高等量子力学基本原理

高等量子力学基本原理第一页，共三十四页，2022年，8月28日§1波函数的统计解释原理经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。粒子和波的经典观点:第二页，共三十四页，2022年，8月28日经典粒子的图像在经典物理中，粒子的概念抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。

为叙述的方便，可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道（m,x,t）

经典波动的图像波动是一种集体运动，是由很多粒子参与步调统一的运动第三页，共三十四页，2022年，8月28日微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。★

描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波deBroglie波★如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。微观粒子状态的量子描述第四页，共三十四页，2022年，8月28日(1)是怎样描述粒子的状态呢？(3)

如何体现波粒二象性的？(2)

描写的是什么样的波呢？三个问题？第五页，共三十四页，2022年，8月28日(1)入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;(2)入射电子流强度大，很快显示衍射图样.单电子衍射实验(1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子到达该处的概率大。“暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到达该处的概率小。(2)衍射图样由电子波动性引起

“亮纹”处表示该处波强度|Ψ(r)|2大，

“暗纹”处表示该处波强度|Ψ(r)|2小，所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比.单电子衍射实验结果分析第六页，共三十四页，2022年，8月28日当降低光的强度，发现光竟然也是由一个一个的粒子--“光子”组成的。当光强极弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随机的位置，很多单光子事件累积起来呈现干涉条纹。

光双缝干涉实验第七页，共三十四页，2022年，8月28日▲两种错误的看法（1）波由粒子组成如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。第八页，共三十四页，2022年，8月28日（2）粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。

实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1。 物质波包的观点夸大了波动性一面，而抹杀了粒子性一面，也具有片面性。第九页，共三十四页，2022年，8月28日争论：微观粒子是波还是粒子薛定谔：不管是电子也好，光子也好，或者任何粒子也好，都只是波动表面的泡沫，它的本质上是波，都可以用波动方程来表达基本的运动方式。海森堡：物理世界的基本现象是离散性，或者说不连续性。从原子光谱到康普顿散射，从光电现象到原子中电子在能级间的跃迁，都显示出大自然是不连续的。薛定谔：粒子就像一个椰子一样，如果你敲开那坚硬的外壳，你会发现那里面是波动的柔软的水汁。电子无疑是由正弦波组成的，但这种波在各个尺度上伸展都不大，可以看成是一个‘波包’。当这种‘波包’做为一个整体前进时，它看起来就像是一个粒子。可是本质上它还是波。第十页，共三十四页，2022年，8月28日电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“

电子既不是粒子也不是波

”，既不是经典的粒子也不是经典的波;“

电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。经典概念中粒子意味着

1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中波意味着

第十一页，共三十四页，2022年，8月28日衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。

r点附近衍射花样的强度

正比于该点附近感光点的数目，

正比于该点附近出现的电子数目，

正比于电子出现在

r

点附近的概率。在电子衍射实验中，照相底片上

▲玻恩的解释（1882～1970）1954年诺贝尔物理学奖第十二页，共三十四页，2022年，8月28日

据此，描写粒子的波可以认为是概率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为概率波幅.

这就是首先由Born

提出的波函数的概率解释，它是量子力学的基本原理。假设衍射波用Ψ(r)

描述，衍射花纹的强度则用|Ψ(r)|2

描述。|Ψ(r)|2

的意义是代表电子出现在r

点附近概率的大小.确切的说

|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz

表示在

r

点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例.

波函数模的平方与粒子时刻在处附近出现的概率成正比。第十三页，共三十四页，2022年，8月28日

（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的概率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）（2）波函数一般用复函数表示。（3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。小结第十四页，共三十四页，2022年，8月28日

态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。

1.若是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态

2.当体系处于态时，发现体系处于态的概率是，并且§2态叠加原理第十五页，共三十四页，2022年，8月28日经典粒子和量子粒子以及经典波与概率波的区别1、经典粒子和量子粒子

相同：局域，不连续

不同

经典：确定的轨道、坐标、动量等

量子：无确定的轨道，概率

2、经典波和概率波

相同：均满足叠加原理

（1）叠加

不同

（3）数学表达式（2）振幅变化

经典：各观测时同时出现于中

量子：各观测时不能同时出现于中

经典：不同状态

量子：同一状态

经典：实函数（可测察量）

量子：复函数（不可测察量）

第十六页，共三十四页，2022年，8月28日§3体系状态波函数满足薛定谔方程微观粒子运动状态用波函数完全描述，波函数确定之后，量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。第十七页，共三十四页，2022年，8月28日Schrodinger的方程一般表达式薛定谔方程知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。第十八页，共三十四页，2022年，8月28日当不显含时间t时,体系的能量是守恒量对于一个粒子在势场中运动的特殊情况,有定态薛定谔方程定态薛定谔方程：本征能量值谱：本征函数系：本征波函数任意状态

第十九页，共三十四页，2022年，8月28日判别定态的方法：（1）能量是否为确定值（2）概率与时间无关（3）概率流密度与时间无关非定态：一个粒子不是处于能量本征态，而是若干个能量本征态的叠加测量粒子的能量时,求和中所包含的能量本征值En都有可能出现,出现的概率为称这种态为非定态第二十页，共三十四页，2022年，8月28日§4力学量用厄米算符表示

经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。量子力学引入了波函数这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念——算符，用它表示量子力学中的力学量。

第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日什么是算符?算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号1）du/dx=v

，

d/dx

就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，

x

也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：u=v表示

把函数u

变成

v，

就是这种变换的算符。（一）算符的定义与构造第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日Ex.动能算符角动量算符

若量子力学中的力学量

在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符由经典表示中将动量换成动量算符而得出。

构造力学量算符的规则：第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日

（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F的算符是将经典表示中的坐标变量换成坐标算符（2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。即

注意第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日力学量算符坐标表象动量表象坐标算符动量算符力学量算符其中第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日(二）算符的本征方程、本征值与本征函数算符作用在函数上，等于一常数乘以此称为算符的本征方程即

称为其本征值，为其本征函数。

如果算符表示力学量，那么当体系处于的本征态中时，力学量

有确定值，这个值就是属于该本征态的本征值。

该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系

第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(Ô

Â)+=Â+

Ô+

(Ô

ÂÛ...)+=...Û+

Â+

Ô+（1）复共轭算符与厄密共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中可以证明：(三)厄密算符第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日(2)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2.性质性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即