专题一第1讲函数的图象与性质

专题一

函数与导数第1讲函数的图象与性质考情分析KAOQINGFENXI1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的

性质及函数的图象等，主要考查求函数的定义域、求分段函数的函

数值或分段函数中求参数问题及函数图象的识别，难度属于中等及

以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，

多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.内容索引考点一考点二考点三专题强化练1考点一函数的概念与表示PARTONE核心提炼1.复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(－∞，－1)∪(－1,0) D.(－∞，－1)∪(－1,1)√解析令1－2x>0，即2x<1，即x<0.∴f(x)的定义域为(－∞，0).(－2，－1)∪(0，＋∞)解析①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，化简得a2＋3a＋2<0，解得－2<a<－1，又a<0，∴a∈(－2，－1)；②当a>0时，1－a<1,1＋a>1，∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R，又a>0，∴a∈(0，＋∞)，综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞).规律方法(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.√(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是A.y＝sinxcosx B.y＝lnx＋exC.y＝2x D.y＝x2－2x√√解析由题意，得“H函数”的值域关于原点对称.其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝lnx＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”.2考点二函数的图象PARTTWO1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.核心提炼√∴f(x)是奇函数，故A错误；(2)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为√解析要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确.规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察.√所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，D；(2)(2021·信阳检测)如图是函数f(x)的图象，f(x)的解析式可能是√3考点三函数的性质PARTTHREE核心提炼1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.3.函数的周期性若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.4.函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.考向1单调性与奇偶性例3

(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是A.[－1,1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞) D.[－1,0]∪[1,3]√解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].例4

(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则A.＝0 B.f(－1)＝0C.f(2)＝0 D.f(4)＝0考向2奇偶性、周期性与对称性√解析因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，又f(1)＝0，故f(－1)＝f(5)＝f(1)＝0，其他三个选项未知.二级结论(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.跟踪演练3

(1)(2021·驻马店质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2，则f(2021)＋f(2022)等于A.－5

B.－3

C.3

D.5√解析∵f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x)的周期为8，∴f(2021)＝f(5)＝－f(1)＝－1，f(2022)＝f(6)＝－f(2)＝－4，∴f(2021)＋f(2022)＝－5.(2)(2020·全国Ⅲ)关于函数f(x)＝sinx＋

有如下四个命题：①f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于直线x＝

对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_______.②③∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确.4专题强化练PARTFOUR一、单项选择题12345678910111213141516√1.(2021·宝鸡联考)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是解析对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又3x>0，且3x≠1，故3x－1>－1，且3x－1≠0，故y<－1或y>0.故值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；12345678910111213141516123456789101112131415162.(2021·兰州模拟)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增且图象关于坐标原点对称的是A.f(x)＝x＋ B.f(x)＝2x＋1C.f(x)＝log2|x| D.f(x)＝x3√解析选项B为非奇非偶函数，选项C为偶函数，排除B，C，12345678910111213141516解析由题意知f(2021)＝f(2018)＝…＝f(2)＝f(－1)＝log21＋1＝1.A.1

B.2

C.log26

D.3√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析函数的定义域为{x|x≠0}，故排除A；123456789101112131415165.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝

，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1√1234567891011121314151612345678910111213141516为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.123456789101112131415166.(2021·银川模拟)已知f(x)是定义在R上的满足f(1＋x)＝f(－1－x)的函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)的值为A.－2

B.－1

C.0

D.1√12345678910111213141516解析∵f(1＋x)＝f(－1－x)⇒f(x)＝f(－x)，又f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，由函数解析式及性质易知，f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－1，f(3)＝0，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＝505[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2020)＋f(2021)＝0＋f(0)＋f(1)＝1.12345678910111213141516√12345678910111213141516又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C.A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a√12345678910111213141516解析设x1<x2∈(0，＋∞)，则x2－x1>0，12345678910111213141516因为f(x)是定义在R上的奇函数，12345678910111213141516即得0.23<sin1<ln3，所以g(0.23)>g(sin1)>g(ln3)，即c<b<a.12345678910111213141516二、多项选择题9.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征.若函数y＝f(|x|)在区间[a，b]上的图象如图，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是√√12345678910111213141516解析函数y＝f(|x|)是偶函数，所以它的图象是由y＝f(x)把x≥0的图象保留，再关于y轴对称得到的.结合选项可知选项AD正确.10.(2021·湘潭模拟)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则下列结论正确的是A.|f(x)|≥2B.当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3C.直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴D.f(x)在(－∞，－1)上单调递增12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，由图象可知f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以|f(x)|≥2，故A正确；当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3，故B正确；由图象可知直线x＝1显然不是f(x)的对称轴，故C错误；由图象可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增，故D正确.12345678910111213141516√√√1234567891011121314151612.(2021·青岛模拟)定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2021；x不为整数时，f(x)＝0，则A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.∀x∈R，f(f(x))＝2021D.f(x)的最小正周期为112345678910111213141516√√√解析A中，对于函数f(x)，有f(1)＝2021，f(－1)＝2021，所以f(－x)＝－f(x)不恒成立，则函数f(x)不是奇函数，所以A不正确；B中，对于函数f(x)，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2021，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0，综上可得f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以B正确；C中，若x为整数，则f(x)＝2021，若x不为整数，则f(x)＝0，综上，函数f(x)是整数，则f(f(x))＝2021，所以C正确；12345678910111213141516D中，若x为整数，则x＋1也是整数，若x不为整数，则x＋1也不是整数，总之有f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为1，若t(0<t<1)也是f(x)的周期，则x和x＋nt可能一个为整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x＋nt)，所以函数f(x)的最小正周期为1，所以D正确.1234567891011121314151612345678910111213141516三、填空题13.(2021·唐山模拟)有以下两个条件：①定义域不是R；②偶函数.写出一个同时满足以上条件的函数f(x)＝________________.12345678910111213141516解析∵∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，∴f(x)为奇函数，f(0)＝0，∵当x≥0时，f(x)＝ex＋m，∴f(0)＝e0＋m＝0，解得m＝－1，∴f(－ln5)＝－f(ln5)＝－(eln5－1)＝－4.14.(2021·石嘴山模拟)已知f(x)满足对∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，且x≥0时，f(x)＝ex＋m(m为常数)，则f(－ln5)的值为_____.－41234567891011121314151615.已知函数f(x)＝ex－e－x－sin2x，若f(a－2)＋f(2a)>0，则实数a的取值范围是__________.12345678910111213141516解析∵f(x)的定义域为R，又f(－x)＝e－x－ex＋sin2x＝－(ex－e－x－sin2x)＝－f