二阶常微分方程

二阶常微分方程第1页，共33页，2023年，2月20日，星期三二阶常微分方程常用齐次定解问题数学物理中的对称性特殊函数常微分方程常微分方程的级数解法斯图姆—刘维尔本征值问题本章小结第2页，共33页，2023年，2月20日，星期三常用齐次定解问题常用齐次定解问题的要素常用齐次定解问题的分类拉普拉斯算符的形式拉普拉斯算符形式的推导第3页，共33页，2023年，2月20日，星期三常用齐次定解问题要素第4页，共33页，2023年，2月20日，星期三常用齐次定解问题的分类直角坐标极坐标球坐标稳定方程演化方程√√√！！

×第5页，共33页，2023年，2月20日，星期三拉普拉斯算符的形式二维三维直角坐标极柱坐标球坐标第6页，共33页，2023年，2月20日，星期三极坐标下拉普拉斯算符形式的推导极坐标下的形式直角坐标下的形式坐标变换关系微分变换关系第7页，共33页，2023年，2月20日，星期三数学物理中的对称性对称性的概念定义：对称性就是在某种变换下的不变性分类对称性的描述对称性原理当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。对称性的应用第8页，共33页，2023年，2月20日，星期三对称性的分类第9页，共33页，2023年，2月20日，星期三对称性的描述对称性名称对称条件对称函数沿z轴反演对称沿z轴平移对称绕z轴转动对称绕原点转动对称第10页，共33页，2023年，2月20日，星期三对称性的应用—柱坐标输运方程对称性未知函数泛定方程无任何对称性沿z轴平移对称绕z轴转动对称双重对称第11页，共33页，2023年，2月20日，星期三特殊函数常微分方程球坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程轴对称情况勒让德方程极坐标下热传导方程的分离变量一般情况亥姆霍兹方程，贝塞尔方程轴对称情况第12页，共33页，2023年，2月20日，星期三球坐标下拉普拉斯方程第13页，共33页，2023年，2月20日，星期三球坐标下拉普拉斯方程第14页，共33页，2023年，2月20日，星期三极坐标下热传导方程第15页，共33页，2023年，2月20日，星期三常微分方程的级数解法常微分方程中点的分类各点邻域级数解的形式勒让德方程的级数解贝塞尔方程的级数解第16页，共33页，2023年，2月20日，星期三常微分方程中点的分类二阶变系数常微分方程的一般形式w”+p(z)w’+q(z)w=0方程中点的分类常点：z0

是p(z)和q(z)的解析点正则奇点：z0

是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析点非正则奇点：其它情况第17页，共33页，2023年，2月20日，星期三各点邻域级数解的形式非正则奇点z0邻域有一解为常点z0邻域两解均为正则奇点z0邻域有一解为其中s由判定方程确定a0≠0第18页，共33页，2023年，2月20日，星期三勒让德方程的级数解第19页，共33页，2023年，2月20日，星期三勒让德方程的级数解第20页，共33页，2023年，2月20日，星期三勒让德方程的级数解第21页，共33页，2023年，2月20日，星期三勒让德方程的级数解性质：奇偶性：y0为偶函数，y1为奇函数；退化性：l

为非负整数时，级数解退化为多项式；收敛性：特解的收敛半径为1；有界性：在x=±1时，非退化级数解发散。第22页，共33页，2023年，2月20日，星期三贝塞尔方程的级数解ak<0=0第23页，共33页，2023年，2月20日，星期三贝塞尔方程的级数解第24页，共33页，2023年，2月20日，星期三贝塞尔方程的级数解性质：奇偶性：m为奇偶整数时，Jm和Nm为奇偶函数；收敛性：特解的收敛半径为∞；有界性：在x→0，m≥0时,Jm有界，Nm发散。第25页，共33页，2023年，2月20日，星期三斯图姆—刘维尔本征值问题本征值问题本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值本征函数：相应的非零解本征值问题：求本征值和本征函数的问题斯特姆—刘维尔本征值问题斯特姆—刘维尔型方程斯特姆—刘维尔型边界条件斯特姆—刘维尔本征值问题的性质可数性：存在可数无限多个本征值；非负性：所有本征值均为非负数；正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。第26页，共33页，2023年，2月20日，星期三斯特姆—刘维尔本征值问题斯特姆—刘维尔型方程其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非负；k(x)、k’(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。斯特姆—刘维尔型边界条件三类齐次边界条件周期性边界条件有界性边界条件第27页，共33页，2023年，2月20日，星期三斯特姆—刘维尔本征值问题abkqρ

本征值问题0L1010L101-111-x2010bxm2/xx第28页，共33页，2023年，2月20日，星期三本征函数集合的正交性和完备性正交性完备性展开系数第29页，共33页，2023年，2月20日，星期三本征函数集合的正交性和完备性例题1问题本征函数正交性完备性第30页，共33页，2023年，2月20日，星期三本征函数集合的正交性和完备性例题2问题本