红球共增加了65578份，白球增加了553916原来红球有80(168)57570个，白球有80(168)39390570+39096025:2578，即调走的队员人数占原来队员总人数的1中小学课外辅导领-30112，故开始共有4【例52】某学校入学考试，参加的男生与人数之比是4:3．结果录取91人，其中男生与人数之比是8:5．未被录取的学生中，男生与人数之比是3:4．问【解析】(法1)录取的学生中男生有9185×+人，有91−56=35(人)，先将未录的人数之比344435634(4235)4433–÷⎛×−⎞=⎜⎝(人)，那么未录取的男生有4×3=12有4433(人)．所以报考总人数是(56+12(35+16=119(法2)设未被录取的男生人数为3x人，那么未被录取的人数为4x人，由于录取的学生中男生有918565×+人，有91−56=35(人)，(563x(354x43，解得x4．所以未被录取的男生有12人．报考总人数是(56+12(35+16=119 于含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由6与4千克乙块合金混合而成的，所以x千克甲块合金与(4－x)千克乙块合金混合后的含铜率与644=—，所以：4x6（4－x），解得x2.4．占地450是草地，那如果水池占136水池占1份，竹林的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份。3份的面积是4501450÷3=150（平方米），即水池面积是150中小学课外辅导领-31班多种树24114524(54)49624(54)×5=120，甲节余240元乙节余480元．甲本月收入多少元【解析】甲、乙本月收入的比是5824048034如果乙节余480元，甲节余480÷8×5300元，那么两人支出的钱数之比也是58现在甲只节余2406058683:4)，所以这60元就对应6−5=1份，那么甲支出了60×6=360元，所以甲本月收入为360+240=600元．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车速度是5040A、B距离的3多50A、B两地于504054，那么A、B距离的3多50A、B距离的55459=+505193⎛−⎞=⎜⎝，全程的距离为5029(千米)．【备选1(乙+丙43，乙:丙27【解析】由乙:丙27(乙+丙29(乙+丙79(乙+丙44:2712:239甲乙丙【解析】方法一：原来奶糖占45100，后来占25100，因此后来的糖果数是奶糖的4也比原来糖果多1616+(41)=20×=991125％：(1-3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16加了16块，所以，l份即1块．奶糖占9份，就是9块奶糖．乙的速度的611510，即甲、乙的速度比是122:1再拿走45枚黑棋子后，黑子与的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子中小学课外辅导领-32【解析】第二次拿走45枚黑棋，黑子与的个数之比由2:1(=10:5)变为1:5，而其棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的1019原来黑棋的个数为459×10504595+1540【备选5】加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.51个，丙41个．现在三人在同样的时间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零【解析