2019数学（理）通用版二轮精准提分练习第二篇 第21练 圆锥曲线的定义、方程与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第21练圆锥曲线的定义、方程与性质[小题提速练][明晰考情］1。命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点。2.题目难度：中等偏难。考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧（1）应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件.（2）凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化。（3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.1。已知A（0，7），B(0，－7),C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A。y2－eq\f(x2,48)＝1 B.x2－eq\f（y2，48）＝1C。y2－eq\f(x2,48)＝1（y≤－1） D.x2－eq\f（y2，48）＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得｜AC｜＝13，|BC|＝15，|AB｜＝14，因为A，B都在椭圆上,所以｜AF|＋|AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，｜AF｜－｜BF｜＝|BC|－｜AC｜＝2〈14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－eq\f(x2,48)＝1（y≤－1)，故选C。2.已知双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0,b>0）的左焦点为F,离心率为eq\r(2).若经过F和P（0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为()A。eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4）＝1 B。eq\f(x2,8)－eq\f(y2，8)＝1C.eq\f(x2,4）－eq\f(y2，8）＝1 D。eq\f（x2，8）－eq\f(y2，4)＝1答案B解析由e＝eq\r（2）知a＝b,且c＝eq\r（2）a.∴双曲线渐近线方程为y＝±x.又kPF＝eq\f（4－0，0＋c）＝eq\f(4,c)＝1，∴c＝4，则a2＝b2＝eq\f（c2,2）＝8。故双曲线方程为eq\f（x2,8）－eq\f（y2,8）＝1。3。已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f（y2，2）＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2｜＝2,则△PF1F2的面积是________.答案eq\r（2)解析由椭圆的方程可知a＝2，c＝eq\r(2)，且｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝4，又|PF1｜－|PF2|＝2，所以|PF1｜＝3，｜PF2｜＝1。又｜F1F2|＝2c＝2eq\r（2），所以有|PF1｜2＝|PF2|2＋|F1F2｜2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，所以＝eq\f(1，2）|F1F2｜｜PF2|＝eq\f（1，2）×2eq\r(2)×1＝eq\r（2）。4.已知抛物线y＝eq\f(1,16）x2，A，B是该抛物线上两点，且｜AB｜＝24，则线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为________.答案8解析由题意得抛物线的标准方程为x2＝16y,焦点F（0,4),设A（x1，y1),B(x2，y2)，由|AB|≤｜AF｜＋|BF|＝(y1＋4)＋（y2＋4)＝y1＋y2＋8，∴y1＋y2≥16，则线段AB的中点P的纵坐标y＝eq\f（y1＋y2,2）≥8，∴线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为8。考点二圆锥曲线的几何性质方法技巧(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,就是确立一个关于a,b，c的方程(组）或不等式(组)，再根据a，b,c的关系消掉b得到a，c的关系式。（2）要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5。（2018·全国Ⅱ)双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2）＝1（a＞0，b＞0)的离心率为eq\r（3)，则其渐近线方程为（)A。y＝±eq\r（2)x B.y＝±eq\r（3）xC。y＝±eq\f（\r(2),2）x D.y＝±eq\f(\r（3），2)x答案A解析双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又∵离心率eq\f（c,a）＝eq\f（\r（a2＋b2），a）＝eq\r（3)，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝eq\r(2）a（a＞0,b＞0）.∴渐近线方程为eq\r(2）ax±ay＝0,即y＝±eq\r(2)x.故选A。6。（2018·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若｜PF1｜＝eq\r(6）|OP｜，则C的离心率为（)A.eq\r(5)B。2C。eq\r（3）D。eq\r（2)答案C解析如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形。因为｜F2P|＝b，|F2O｜＝c，所以｜OP|＝a.又|PF1|＝eq\r(6)a＝|F2P′｜，|PP′|＝2a，所以|F2P｜＝eq\r(2）a＝b,所以c＝eq\r（a2＋b2)＝eq\r（3）a,所以e＝eq\f(c，a）＝eq\r(3）。7。（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中,双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0,b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若｜AF|＋｜BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.答案y＝±eq\f（\r（2），2）x解析设A（x1,y1），B（x2，y2），由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(x2，a2)－\f(y2，b2)＝1，，x2＝2py，））得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0,∴y1＋y2＝eq\f(2pb2，a2）.又∵｜AF｜＋｜BF|＝4|OF|，∴y1＋eq\f(p，2）＋y2＋eq\f(p,2）＝4×eq\f（p，2),即y1＋y2＝p，∴eq\f(2pb2，a2）＝p,即eq\f（b2,a2)＝eq\f（1，2）,∴eq\f(b，a）＝eq\f(\r（2），2),∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f（\r(2)，2）x。8。（2017·全国Ⅰ)已知双曲线C：eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________。答案eq\f（2\r(3），3)解析如图，由题意知点A（a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝eq\f(b,a）x,即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝eq\f(ab，\r（a2＋b2））.又∠MAN＝60°，｜MA｜＝｜NA|＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝eq\f(\r(3），2）｜MA｜＝eq\f（\r（3),2)b，即eq\f(ab，\r(a2＋b2））＝eq\f（\r（3)，2)b，∴a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a）＝eq\r(\f（a2＋b2,a2)）＝eq\f(2\r(3）,3)。考点三圆锥曲线的综合问题方法技巧（1）圆锥曲线范围、最值问题的常用方法定义性质转化法；目标函数法;条件不等式法。（2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明。9.已知方程eq\f(x2，2＋m）－eq\f(y2,m＋1）＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是()A.(－∞，－1)B.（－2，＋∞)C。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞，－\f（3，2）))∪(－1，＋∞）D。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－2，－\f（3,2）)）∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3，2),－1)）答案D解析由eq\f(x2，2＋m）－eq\f（y2,m＋1)＝1转化成标准方程为eq\f(x2,2＋m）＋eq\f(y2,－m＋1)＝1,假设焦点在x轴上，则2＋m＞－（m＋1）＞0，解得－eq\f(3，2)＜m＜－1;假设焦点在y轴上，则－（m＋1）＞2＋m＞0，解得－2＜m＜－eq\f（3，2)。综上可知，m的取值范围为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－2，－\f(3,2）))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(3，2），－1）).10.（2016·全国Ⅱ）已知F1，F2是双曲线E:eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f（1,3)，则E的离心率为（）A.eq\r（2)B.eq\f(3,2）C.eq\r（3）D.2答案A解析如图,因为MF1与x轴垂直，所以|MF1｜＝eq\f（b2,a)。又sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以eq\f（｜MF1｜，｜MF2|)＝eq\f（1,3），即|MF2|＝3｜MF1|.由双曲线的定义得2a＝｜MF2|－｜MF1｜＝2|MF1|＝eq\f（2b2,a）,所以b2＝a2,所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝eq\f(c，a）＝eq\r（2）.11.过抛物线y＝ax2（a〉0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点,若线段AF，BF的长分别为m,n，则eq\f（mn，m＋n）＝________。答案eq\f（1,4a）解析显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为y＝kx＋eq\f（1，4a)，与y＝ax2联立,消去y得ax2－kx－eq\f(1,4a）＝0,设A（x1，axeq\o\al(2，1))，B(x2,axeq\o\al（2，2）)，则x1＋x2＝eq\f(k，a)，x1x2＝－eq\f(1,4a2),xeq\o\al(2,1）＋xeq\o\al（2,2）＝eq\f(k2,a2）＋eq\f（1,2a2)，m＝axeq\o\al(2，1)＋eq\f(1,4a），n＝axeq\o\al（2，2)＋eq\f(1，4a)，∴mn＝eq\f（1,4a)·eq\f（k2＋1，a），m＋n＝eq\f(k2＋1，a），∴eq\f(mn，m＋n）＝eq\f（1,4a).12.(2018·齐齐哈尔模拟)已知椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1(a〉b〉0)的短轴长为2，上顶点为A,左顶点为B,F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为eq\f（2－\r（3）,2），点P为椭圆上的任意一点，则eq\f(1，|PF1|）＋eq\f（1，|PF2|)的取值范围为________。答案eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（1,4))解析由已知得2b＝2，故b＝1，∵△F1AB的面积为eq\f（2－\r(3）,2），∴eq\f(1,2)（a－c)b＝eq\f（2－\r（3）,2），∴a－c＝2－eq\r(3），又a2－c2＝(a－c）(a＋c）＝b2＝1，∴a＝2，c＝eq\r(3），∴eq\f(1，|PF1|）＋eq\f(1,|PF2｜)＝eq\f(|PF1|＋|PF2|，｜PF1||PF2|)＝eq\f(2a,|PF1｜4－｜PF1｜）＝eq\f（4，－|PF1｜2＋4|PF1|)，又2－eq\r(3)≤|PF1｜≤2＋eq\r（3),∴1≤－|PF1｜2＋4｜PF1｜≤4，∴1≤eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|）≤4,即eq\f（1，|PF1|）＋eq\f（1,｜PF2|）的取值范围为eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（1，4））。1。若点O和点F(－2，0)分别为双曲线eq\f（x2,a2）－y2＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点,则eq\o（OP，\s\up6（→)）·eq\o（FP,\s\up6(→））的取值范围为(）A.[3－2eq\r(3)，＋∞） B.［3＋2eq\r(3）,＋∞)C。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（7，4），＋∞）） D.eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7，4)，＋∞））答案B解析由题意,得22＝a2＋1，即a＝eq\r(3)，设P(x，y），x≥eq\r(3)，eq\o(FP，\s\up6（→))＝(x＋2，y）,则eq\o（OP,\s\up6(→））·eq\o（FP，\s\up6（→））＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋eq\f（x2，3)－1＝eq\f(4，3)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(3，4)））2－eq\f（7，4），因为x≥eq\r（3)，所以eq\o(OP,\s\up6(→））·eq\o(FP，\s\up6(→））的取值范围为［3＋2eq\r（3），＋∞)。2。若椭圆的对称轴是坐标轴,且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)，则椭圆的方程为________________.答案eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2，9）＋eq\f（y2,12)＝1解析由题意,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2c，，a－c＝\r(3），)）所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2\r(3)，，c＝\r（3)。））所以b2＝a2－c2＝9。所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为eq\f(x2,12）＋eq\f(y2,9）＝1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为eq\f（x2,9）＋eq\f（y2，12）＝1。故椭圆的方程为eq\f(x2，12)＋eq\f（y2，9)＝1或eq\f(x2，9)＋eq\f(y2,12)＝1.3。已知A（1，2)，B(－1，2),动点P满足eq\o（AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BP,\s\up6（→)）。若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2）＝1(a〉0，b>0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________。答案（1，2)解析设P（x，y），由题设条件，得动点P的轨迹方程为（x－1)（x＋1)＋（y－2)(y－2)＝0，即x2＋（y－2)2＝1，它是以（0，2）为圆心，1为半径的圆.又双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f(y2，b2）＝1（a>0,b〉0）的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0,由题意，可得eq\f（2a，\r（a2＋b2）)>1，即eq\f(2a，c）〉1,所以e＝eq\f（c,a）〈2，又e〉1，故1〈e<2.解题秘籍(1）椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在x轴上或y轴上进行讨论.（2）范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件.1.已知椭圆eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2，5)＝1（a＞eq\r（5））的焦点为F1，F2，且离心率e＝eq\f（2，3），若点P在椭圆上，｜PF1|＝4,则｜PF2|的值为(）A。2B.6C.8D.14答案A解析椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，5）＝1(a＞eq\r(5）），椭圆的焦点在x轴上，b＝eq\r(5），c＝eq\r(a2－5)，则离心率e＝eq\f(c,a）＝eq\f（2，3）,即eq\f(a2－5，a2）＝eq\f(4,9），解得a2＝9，a＝3，∴椭圆的长轴长为2a＝6，由椭圆的定义可知，|PF1｜＋｜PF2｜＝4＋|PF2|＝6,∴｜PF2|＝2.2。设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝eq\f(k，x）(k〉0）与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于（）A。eq\f(1，2) B。1C。eq\f(3，2） D。2答案D解析因为抛物线方程是y2＝4x,所以F（1，0).又因为PF⊥x轴，所以P（1,2），把P点坐标代入曲线方程y＝eq\f（k,x）(k〉0）,即eq\f(k，1）＝2,所以k＝2.3。过抛物线y2＝2px(p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|＝10，则抛物线的方程是()A。y2＝4x B.y2＝2xC。y2＝8x D.y2＝6x答案C解析设抛物线y2＝2px（p＞0)的焦点为F，P(x1，y1），Q(x2，y2),由抛物线的定义可知,｜PQ｜＝|PF｜＋｜QF｜＝x1＋eq\f（p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝(x1＋x2）＋p,∵线段PQ中点的横坐标为3，又｜PQ|＝10，∴10＝6＋p,可得p＝4，∴抛物线的方程为y2＝8x.4。已知双曲线C:eq\f(x2，a2)－eq\f（y2，b2）＝1(a〉0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点,线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq\o（BA,\s\up6（→))＝2eq\o（AF，\s\up6(→））,且|eq\o(BF,\s\up6(→)）|＝4，则双曲线C的方程为（)A。eq\f(x2，6)－eq\f（y2,5)＝1 B。eq\f(x2，8）－eq\f(y2，12)＝1C.eq\f(x2，8）－eq\f(y2，4）＝1 D。eq\f(x2,4）－eq\f（y2，6）＝1答案D解析设A(x,y)，B为虚轴的上顶点，∵右焦点为F（c,0），点B（0,b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且eq\o（BA，\s\up6（→））＝2eq\o(AF,\s\up6(→)），∴x＝eq\f(2c,3），y＝eq\f（b,3)，代入双曲线方程，得eq\f（4c2,9a2）－eq\f(1,9）＝1,且c2＝a2＋b2,∴b＝eq\f（\r(6)a，2).∵|eq\o(BF,\s\up6(→)）｜＝4，∴c2＋b2＝16，∴a＝2，b＝eq\r（6）,∴双曲线C的方程为eq\f(x2，4)－eq\f(y2，6)＝1.5。已知双曲线Γ：eq\f（x2，a2)－eq\f(y2，b2)＝1（a〉0，b〉0）的一条渐近线为l，圆C：（x－a)2＋y2＝8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且eq\o（OB,\s\up6(→）)＝5eq\o(OA,\s\up6(→)）（其中O为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为（)A。eq\f(2\r（13），3） B.eq\f（2\r(13），5)C。eq\f(\r(13)，5) D。eq\f（\r（13），3）答案D解析双曲线的渐近线方程为y＝eq\f(b，a)x,圆(x－a）2＋y2＝8的圆心为(a，0），半径r＝2eq\r（2），由于∠ACB＝eq\f(π，2)，由勾股定理得｜AB|＝eq\r(2\r(2)2＋2\r(2）2)＝4，故｜OA｜＝eq\f(1,4)｜AB｜＝1。在△OAC,△OBC中，由余弦定理得cos∠BOC＝eq\f（a2＋1－8，2a)＝eq\f(52＋a2－8,10a)，解得a2＝13。由圆心到直线y＝eq\f（b，a)x的距离为2，得eq\f(ab，c)＝2，结合c2＝a2＋b2，解得c＝eq\f(13，3），故离心率为eq\f(c，a)＝eq\f（\f(13，3）,\r(13))＝eq\f(\r（13）,3）.6.（2018·天津）已知双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点。设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(）A。eq\f（x2,4)－eq\f（y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12）－eq\f(y2,4)＝1C。eq\f（x2,3）－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f（y2,3)＝1答案C解析如图，不妨设A在B的上方,则Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（c，\f(b2，a))），Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（c,－\f（b2，a))）。其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝eq\f（bc－b2＋bc＋b2，\r（a2＋b2））＝eq\f（2bc，c）＝2b＝6，∴b＝3。又由e＝eq\f（c，a)＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝eq\r（3)。∴双曲线的方程为eq\f（x2，3)－eq\f（y2,9）＝1.故选C.7。已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2，b2）＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A。eq\f（1,3）B.eq\f（1,2）C。eq\f(2,3）D.eq\f（3，4）答案A解析设M（－c，m)（m≠0），则Eeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（am,a－c)）)，OE的中点为D，则Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f（am,2a－c））），又B，D，M三点共线,所以eq\f（am，2a－c)＝eq\f(am,a＋c），a＝3c,所以e＝eq\f（1,3)。8.设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a〉0,b〉0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得｜PF1｜＋｜PF2|＝3b，｜PF1｜·|PF2｜＝eq\f（9,4)ab，则该双曲线的离心率为（）A.eq\f(4,3）B。eq\f(5,3)C.eq\f（9,4）D。3答案B解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，｜PF2|＝r2。根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝eq\f(3b＋2a,2），r2＝eq\f（3b－2a，2）。又r1·r2＝eq\f（9，4）ab，所以eq\f（3b＋2a,2)·eq\f(3b－2a，2)＝eq\f(9,4)ab,解得eq\f（b，a）＝eq\f（4,3)(负值舍去),故e＝eq\f（c，a）＝eq\r(\f(a2＋b2,a2）)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（b，a）))2＋1)eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（4,3））)2＋1）＝eq\f(5，3)，故选B.9.设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2，25)＋eq\f（y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4),则|PM｜＋｜PF1｜的最大值为________.答案15解析因为椭圆eq\f(x2，25)＋eq\f（y2,16）＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3,得焦点为F1（－3，0），F2(3,0）。根据椭圆的定义，得｜PM｜＋｜PF1|＝|PM|＋（2a－|PF2|）＝10＋（|PM｜－|PF2｜）.因为|PM｜－｜PF2|≤｜MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，此时｜PM｜＋｜PF1|的最大值为10＋5＝15。10.（2017·全国Ⅱ）已知F是抛物线C:y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|＝________。答案6解析如图,不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知,F（2，0)，｜FO|＝|AO｜＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF,∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO｜＝1.又｜BP|＝｜AO｜＝2，∴｜MB|＝