普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅰ卷数学试题文科解析版

2014年高招全国课标1（文科数学word剖析版）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。（1）已知会集Mx1x3，Nx2x1，则MIN（）A.(2,1)B.(1,1)C.(1,3)D.(2,3)【答案】：B【剖析】：在数轴上表示出对应的会集，可得MIN(-1,1),选B（2）若tan0，则A.sin0B.cos0C.sin20D.cos20【答案】：C【剖析】：由tan0可得:k正确的结论只有sin20.

k(kZ)，故2k22k(kZ)，2选C（3）设z1i，则|z|i11B.2C.3D.2A.222【答案】：B1i，z22【剖析】：z1i1ii1112，选B1i222222（4）已知双曲线x2y21(a0)的离心率为2，则aa23A.26C.5B.D.122【答案】：D【剖析】：由双曲线的离心率可得a23，解得a1，选D.2a（5）设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则以下结论中正确的选项是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【答案】：C【剖析】：设F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴F(x)f(x)g(x)F(x)，F(x)为奇函数，选C.（6）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EBFCA.ADB.1uuur1uuurD.BCADC.BC22【答案】：Auuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【剖析】：EBFCECBCFBBCECFB1uuur1uuur1uuuruuuruuur选A.=ABAC2ABACAD,22（7）在函数①ycos|2x|，②y|cosx|，③ycos(2x),④ytan(2x)中，64最小正周期为的全部函数为A.①②③B.①③④C.②④D.①③【答案】：A由ycosx是偶函数可知ycos2xcos2x，最小正周期为，即①正【剖析】：确；y|cosx|的最小正周期也是，即②也正确；ycos2x最小正周期为6,即③正确；ytan(2x)的最小正周期为T,即④不正确.42即正确答案为①②③，选A8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】：B【剖析】：依照所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱.选B9.执行以下列图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=A.2016C.7153B.52D.8【答案】：D【剖析】：输入a1,b2,k3；n1时：M113,a2,b3；222n2时：M228,a3,b8；n3时：M3315,a8,b15；332328838n4时：输出M15.选D.82x的焦点为F,Ax0,y0510.已知抛物线C：y是C上一点，AF4x0，则x0（）A.1B.2C.4D.8【答案】：A【剖析】：依照抛物线的定义可知AFx015x0，解之得x01.选A.44xya,xay的最小值为7，则a11.设x，y满足拘束条件y且zx1,（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-3【答案】：B【剖析】：画出不等式组对应的平面地域，以下列图.在平面地域内，平移直线xay0，可知在点Aa1,a1处，z获取最值，22故a1aa17,解之得a5或a3.但a5时，z获取最大值，故舍去，答22案为a3.选B.（12）已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（A）2,（B）1,（C）,2（D）,1【答案】：C【剖析1】：由已知a0，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x2，a当a0时，x,0,f(x)0;x0,2,f(x)0;x2,,f(x)0；aa且f(0)10，f(x)有小于零的零点，不吻合题意。当a0时，x,2,f(x)0;x2,0,f(x)0;x0,,f(x)0aa要使f(x)有唯一的零点x0且x0＞0，只需f(2)0，即a24，a2．选Ca【剖析2】：由已知有唯一的正零根，令

a0，f(x)=ax33x21有唯一的正零点，等价于a3g111xx3t，则问题又等价于at33t有唯一的正零根，即ya与xyt33t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记f(t)t33tf(t)3t23，由f(t)0，t1，t,1,f(t)0;t1,1,f(t)0;，t1,,f(t)0，要使at33t有唯一的正零根，只需af(1)2，选C第II卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分（13）将2本不同样的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.【答案】：23【剖析】设数学书为A，B，语文书为C，则不同样的排法共有（A，B，C），（A，C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为P42.63（14）甲、乙、丙三位同学被问到可否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.【答案】：A【剖析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙最少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不能能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.15）设函数【答案】：

ex1,x1,fx1则使得fx2成立的x的取值范围是________.x3,x1,,8【剖析】当x1时，由x1可得，即，故；e2x1ln2xln21x1当x1时，由f(x)1可得，故，综上可得x3x82x81x8（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量察看点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.BC100m，则山高MN________m.已知山高【答案】：150【剖析】在直角三角形ABC中，由条件可得AC1002，在△MAC中，由正弦定理可得AMAC750，故AM3AC1003，在直角△MANsin600sin18006002中，MNAMgsin600150.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知an是递加的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根。（I）求an的通项公式；（II）求数列an的前n项和.2n【剖析】：（I）方程x25x60的两根为2,3,由题意得a22，a43，设数列an的公差为d,，则a4a22d，故d=1a13，从而2，2所以an的通项公式为：an1n16分2(Ⅱ)设求数列an的前n项和为Sn,由(Ⅰ)知ann22n2n2n1，则：Sn345Ln1n22223242n2n11Sn345Ln1n2两式相减得22324252n12n21311L1n2311n22Sn423242n12n24412n12n2所以Sn2n412分2n1（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得以下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：II）估计这种产质量量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；III）依照以上抽样检查数据，可否认为该企业生产的这种产品吻合“质量指标值不低于95的产品最少要占全部产品的80%”的规定？【剖析】：（I）4分（II）质量指标值的样本平均数为x800.06900.261000.381100.221200.08100.质量指标值的样本方差为s220.061020.3810220.0810410200.2600.2220分??????(Ⅲ)质量指标值不低于95的产品所占比率的估计值为++=.由于该估计值小于,故不能够认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于

95的产品最少要占全部产品

80%”的规定.

.12

分19(本题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.I）证明：B1CAB;（II）若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.【剖析】：（I）连接BC1，则O为BC1与B1C的交点，由于侧面

BB1C1C

为菱形，所以

B1C

BC1?，又

AO

平面

BB1C1C，故B1C

AO?B1C

平面

ABO，由于

AB

平面

ABO，故B1C

AB

6分II）作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H,由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.由于CBB160,,BC所以△1CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=3，由于ACAB1，所以4OA1B1C1，由OH·AD=OD·OA,且ADOD2OA27，得OH=2122414又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为2121,故三棱柱ABC-A1B1C1的高为77.12分20.（本小题满分12分）已知点P(2,2)，圆C:x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（I）求M的轨迹方程；（II）当OPOM时，求l的方程及POM的面积【剖析】：（I）圆C的方程可化为x2y42C(0,4),半径为4.16,所以圆心为设M(x,y),uuuuruuur(2x,2uuuuruuur0则CM(x,y4)，MPy)，,由题设知CMMP,故gx2x222y42y0，即x1y3x2226分由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是1y3(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直均分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.由于ON的斜率为3,所以l的斜率为1,直线l的方程1x83为：y33又OMOP22，O到l的距离为410，PM410，5

5所以

POM

的面积为：

165

.

12分21（12分）设函数fxalnx1ax2bxa1，曲线yfx在点1，f1处的切线斜率为02（I）求b;（II）若存在x01,使得fx0a1，求a的取值范围。aa【剖析】（：I）()(1)xaxb，由题设知f(1)0,解得b1.4分fx1ax2(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知,f(x)alnxx，2f(x)a(1a)x11axax1xx1a(i)若a1，则a1，故当x(1,)时,f'(x)0,f(x)在(1,)上单调递加.21a所以,存在x01,使得f(x0)a的充要条件为f(1)1a，即1a1a1aa21a所以21a21;1，则a，故当x(1,a)时a(ii)若2a1111a,f'(x)<0,x(a,)a1时,f(x)0,f(x)在(1,a)上单调递减，f(x)在a,单调递加.1a1a所以,存在x01,使得f(x0)a的充要条件为f(a)1a，而1a1aaf(a)alnaa2aa，所以不和题意.1a1a21a1a1a(ⅲ)若a1，则f(1)1a11aa。22a1综上，a的取值范围为：21,211,请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD是eO的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.（I）证明：DE；（II）设AD不是eO的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ABC为等边三角形.【剖析】：.(Ⅰ)由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E,所以D=E?5分（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC?,知MN⊥BC?N所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以C:x2y2x2tADtClCPllAPA【剖析】：.(Ⅰ)1l:22t49yx2cos曲线C的参数方程为：3sin（为参数），y直线l的一般方程为：2xy605分（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为54cos3sin6，d5则|PA|d255sin6??，其中为锐角．且tan