北师大版八年级数学上册期末专题复习试题及答案

最新北师大版八年级数学上册专题复习试题及答案全套解题技巧专题一：勾股定理与面积问题——全方位求面积，一网搜罗eq\a\vs4\al(◆)类型一直角三角形中，利用面积求斜边上的高1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为()A.eq\f(10,13)B.eq\f(15,13)C.eq\f(60,13)D.eq\f(75,13)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为________．eq\a\vs4\al(◆)类型二结合乘法公式巧求面积或长度3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝7cm，c＝5cm，则Rt△ABC的面积是()A．6cm2B．9cm2C．12cm2D．15cm24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC边上除B，C点外的任意一点，则代数式AP2＋PB·PC等于(提示：过点A作AD⊥BC)()A．25B．15C．20D．30eq\a\vs4\al(◆)类型三巧妙割补求面积5．如图所示是一块地，已知AD＝8米，CD＝6米，∠D＝90°，AB＝26米，BC＝24米，求这块地的面积．【方法5②】6．(2016－2017·西华县期末)如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．eq\a\vs4\al(◆)类型四“勾股树”及其拓展类型求面积7．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝()A．25B．31C．32D．408．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是()A．9B．36C．27D．349．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________．10．★五个正方形按如图放置在直线l上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S5＝________．

参考答案与解析1．C2.2.43．A解析：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2.∵a＋b＝7cm，∴(a＋b)2＝49，∴2ab＝49－(a2＋b2)＝49－c2＝24，∴eq\f(1,2)ab＝6，故面积为6cm2.4．A解析：首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP＝∠ADB＝90°.由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得BD＝CD.由勾股定理可得AP2＝PD2＋AD2，AD2＋BD2＝AB2.则AP2＋PB·PC＝AP2＋(BD＋PD)(BD－PD)＝AP2＋BD2－PD2＝AP2－PD2＋BD2＝AD2＋BD2＝AB2＝25.5．解：连接AC.∵AD＝8米，CD＝6米，∠D＝90°，∴AC2＝CD2＋AD2，即AC＝10米．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S＝S△ABC－S△ACD＝eq\f(1,2)AC·BC－eq\f(1,2)AD·CD＝eq\f(1,2)×10×24－eq\f(1,2)×8×6＝96(平方米)．6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝169，∴AC＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE2＝AC2－AE2，解得CE＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝eq\f(1,2)AB·BC＋eq\f(1,2)AD·CE＝eq\f(1,2)×(12×5＋10×12)＝90.7．B解析：由题意得AB2＝S1＋S2＝13，AC2＝S3＋S4＝18，∴BC2＝AB2＋AC2＝31，∴S＝BC2＝31.8．B解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.9．12解析：∵图中的八个直角三角形全等，∴设每个三角形的面积为S，则S1－S2＝4S，S2－S3＝4S，∴S1－S2＝S2－S3，∴S1＋S3＝2S2.由题意得S2＝22＝4，∴S1＋S3＝8，∴S1＋S2＋S3＝4＋8＝12.10．1解析：如图所示：由正方形的性质得AC＝CE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABC和△CDE中，∠1＝∠3，∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，∴△ABC≌△CDE(AAS)．∴AB＝CD.同理可得△FGH≌△HMN.∴FG2＝HM2＝NH2－MN2＝5－2＝3.∴DE2＝FG2＝3.∴CD2＝CE2－DE2＝4－3＝1.∴AB2＝1.∴S5＝AB2＝1.思想方法专题二：勾股定理中的思想方法eq\a\vs4\al(◆)类型一分类讨论思想一、直角边和斜边不明时需分类讨论【易错1】1．在一个直角三角形中，若其中两边长分别为5，3，则第三边长的平方为()A．16B．16或34C．34D．不存在2．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为()A．5B．7C．7或25D．16或25二、锐角和钝角不明时需分类讨论【易错2】3．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为________cm2.【变式题】一般三角形→等腰三角形等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为________．三、腰和底不明时需分类讨论4．★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰△ABD，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为()A.eq\f(7,6)，2或3B．3或eq\f(7,6)C．2或eq\f(7,6)D．2或3eq\a\vs4\al(◆)类型二方程思想一、利用两直角三角形“公共边”相等列方程5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为()A．4B．5C．66．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC＝14cm，则△ABC的面积为________cm2.【方法5①】二、折叠问题中利用勾股定理列方程7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上与点B′重合，AE为折痕，则EB＝________．8．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6cm，BC＝8cm，求阴影部分的面积．【方法3】eq\a\vs4\al(◆)类型三利用转化思想求最值9．(2016－2017·张掖期中)课外小组的同学在学校的花园里观察到一棵牵牛花的藤在一截面周长为36cm的圆柱形水管上缠绕4圈后，恰好上升至108cm的高度，则此时牵牛花藤的长度至少是________．【方法4②】10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短路程是________．

参考答案与解析1．B2.D3．126或66解析：当∠B为锐角时，如图①，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－122＝25，∴BD＝5cm.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，∴CD＝16cm.∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·AD＝eq\f(1,2)×21×12＝126(cm2)；当∠B为钝角时，如图②，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－122＝25，∴BD＝5cm.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝202－122＝256，∴CD＝16cm.∴BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·AD＝eq\f(1,2)×11×12＝66(cm2)．故答案为126或66.【变式题】90或10解析：分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，可求得底边长的平方为10；②当等腰三角形为钝角三角形时，可求得底边长的平方为90.4．A解析：分三种情况：①当AD＝AB时，得CD＝BC＝3；②当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝x＋3，由勾股定理列出方程(x＋3)2＝x2＋42，解得x＝eq\f(7,6)；③当BD＝AB时，由勾股定理求出AB＝5，即可得出CD＝5－3＝2.故CD的长为3，eq\f(7,6)或2.5．C解析：设BD＝2x，则AD＝5x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，AC2－AD2＝BC2－BD2，即172－(5x)2＝102－(2x)2，解得x＝3，即BD＝6.6．847.eq\f(3,2)8．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD.由折叠的性质可知∠D′＝∠D，CD＝CD′，∴∠B＝∠D′，AB＝CD′.又∵∠AEB＝∠CED′，∴△ABE≌△CD′E.∴AE＝CE.设AE＝xcm，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即62＋(8－x)2＝x2，∴x＝eq\f(25,4)，∴CE＝AE＝eq\f(25,4)cm.∴S阴影＝eq\f(1,2)·CE·AB＝eq\f(1,2)×eq\f(25,4)×6＝eq\f(75,4)(cm2)．9．180cm解析：将水管展开，则最短藤如图所示，其中BC＝eq\f(108,4)＝27(cm)，AC＝36cm，∴由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝272＋362＝2025，∴AB＝45cm.故藤的最短长度为45×4＝180(cm)．10．125cm解题技巧专题三：二次根式中的化简求值——明确计算便捷渠道eq\a\vs4\al(◆)类型一利用二次根式的非负性求值1．若实数m，n满足(m－1)2＋eq\r(n＋2)＝0，则(m＋n)5＝________．2．已知(a＋6)2＋eq\r(b2－2b－3)＝0，求2b2－4b－a的值．【方法7①】3．若(2a－4)2和eq\r(b－3)互为相反数，求ab的平方根与立方根．4．已知eq\r(1＋a)－(b－2)eq\r(2－b)＝0，求ba的值．eq\a\vs4\al(◆)类型二利用乘法公式进行计算5．计算(eq\r(3)＋eq\r(5))(eq\r(3)－eq\r(5))的值等于()A．2B．－2C.eq\r(3)D.eq\r(5)6．计算：(eq\r(6)＋eq\r(5))2015·(eq\r(6)－eq\r(5))2016＝________．7．计算：eq\r(18)－(eq\r(2)＋1)2＋(eq\r(3)＋1)(eq\r(3)－1)．eq\a\vs4\al(◆)类型三整体代入求值8．若a－b＝eq\r(2)－1，ab＝eq\r(2)，则代数式(a－1)(b＋1)的值等于()A．2eq\r(2)＋2B．2eq\r(2)－2C．2eq\r(2)D．29．已知a＋eq\f(1,a)＝1＋eq\r(10)，求a2＋eq\f(1,a2)的值．10．已知x＋y＝－3，xy＝2，求eq\r(\f(y,x))＋eq\r(\f(x,y))的值．参考答案与解析1．－1解析：∵(m－1)2＋eq\r(n＋2)＝0，∴m－1＝0，n＋2＝0，解得m＝1，n＝－2，∴(m＋n)5＝(1－2)5＝－1.2．解：∵(a＋6)2＋eq\r(b2－2b－3)＝0，∴a＋6＝0，b2－2b－3＝0，解得a＝－6，b2－2b＝3，可得2b2－4b＝6，则2b2－4b－a＝6－(－6)＝12.3．解：∵(2a－4)2和eq\r(b－3)互为相反数，∴(2a－4)2＋eq\r(b－3)＝0，∴2a－4＝0，b－3＝0，解得a＝2，b＝3，所以ab＝23＝8，∴ab的平方根是±2eq\r(2)，立方根是2.4．解：由eq\r(1＋a)－(b－2)eq\r(2－b)＝0，得eq\r(1＋a)＋(2－b)·eq\r(2－b)＝0，根据非负数的性质得1＋a＝0，2－b＝0，解得a＝－1，b＝2，所以ba＝2－1＝eq\f(1,2).5．B6.eq\r(6)－eq\r(5)解析：原式＝(eq\r(6)＋eq\r(5))2015·(eq\r(6)－eq\r(5))2015·(eq\r(6)－eq\r(5))＝[(eq\r(6)＋eq\r(5))·(eq\r(6)－eq\r(5))]2015·(eq\r(6)－eq\r(5))＝eq\r(6)－eq\r(5).7．解：原式＝3eq\r(2)－(3＋2eq\r(2))＋3－1＝3eq\r(2)－3－2eq\r(2)＋2＝eq\r(2)－1.8．B解析：∵a－b＝eq\r(2)－1，ab＝eq\r(2)，∴(a－1)(b＋1)＝ab＋(a－b)－1＝eq\r(2)＋eq\r(2)－1－1＝2eq\r(2)－2.9．解：a2＋eq\f(1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)－2＝(1＋eq\r(10))2－2＝9＋2eq\r(10).10．解：∵x＋y＝－3，xy＝2，∴x＜0，y＜0，∴eq\r(,\f(y,x))＋eq\r(,\f(x,y))＝eq\f(\r(,－y),\r(,－x))＋eq\f(\r(,－x),\r(,－y))＝eq\f(\r(,xy),－x)＋eq\f(\r(,xy),－y)＝eq\f(\r(,xy)（x＋y）,－xy)＝eq\f(\r(,2)×（－3）,－2)＝eq\f(3\r(,2),2).类比归纳专题四：平面直角坐标系中图形面积的求法——代几结合，突破面积及点的存在性问题eq\a\vs4\al(◆)类型一有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形直接求面积1．如图，平面直角坐标系中△ABC的面积是()A．2B．4C．8D．6如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC的面积为________．eq\a\vs4\al(◆)类型二利用补形法或分割法求图形的面积【方法10】3．如图，四边形ABCD的面积为()A．16.5B．21C．17D．18(2016－2017·安陆市期中)如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出此三角形的面积．eq\a\vs4\al(◆)类型三与图形面积相关的点的存在性问题如图，平面直角坐标系中，ABCD为长方形，其中点A，C的坐标分别为(－4，2)，(1，－4)，且AD∥x轴交y轴于M点，AB∥y轴交x轴于N点．(1)求B，D两点的坐标和长方形ABCD的面积；(2)一动点P从A点出发，以eq\f(1,2)个单位/秒的速度沿AB向B点运动，是否存在某一时刻t，使△AMP的面积等于长方形ABCD面积的eq\f(1,3)？若存在，求出t的值，并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O(0，0)，A(2，0)，B(4，2)，C(2，3)，过点C与x轴平行的直线EF与过点B与y轴平行的直线EH交于点E.(1)求四边形OABC的面积；(2)在线段EH上是否存在点P，使四边形OAPC的面积为7？若不存在，说明理由；若存在，求点P的坐标．参考答案与解析1．B2.7.53．B解析：由图可知，四边形ABCD的面积为1个长方形加3个三角形的面积，即S四边形ABCD＝3×4＋eq\f(1,2)×1×3＋eq\f(1,2)×1×3＋eq\f(1,2)×3×4＝21.4．11解析：过点B作BD⊥x轴于D，则S四边形ABCO＝S梯形OCBD＋S三角形ABD＝eq\f(1,2)×(4＋2)×3＋eq\f(1,2)×1×4＝9＋2＝11.5．解：(1)A(3，3)，B(－2，－2)，C(4，－3)；(2)如图，分别过点A，B，C作坐标轴的平行线，交点分别为D，E，F.S三角形ABC＝S正方形DECF－S三角形BEC－S三角形ADB－S三角形AFC＝6×6－eq\f(1,2)×6×1－eq\f(1,2)×5×5－eq\f(1,2)×6×1＝eq\f(35,2).6．解：(1)∵点A，C的坐标分别为(－4，2)，(1，－4)，而四边形ABCD为长方形，AB∥y轴，AD∥x轴，∴点B的坐标为(－4，－4)，点D的坐标为(1，2)，∴S长方形ABCD＝(1＋4)×(2＋4)＝30；(2)存在．∵AM＝4，AP＝eq\f(1,2)t，∴S△AMP＝eq\f(1,2)×4×eq\f(1,2)t＝t.∵S△AMP＝eq\f(1,3)S长方形ABCD，∴t＝30×eq\f(1,3)＝10，∴AP＝eq\f(1,2)×10＝5.∵AN＝2，∴P点坐标为(－4，－3)．7．解：(1)由题意，得OF＝EH＝3，OH＝EF＝4，CF＝OA＝2，BH＝2，则CE＝AH＝2，BE＝1.∴S四边形ABCO＝S长方形OHEF－S三角形ABH－S三角形CBE－S三角形OCF＝4×3－eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×3×2＝6；(2)不存在．理由如下：若点P在EH上，设PH＝x，则PE＝3－x，S四边形OAPC＝S长方形OHEF－S三角形APH－S三角形CPE－S三角形OCF＝4×3－eq\f(1,2)×2×x－eq\f(1,2)×2×(3－x)－eq\f(1,2)×3×2＝6.此时四边形OAPC的面积为一定值6，不为7，故不存在．难点探究专题五：平面直角坐标系中的新定义与规律题——掌握不同规律，以不变应万变eq\a\vs4\al(◆)类型一新定义在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a，b)和点Q(a，b′)，给出下列定义：若b′＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b（a≥1），,－b（a＜1），))则称点Q为点P的限变点．例如：点(2，3)的限变点的坐标是(2，3)，点(－2，5)的限变点的坐标是(－2，－5)．如果一个点的限变点的坐标是(eq\r(3)，－1)，那么这个点的坐标是()A．(－1，eq\r(3))B．(－eq\r(3)，－1)C．(eq\r(3)，－1)D．(eq\r(3)，1)2．(2016·黔南州中考)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①△(a，b)＝(－a，b)；②○(a，b)＝(－a，－b)；③Ω(a，b)＝(a，－b)，按照以上变换，例如△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))＝________．3．(2016·常德中考)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为点M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是________．eq\a\vs4\al(◆)类型二规律探究4．一个质点P在第一象限及坐标轴上运动，在第1秒钟，从原点运动到(0，1)，然后按箭头的方向运动[即：(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，每秒移动一个单位，则点P运动到(7，7)位置时共运动了________秒．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去….若点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，点B(0，2)，则点B2的坐标为________；点B7．如图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)求△OAB的面积；(2)写出△OA4B4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出△OAnBn的面积与△OAB的面积的大小关系吗？参考答案与解析1．C2．(－3，4)解析：○(Ω(3，4))＝○(3，－4)＝(－3，4)．3．(1，8)或(－3，－2)或(3，2)解析：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，①当C为A，B的“和点”时，C点的坐标为(2－1，5＋3)，即C(1，8)；②当B为A，C的“和点”时，设C点的坐标为(x1，y1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝2＋x1，,3＝5＋y1，))解得C(－3，－2)；③当A为B，C的“和点”时，设C点的坐标为(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝－1＋x2，,5＝3＋y2，))解得C(3，2)；∴点C的坐标为(1，8)或(－3，－2)或(3，2)．4．56解析：质点P每秒移动一个单位，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推，点P运动到(7，7)位置时共运动了2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56(秒)．5．(5，－5)解析：∵eq\f(20,4)＝5，∴A20在第四象限．∵A4所在正方形的边长为2，∴A4的坐标为(1，－1)，同理可得A8的坐标为(2，－2)，A12的坐标为(3，－3)，∴A20的坐标为(5，－5)．6．(6，2)(6048，2)解析：∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，B(0，2)，∴Rt△AOB中，AB＝eq\f(5,2)，∴OC2＝OA＋AB1＋B1C2＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,2)＋2＝6，∴点B2的横坐标为6，且B2C2＝2，即点B2的坐标是(6，2)，∴点B4的横坐标为2×6＝12，∴点B2016的横坐标为2016÷2×6＝6048，点B2016的纵坐标为2，即点B2016的坐标是(6048，2)．7．解：(1)S△OAB＝eq\f(1,2)OB·yA＝eq\f(1,2)×2×3＝3；(2)根据图示知O的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，对于A1，A2，…，An的坐标，找规律比较发现An的横坐标为2n，而纵坐标都是3；同理B1，B2，…，Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n＋1，纵坐标为0.由以上规律可知：A4的坐标是(16，3)，B4的坐标是(32，0)．综上所述，O(0，0)，A4(16，3)，B4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是3，∴OBn＝2n＋1，S△OAnBn＝eq\f(1,2)×2n＋1×3＝3×2n＝2nS△OAB，即S△OAnBn＝2nS△OAB.解题技巧专题六：一次函数的图象信息题——数形结合，快准解题eq\a\vs4\al(◆)类型一一次函数图象与字母系数的关系1．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx＋b的图象大致如图所示，则下列结论正确的是()A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜02．已知k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx－b的大致图象为()3．在一次函数y＝eq\f(1,2)ax－a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是()4．已知直线y＝kx＋b，若k＋b＝－5，kb＝5，那该直线不经过的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若直线y＝3x＋b与两坐标轴所围成的三角形面积为6，求b的值．eq\a\vs4\al(◆)类型二根据实际问题判断函数图象6．(2016·新疆中考)小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟的书后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图象的是()7．(2016·贵阳中考)星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续匀速走了60min后回到家，图中的折线OA－AB－BC是她出发后所在位置离家的距离s(km)与行走时间t(min)之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走路线的是()第7题图第8题图8．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，则这个容器的形状为()如图，已知蚂蚁以均匀的速度沿台阶由A爬行到E，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象是()10．某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40升，到B地后发现油箱中还剩油4升，则从出发后到B地油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间函数的大致图象是()参考答案与解析1．A2.A3.B4．A解析：∵k＋b＝－5，kb＝5，∴k＜0，b＜0，∴直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．5．解：当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－eq\f(b,3).∵直线y＝3x＋b与两坐标轴所围成的三角形面积为6，∴eq\f(1,2)×|b|×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))＝6，解得b＝±6.6．B7.B8.B9．B解析：当蚂蚁在AB段上爬行时，爬行高度随时间的增加而增加；当蚂蚁在BC和DE段上爬行时，蚂蚁的爬行高度不变；当蚂蚁在CD段上爬行时，爬行高度随时间的增加而增加，故B符合题意．10．C难点探究专题七：一次函数与几何的综合问题——代几结合明思路eq\a\vs4\al(◆)类型一一次函数与面积问题一、由一次函数图象求面积1．(2016·抚顺中考)一次函数y＝2x－4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为原点，则△AOB的面积是()A．2B．4C．6D．8(2016·自贡中考)如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．3．已知直线l经过点(－1，5)，且与直线y＝－x平行．(1)求直线l的函数关系式；(2)若直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，求△AOB的面积．二、由面积求一次函数关系式或字母系数的值4．如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于4，则m的值是()A．±3B．35．已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则此一次函数的解析式为()A．y＝x＋2B．y＝－x＋2C．y＝x＋2或y＝－x＋2D．y＝－x＋2或y＝x－2三、一次函数中动点与面积问题6．(2016·荆门中考)如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为x(cm)，在下列图象中能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是()第6题图第7题图7．(2016·青海中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()eq\a\vs4\al(◆)类型二一次函数与几何图形综合的探究型问题(选做)8．(2016·德州中考)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2017的坐标为________．9．如图，一系列“黑色梯形”是由x轴、直线y＝x和过x轴上的正奇数1，3，5，7，9，…所对应的点且与y轴平行的直线围成的．从左到右将其面积依次记为S1，S2，S3，…，Sn.则S1＝________，Sn＝________.参考答案与解析1．B2．16解析：如图所示．∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，即OA＝1，OB＝4，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4.∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5.即OA′＝5.∴AA′＝OA′－OA＝5－1＝4.∵S△CAB＝S△C′A′B′，∴S四边形CC′B′B＝S长方形CAA′C＝4×4＝16.即线段BC扫过的面积为16.3．解：(1)设直线l的解析式为y＝－x＋b，将(－1，5)代入，可得b＝4，∴直线l的函数关系式为y＝－x＋4；(2)当y＝0时，x＝4.∴A点坐标为(4，0)，当x＝0时，y＝4，∴B点坐标为(0，4)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)×4×4＝8.4．C解析：由题意得直线y＝2x＋m与x轴的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，与y轴的交点坐标为(0，m)，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)))·|m|＝4，解得m＝±4.5．C解析：∵一次函数y＝kx＋b的图象过点(0，2)，∴b＝2.令y＝0，则x＝－eq\f(2,k).∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴eq\f(1,2)×2×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)))＝2，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)))＝2，解得k＝±1.则函数解析式是y＝x＋2或y＝－x＋2.6．A7．B解析：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，∴△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，∴△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，∴△ABP的面积S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，∴△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，∴△ABP的面积S随着时间t的增大而减小．故选B.8．(21008，21009)解析：观察，发现规律：A1(1，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1[(－2)n，2(－2)n](n为自然数)．∵2017＝1008×2＋1，∴A2017的坐标为[(－2)1008，2(－2)1008]＝(21008，21009)．故答案为(21008，21009)．9．44(2n－1)解析：由图可得S1＝eq\f(（1＋3）×2,2)＝4＝4×(2×1－1)，S2＝eq\f(（5＋7）×2,2)＝12＝4×(2×2－1)，S3＝eq\f(（9＋11）×2,2)＝20＝4×(2×3－1)，…，∴Sn＝4(2n－1)．

解题技巧专题八：解二元一次方程组——学会选择最优的解法eq\a\vs4\al(◆)类型一解未知数系数为1或－1的方程组一、直接运用或变形后运用代入法解方程组1．二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝10，,y＝2x))的解是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝3))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2))2．方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝2，,x＋2y＝1))用代入法消去x，所得y的一元一次方程为()A．3－2y－1－4y＝2B．3(1－2y)－4y＝2C．3(2y－1)－4y＝2D．3－2y－4y＝2二、两个方程中都含有系数1或－1，运用加减法解方程组3．(2016·番禺模拟)二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝0))的解是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))4．已知x与y互为相反数，且3x－y＝4，则x＝______，y＝______．eq\a\vs4\al(◆)类型二解同一未知数系数互为倍数关系的方程组5．方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋5y＝22，,6x－7y＝10))的解是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝5))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－1))6．若方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y＝13，,7x＋18y＝－1))的解也是方程2x－ay＝18的解，则a＝________．eq\a\vs4\al(◆)类型三解两个方程中未知数系数成对称关系的方程组一、解未知数系数成对称关系的方程组7．用加减消元法解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝3，,3x－2y＝11，))下列变形正确的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋6y＝3，,9x－6y＝11))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋3y＝9，,6x－2y＝22))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋6y＝6，,9x－6y＝33))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋9y＝3，,6x－4y＝11))8．下列是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝5，,2x－y＝－5))的解的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝0))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3))二、不解方程组求字母或式子的值9．若方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝1＋3a，,x＋3y＝1－a))的解满足x＋y＝0，则a的值是【方法16】()A．a＝－1B．a＝1C．a＝0D．a不能确定10．(2015－2016·济南市期末)已知a，b满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b＝2，,a＋2b＝5，))则3a＋b的值为________．11．(2016·泰州模拟)如果实数x、y满足方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－2y＝1，,x＋y＝4，))那么(x＋y)(x－y)＝________．eq\a\vs4\al(◆)类型四求有特殊解时的方程组的字母系数12．关于x、y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋ay＝5，,y－x＝1))有正整数解，则正整数a的值为【方法14】()A．1或2B．2或5C．1或5D．1或2或5参考答案与解析1．A2.B3.B4.1－15.A6．47.C8.D9.A10.711.212．A解析：∵两式相加有(1＋a)y＝6，又∵方程组有正整数解，且a为正整数，∴a的可能值为5，这时y＝1，这与y－x＝1矛盾，舍去；可能值还有a＝2或a＝1，这时y＝2或y