第四章：固体力学大变形基础

固体力学大变形基本知识1.物体运动的物质描述2.格林和阿尔曼西应变3.物体运动等的空间描述和变形率4.欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力5.大变形时平衡方程和虚位移原理6.

大变形本构关系2000.41哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1.1物体运动的物质描述-拉格朗日描述

t=0的坐标为Xi，t时刻位置为xi，质点运动可表为

对物体t时刻位置和变形的刻划称为构形或位形，如图示。

描述运动的参照基准称为参考位形，以初始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉格朗日描述，Xi称为物质坐标。2000.42哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

物体现时坐标xi对物质坐标Xi的偏导数称为变形梯度，是非对称的二阶张量。

因此可以将变形梯度视作一种线性变换，它将参考位形中的线元dXi变换为现时位形中的线元dxi，这变换中既有伸缩，也有转动。变形梯度在大变形分析中很重要。

现时位形两邻点的距离为1.2、变形梯度2000.43哈尔滨建筑大学王焕定教授制作物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，和是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行列式J不为零。也即变形梯度可逆Ricci可由Ricci置换符号的定义和行列式的性质证明Ricci符号2000.44哈尔滨建筑大学王焕定教授制作证明由此可见，返回2000.45哈尔滨建筑大学王焕定教授制作设图示初始位形微元体体积为dV0，三线元为运动变形后，现时位形三线元为1.3、体积变换公式2000.46哈尔滨建筑大学王焕定教授制作变形梯度因此，现时位形的体积可表为体积变换公式0"'ddddVJXXXJekjiijk==2000.47哈尔滨建筑大学王焕定教授制作仿体积的上述说明，图示面元可表为

如果记初始和现时位形的密度分别为则由质量守恒，可得因此对不可压缩物体又因1.4、面积变换公式体积变换公式2000.48哈尔滨建筑大学王焕定教授制作由此面元变换公式也可表为根据变形梯度张量可逆面积变换公式面积变换公式1.4、面积变换公式2000.49哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1.5

Green和Almansi应变张量设初始和现时位形中P、Q两点的距离分别为研究变形前后线段尺度的变化可以获得变形的度量－应变格林应变张量阿尔曼西张量格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是Euler坐标的函数。2000.410哈尔滨建筑大学王焕定教授制作质点的位移向量也同样可用初始位形和现时位形定义上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可得变形梯度张量分别为位移对坐标（）的偏导数，称为位移梯度张量。初始坐标的函数现时坐标的函数1.5Green和Almansi应变张量2000.411哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑）性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行的物质线元，变形过程中仍保持垂直。

将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位移梯度张量表示的应变公式如下1.5Green和Almansi应变张量2000.412哈尔滨建筑大学王焕定教授制作格林应变张量阿尔曼西张量2000.413哈尔滨建筑大学王焕定教授制作这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可得到小变形时的柯西应变-工程应变

当位移梯度远小于1时，对任意函数F有如下关系具有相同量级2000.414哈尔滨建筑大学王焕定教授制作若现时位形只是相对初始位形作刚体移动，则则物体一定无变形，反之一样。因此，物体作刚体运动的充分必要条件是到处存在1.5Green和Almansi应变张量－客观张量Green应变张量是参考初始位形的，而初始位形的坐标是固结于材料的随体坐标，当物体发生刚体转动时，P,Q两点的尺度不变，同时也不变，因此联系P,Q两点的尺度的变化及的Green应变张量的各个分量也不变。在连续介质力学中，这种不随刚体转动的对称张量称为客观张量。2000.415哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2.物体运动的空间描述和变形率质点运动的空间描述或欧拉描述，处质点的速度。瞬时位置xi处质点的加速度应该如下求取当地部分当地加速度对流部分、迁移加速度其中第一项是由速度与时间的相关性引起的，第二项是非均匀速度场质点运动的贡献。称为速度的物质导数。其中导数称为速度梯度张量。),(txvvi=xi2000.416哈尔滨建筑大学王焕定教授制作速度梯度张量可分成两部分因此，速度梯度张量为旋率张量变形率张量反对称对称任意函数的时间变化率－物质导数刚体转动的角速度Vij就反映了邻域的纯变形。点P邻域瞬时刚体运动的充分必要条件是，P点的速度梯度是反对称的2000.417哈尔滨建筑大学王焕定教授制作若令上式两边同乘eklm，则质点Q相对点P的相对速度为证明因此，利用上式可得刚体转动的角速度2000.418哈尔滨建筑大学王焕定教授制作反对称证明2000.419哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

讲义上说明了，点P邻域瞬时刚体运动的充分必要条件是，P点的速度梯度是反对称的。因此，Vij就反映了邻域的纯变形。因此，是质点P邻域，绕过P点某轴的刚体转动，向量是转动的角速度，因此称为速度场的旋度向量。变形率张量是相对现时位形定义的柯西应变的速率2000.420哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2.3格林应变张量的物质导数2000.421哈尔滨建筑大学王焕定教授制作而相对于现时位形的格林应变速率等于变形率张量。也即由于在刚体运动时变形率张量等于零，因此刚体运动时格林应变物质变化率等于零。所以可以在本构关系中，用格林应变率度量应变速率。

阿尔曼西应变的物质导数2000.422哈尔滨建筑大学王焕定教授制作因为运动质点在空间位置xi处变化时，它的初始位形标志Xi是不变的，因此

将此结果代入阿尔曼西应变的物质导数，得2000.423哈尔滨建筑大学王焕定教授制作最后根据变形率和旋率张量的对称和反对称性质，可得又根据速度梯度的分解，可得再根据阿尔曼西应变表达式，可得2000.424哈尔滨建筑大学王焕定教授制作为阿尔曼西本构速率，则可得

由此可见，阿尔曼西物质变化率与刚体转动有关，为在本构关系中用阿尔曼西应变，定义可见阿尔曼西本构速率与刚体转动是无关的。因此可以在本构关系中应用。2000.425哈尔滨建筑大学王焕定教授制作在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量，称为Euler应力张量，；此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现时位形和变形相关的真实应力。由四面体的平衡，可将面的应力，用表示

3、Euler应力张量2000.426哈尔滨建筑大学王焕定教授制作然而在分析过程中，必须联系应力与应变。如果应变是用变形前的坐标（初始位形）表示的Green应变张量，那么，还需定义与之相对应的，即关于变形前位形的应力张量。3、Lagrange应力张量对于变形后的位形（现时位形），有Euler应力张量对于变形前的位形（初始位形），可以定义名义应力

Lagrange规定Lagrange应力张量2000.427哈尔滨建筑大学王焕定教授制作3、Kirchhoff应力张量Kirchhoff规定:第二类Piola-Kirchhoff应力张量即规定变形前面元上的内力与变形后面元上的内力满足变形梯度的关系因此，按Kirchhoff规定可定义名义应力张量Lagrange应力张量2000.428哈尔滨建筑大学王焕定教授制作利用初始和现时位形中物质面元间的关系(变形前后)，得Lagrange应力张量面积变换公式由于变形梯度张量是非对称的，因此拉格朗日应力张量一般是非对称的。Lagrange应力张量与Euler应力张量关系2000.429哈尔滨建筑大学王焕定教授制作Kirchhoff应力张量与Euler应力张量关系Kirchhoff应力张量显然，是对称的应力张量。其逆形式为2000.430哈尔滨建筑大学王焕定教授制作设t0初始位形受有的介质元，发生大角度刚体转动到现时位形。又设固接于介质的动坐标为，固定坐标为，在中的方向余弦为。因为刚体转动时欧拉应力在内不变，也即。又因t0时变形为零，所以克希荷夫应力等于欧拉应力，也即t时刻介质刚体转动后，坐标中欧拉应力为2000.431哈尔滨建筑大学王焕定教授制作相应的克希荷夫应力为因为，，刚体转动时，因此

这一推证表明，克希荷夫应力张量在空间固定坐标下，是一个不随刚体转动而变的客观张量。显然，欧拉应力不是。克希荷夫应力张量和Green应变张量构成描述材料本构关系的一个适当的搭配2000.432哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

对于材料非线性问题，对于依赖于材料变形历史的非弹性问题，通常情况下需采用增量理论进行分析。其中的材料本构关系应采用微分型或速率型，由此引入了应力率的概念。前面已讨论，变形率张量是应变对时间的物质导数，介质作瞬时刚体转动时，变形率张量为零。但欧拉应率的时间或物质导数都不等于零。例如一单向应力的杆，当杆平行时仅非零，而刚体转动使杆平行时仅非零，可见刚体转动相对空间固定坐标，改变了欧拉应力张量分量（对动坐标它不变）。因此在大变形分析的本构关系中，和变形率相对应，欧拉应力的时间或物质导数都不能合适地度量。2000.433哈尔滨建筑大学王焕定教授制作设含P点的邻域上有一随介质刚体转动的动坐标，在t时刻动坐标与定坐标重合，邻域的Q点转动时不变，但它在固定坐标中的，前已指出，按如下速率变化式中为瞬时旋度矢量。

t+dt时刻Q点位置为即的方向余弦张量为。设t时刻P点的应力为，则t+dt时刻为2000.434哈尔滨建筑大学王焕定教授制作因为在此基础上，定义焦曼应力率为故可得变换到动坐标的结果为将和代入上式，展开、整理后可得则展开、整理2000.435哈尔滨建筑大学王焕定教授制作当介质作刚体转动时，因为Vij=0和vk,k=0，也即除焦曼应力率外，还有Truesdell应力率，它可表为显然当介质作刚体转动时，，它是不受刚体转动影响的客观张量。也是客观张量

克希荷夫应力2000.436哈尔滨建筑大学王焕定教授制作为了求克希荷夫应力张量的物质导数，需先求雅可比行列式的物质导数。由于质量守恒，在固定坐标系中流入微小体元的质量的净速率，等于质量积累的速率，因此因为，因此2000.437哈尔滨建筑大学王焕定教授制作有了雅可比行列式的物质导数，下面求克希荷夫应力张量的物质导数因为因此经推证后可得Truesdell应力率是客观张量推证返章2000.438哈尔滨建筑大学王焕定教授制作克希荷夫应力物质导数因为将上述关系代入上式，可得2000.439哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2000.440哈尔滨建筑大学王焕定教授制作5.大变形时平衡方程和虚位移原理

变形体初始和现时位形如图所示，以欧拉应力表述平衡时

这是现时位形空间描述的平衡条件。

在外荷为保守力系时2000.441哈尔滨建筑大学王焕定教授制作经推证得上式乘以J，由于由复合函数求导数，平衡方程改写为平衡方程成为对任意j恒有2000.442哈尔滨建筑大学王焕定教授制作证明因为拉格朗日应力和欧拉应力关系以j=1为例，由（4.10)可得2000.443哈尔滨建筑大学王焕定教授制作同理可验证，对任意j恒有由此不难得到2000.444哈尔滨建筑大学王焕定教授制作上述拉格朗日和克希荷夫应力表示的平衡条件都是以初始位形作参考的物质描述。利用外和保守条件、欧拉应利用拉格朗日应力表达，可将欧拉应力的边界条件改写为利用克希荷夫应力和拉格朗日应力的关系，可将平衡条件改为2000.445哈尔滨建筑大学王焕定教授制作如果考虑到变形梯度和位移梯度间的关系，对比小变形情况，可见大变形时变形对平衡的影响，是通过变形或位移梯度表现出来的。则克希荷夫应力表达的平衡方程可改为2000.446哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

设现时位形微小虚位移在V内单值连续、在位移边界上为零。则外力总虚功为考虑到位移边界虚位移为零和应力边界条件有限元分析需要用虚位移原理，为此首先讨论空间描述的虚位移原理。2000.447哈尔滨建筑大学王焕定教授制作将平衡方程引入，考虑到虚位移微小，则利用格林公式，可得也即虚位移原理的虚功方程为若虚位移用虚速度、虚应变用虚应变率代替，则柯西应变虚功率方程2000.448哈尔滨建筑大学王焕定教授制作为建立物质描述虚功方程，先讨论能量共轭关系。空间描述中又因为变形率张量是相对现时位形定义的柯西应变的速率单位体积变形功率因此克希荷夫应力和格林应变在能量上共轭。2000.449哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

由于变形率和欧拉应力张量是对称的，因此再利用欧拉和拉格朗日应力间关系，可得因此拉格朗日应力和初始位形位移梯度在能量上共轭。由此即可得到物质描述的虚功方程为2000.450哈尔滨建筑大学王焕定教授制作6.大变形本构关系对弹性介质，其受力和变形或由温度引起的响应只取决于当前状态。考虑等温、无应力自然状态开始的现时位形，欧拉应力张量和阿尔曼西应变张量间有如下本构关系如果的分量是常数，材料是线弹性的；如果其分量是的函数，材料是非线性的。但即使线弹性，这一本构关系也不是广义虎克定律，因为和是对现时位形定义的。只有在小变形情况下才退化为广义虎克定律。针对现时位形定义2000.451哈尔滨建筑大学王焕定教授制作由于对各向同性材料，与坐标无关，因而是各向同性的张量，它可用两个独立的常数表示2000.452哈尔滨建筑大学王焕定教授制作同理可得又由于将上述关系代入弹性材料欧拉-阿尔曼西本构关系，可得2000.453哈尔滨建筑大学王焕定教授制作由此可得克希荷夫应力和格林应变的本构关系（现时位形的材料性质张量）为其中2000.454哈尔滨建筑大学王焕定教授制作弹性张量和间的转换关系也可表为对非线性弹性有限元分析时，切线刚度矩阵为2000.455哈尔滨建筑大学王焕定教授制作对弹塑性介质来说，空间描述的屈服面方程用欧拉应力表示内变量k可以是等效塑性应变率的物质积分。

假设：大变形中，弹性变形是较小的，总变形增量等于弹性部分加塑性部分。基于此，大变形弹塑性本构关系为

又假设：塑性变形率由正交法则于屈服面关联，弹性应变率与应力的焦曼导数间满足胡克定律。2000.456哈尔滨建筑大学王焕定教授制作当材料为各向同性Mises强化材料时，在弹性加载、塑性卸载和