结构性练习：小学数学模型建构探索-以“路程、时间与速度”的教学为例

结构性练习：小学数学模型建构探索——以“路程、时间与速度”的教学为例摘要：数学模型建构是一个复杂且富有挑战性的探究过程。指向整体的小学数学结构性练习，能帮助学生形成结构化知识和结构化思维，引领学生深度建模，构建结构化课堂。文章以“路程、时间与速度”的教学为例，从“承启式练习，引领建构整体知识；开放式练习，促进理解概念关系；互逆式练习，明晰结构深化模型；同质式练习，重构结构拓展模型”四个视角展开阐述。关键词：结构性练习；小学数学；建构模型在当前“双减”的背景下，教师越来越注重对课堂练习的设计，高品质的练习可以增效减负。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的数学结构。⑴教学中精心设计结构性的练习，引发学生经历从初步的、浅层性建模向高阶的、深层性的建模的探究过程,帮助学生形成结构化知识和结构化思维，从而构建结构化课堂。本文基于指向整体的小学数学结构性练习，以四年级下册“路程、时间与速度”一课的教学为例，谈谈在结构性练习中建构模型的课堂实践。一、承启式练习，引领建构整体知识常见的数量关系是对现实生活中复杂的数量关系的高度抽象。不管是“总价=单价X数量”，还是“路程=速度X时间”这些数量关系，从学生认知的源头来说，都是乘法运算意义在不同问题情境中的具体应用，都是由乘法运算衍生出来的简单的数学模型，都是乘法的意义具体表现，都是求几个几相加的和是多少。基于知识的本质特征，常见的数量关系的教学必须从整体架构，让学生自主建构形式化的数学知识，发展学生用数学的眼光观察现实生活的意识和能力。［片段一］师：上节课我们学习了“总价、单价与数量”这一常见的数量关系。现在我们再借助练习来捋一捋。导学单第一题：L"门门〃打（）个（）2,学校食堂购进4袋大米，一袋大米50元，一共要用多少元？师：你是用什么方法解答这两道题的？生：都是用乘法计算。师：为什么都可以用乘法计算呢？带着这个问题开始新课的学习。数学教学要用“大问题”来将知识中相同、相似乃至相对、相反的意义模块进行统整、优化、组合，使得数学知识成为更具生长力的结构体。⑵以上承启式练习，看似无关实则结构紧密联系的两道题，同样体现其背后的思维方式、思想方法。通过复习旧知引出不同知识的内在关联，产生一个大问题“为什么都可以用乘法计算呢？”来引领全课的学习。找准这个“整合点”，一方面有助于他们进一步调整和完善认知结构，体会数学核心知识在内容结构中的地位和作用；另一方面有助于他们更加宏观地把握不同数量关系的联系和区别，引领建构整体知识，使数学知识成为具有生长力的结构体。二、开放式练习，促进理解概念关系模型建构的过程是一个有意义的学生主动接受的过程。“路程、时间与速度”这个常见的数量关系的研究，必须联系三个概念的关系进行教学，不宜割裂思考。在教学过程中，教师联系学生熟悉的真实情境，设计结构性的开放练习，发挥学生的自主性、独特性与创造性，展示学生解决问题的个性化和多样化，使每个学习个体从不同的角度真正参与进来，在练习中发现常见的数量关系从而建构数学模型。［片段二］师：城西小学是一个体育强校，让我们走进赛场去领略运动员的风采吧。（课件出示）在丰富多彩的体育活动中，最受同学们喜欢的就是田径比赛。田径比赛这个项目比的是什么？生：速度。师：你们觉得什么是速度？生：跑得快，就是速度快。导学单第二题：学校需要选一名运动员参加今年的县级田径比赛。根据下表的信息，你认为该选谁，请说明理由。路程时间李少雄21米3秒陈曦21米4秒魏远川24米4秒小组讨论后反馈。推理师：大家认真观察这张统计表，你认为该选谁，请说明理由。生1:李少雄比陈曦跑得快。因为同样21米的路程，李少雄用了3秒，陈曦用了4秒，李少雄用的时间更少。生2：路程相同，用的时间少就说明速度快。生3：魏远川比陈曦跑得块。因为同样4秒的时间，魏远川跑了24米，陈曦跑了21米，魏远川跑的路程更多。生4：时间相同，跑的路程更多就说明速度快。师：刚才大家运用推理很快就比出快慢来，路程相同就直接比时间，时间相同就直接比路程。运算师：经过两次的比一比，你有结果了吗？生1：李少雄和魏远川所用时间不同，路程也不同。生2：所用时间不同，路程也不同，就无法比较了吗？师：请大家带着这个问题完成导学单第二题，完成之后小组分享各自的想法。师：老师收集到了几个小组的作业，请分享一下各组的想法。生：我是通过计算比较出来的。李少雄21米除以3,每秒跑7米。魏远川24米除以4,每秒跑6米。所以李少雄速度快。师：这里求出来的7米、6米表示什么?生1：表示速度。生2：通过画线段图也可以比较，李少雄每秒跑的线段更长，所以李少雄的速度更快。（学生作业如图1）生：路程不同，时间也不同，也可以比出速度的快慢，只要对比相同时间跑的路程就行。师：你们同意他的观点吗？你能结合线段图说说他的意思吗？生1：线段图的每一段都表示多少时间跑的路程？生2：一秒跑的路程。李少雄 . :图13.建模师：在比较过程中，无论通过计算还是画线段图，都可以比较出每秒跑的路程。每秒跑的路程，在数学上就是什么？生：速度。师：在路程和时间都不相同的情况比快慢，就是比什么？生1：速度。生2：速度=路程《时间。以上练习是开放性的说理练习，意在发挥学生的自主性、独特性与创造性，展示学生解决问题的个化和多样化，让学生在说理的过程中沟通“路程、时间、速度”三者之间的关系。练习设计两个相同的时间，两个相同的路程，引出三个层次的“比一比”，激发建构模型的需求,水到渠成抽象概括出“路程+时间=速度”这个常见的数量关系。学生在推理和运算中，明确“路程、时间与速度”三者之间的关系。通过练习学生经历给“半成型”的线段图分一分画一画，取线段中“相同时间跑的路程”进行比较，学生深刻体会到每秒跑的路程就是比较的标准，明确“速度”就是表示这样的一份是多少，形成“速度”的直观表象,建立起“速度模型”开放式的解决方案。这样的课堂练习再现了学生的生活经验，使新旧知识发生相互作用，凸显“速度、时间、路程”概念之间的联系，帮助学生从现实问题中抽象出数量关系。三、互逆式练习，明晰结构深化模型结构性是数学学科的本质特性。⑶数学的学习必须准确把握知识本身的逻辑结构。教师联系生活实际设计有结构的课堂练习，有助于学生把握知识的逻辑结构。在引导学生解决生活实际问题的过程中，明确要解决的是什么样的问题，明晰这样的问题属于什么类的模型结构,在促进模型的深化的同时，形成结构化思维，发展学生数学核心素养。［片段三］视频简介绿皮火车、“和谐号”高铁动车和“复兴号”高铁动车的情况。导学单第三题：随着社会和科学技术的发展，家乡的交通越来越便捷。1.古田到上海的铁路全长是960千米，绿皮火车平均速度是80千米/时，乘坐绿皮火车从古田到上海需要多少小时？2.和谐号高铁动车平均速度是240千米/时，从古田到上海需要行驶4小时，古田到上海路程是多少千米？3.古田到上海铁路全长大约960千米，如果乘坐复兴号高铁动车需要行驶3小时，复兴号高铁动车平均速度是多少千米/时？（学生完成后反馈。）师：能分享一下你用的是哪个数量关系式解决问题吗？生1：第1题我用的是:路程：速度=时间。生2：第2题我用的是：速度x时间=路程。生3：第3题我用的是:路程：时间=速度。师：以上三个小题，有的是求时间，有的是求路程，有的是求速度，用不同的数量关系式解决，但是不论哪种方法，都是“路程、时间与速度”三者关系的灵活应用。在教学过程中，知识的掌握、技能的形成、思维的激发、素养的发展，都需要组织科学的、合理的练习。有时,依据学习内容的需要，可以设计有一定量的、系统的练习题组，让学生在练习题组的完成中联系生活应用，促进模型的深化。以上互逆式的练习，把同一情境、同一模型、结构互逆的三道题编成一组，意在让学生掌握“速度、时间和路程”的数学模型，深度理解三个数量关系式以及三者之间的联系，并举一反三，灵活运用数学模型解决生活中的实际问题，促进模型的深化。以上互逆式练习，把同一情境、同一模型、结构互逆的三道题编成一组，意在让学生掌握“速度、时间和路程”的数学模型，深度理解三个数量关系式以及三者之间的联系，并举一反三灵活运用数学模型解决生活中的实际问题，这样的练习更能促进模型的深化。另外，在练习的同时感受家乡交通状况的巨大进步，激发学生爱祖国、爱家乡、爱科学的情感。四、同质式练习,重构结构拓展模型数学教学，要合理利用知识的“同化”或“顺应”，用原有的知识结构去吸收和融合新的知识，及时调整学习方法和策略，使知识结构发生改变并进行重构的学习过程。小学阶段有两个重要的乘法模型：路程、时间、速度和总价、数量、单价。速度和单价都是由两个不同类量的比得到的，这些模型的知识本质是一致的。在教学中，要突出知识本质，重构知识结构，促进模型的拓展。［片段四］导学单第四题：请解答以下问题，并在小组里说说你的发现。1.一辆汽车速度为80千米/时，3小时行驶多少千米？2.一款书包售价为80元/个，买3个需要付多少元？3.一种大米重量为80千克/袋，3袋大米一共多少千克？师：对比这三道问题，你们组有什么发现？生：都可以用80x3计算。师：不同的3道题为什么可以列出相同的乘法算式？生：都表示3个80是多少。师：这里的80指的是什么？3指的什么？结合课件的线段图。生1：80指的是每份数，3指的是份数。生2：每份数x份数=总数。师:数学就是这么神奇，这就是乘法模型的魅力。如果每份数表示速度，你会想到哪个数量关系？如果每份数表示单价，又是哪个数量关系？生1:速度x时间=路程。生2:单价x数量=总价。数学学习的过程实则是一个不断抽象、不断建模，并把小模型不断纳入大模型的结构化的过程。以上同质式练习，意在把知识本质一致的“路程=速度x时间”和“总价=单价x数量”常见的数量关系纳入乘法模型这个结构中去，让学生明白“路程、速度、时间”和“总价、单价、数量”都属于乘法模型系统，都可以表示几个几是多少