中学生标准学术能力诊断性测试2023届高三下学期3月测试数学试题及参考答案

中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设z是纯虚数，若是实数，则z的虚部为（）A.－3 B.－1 C.1 D.33.已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.5.若是9的倍数，则自然数n为（）A.4的倍数 B.3的倍数 C.奇数 D.偶数6.现将0－9十个数字填入下方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a，第二行的数字中最大的数字为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数字为d，则满足的填法的概率为（）A. B. C. D.7.在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接.当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知且，若集合，，且，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设，，满足，下列说法正确的是（）A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为110.已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（）A. B.C.的最大值为 D.的前10项和为11.已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.12.已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点M为抛物线上的动点，点N为圆上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为______..14.已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为______.15.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有______个.16.若关于x的不等式对任意的恒成立，则整数k的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在数列中，，.（1）求的通项公式；（2）设的前n项和为，证明：.18.（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B；（2）设的角平分线BD交AC于点D，若，求的面积的最小值.19.（12分）如图所示，在三棱锥中，满足，点M在CD上，且，为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且.（1）求证：面ABC；（2）若二面角的平面角的大小为，求直线EM与面ABD所成角的正弦值.20.（12分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（12分）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.（1）求双曲线C的方程；（2）不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于P，Q两点，PQ的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.22.（12分）设.（1）求的单调性，并求在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求k的取值范围.中学生标准学术能力诊断性测试2023年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678ADBDCCAB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分.9101112ACBCDABDAD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.10816.1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）（1）∵，∴，即.…………2分又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，从而，则.…………5分（2）∵…………6分∴，设，则，两式相减得：.…………9分从而，故.…………10分18.（12分）（1）由已知及正弦定理得：，又在中，.…………2分∴，即，又，∴.…………4分又，∴，即角B的大小为.…………5分（2）∵.…………6分BD是的角平分线，而，∴，即，∴.…………8分∵，∴，∵，∴，即.…………10分当且仅当时取等号，则，即的面积的最小值为.…………12分19.（12分）（1）在BE上取一点N，使得，连接FN，NM，∵，∴，，，∵，∴，则.…………2分∵面ABC，面ABC，∴面ABC，∵，∴.…………4分∵面ABC，面ABC，∴面ABC，∵，∴面面ABC，∵面FNM，∴面ABC.…………5分（2）∵，，所以二面角的平面角为.…………6分又∵，∴面AEC，∵面ABD，∴面面AEC，∵面面，过点C作，则面ABD，则.∵，∴，…………8分即C到面ABD的距离为，∵，∴M到面ABD的距离为.…………9分计算EM：，在中，，，∴.…………11分∴EM与面ABD所成角的正弦值为.…………12分（其他方法酌情给分）20.（12分）（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930…………2分，所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关.…………5分（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，则，…………6分，…………7分，…………8分.…………9分故X的分布列为X0123P.…………12分21.（12分）（1）因为双曲线C以为渐近线，设双曲线方程为，即.…………1分∵，∴，即：，∴，∴，即.…………3分所以双曲线C的方程为：.…………4分（2）设直线l：，，，，化简得：.…………6分此方程的两根为，，则，∴.…………8分PQ中点M坐标为.…………9分∴PQ中垂线方程为：，令，∴，∴，则.…………11分∴.…………12分22.（12分）（1）令.……