与一次函数有关的动态几何问题

1.(2011江苏省盐城市)如图，已知一次函数y=-x+7与正比率函数y4x的图象交3于点A，且与x轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作⊥轴于点，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长ACyC的速度，沿——A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平OC移过程中，直线l交x轴于点，交线段或线段AO于点．当点P到达点A时，点P和直RBAQ线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时，以、、为极点的三角形的面积为8？APR②可否存在以、、Q为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明AP原由．yx，，x答案：解：（1）依照题意，得解得34y∴A(3，4)．，，y3x令yx7=0，得x=7．∴B（7，0）．（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APRS梯形COBAS△ACPS△PORS△ARB8，得1(37)413(4t)1t(7-t)1t48．2222整理，得t28t120，解之得t1，t2（舍）．=2=6当P在CA上运动，4≤t＜7．由S△APR1(7t)48，得t=3（舍）．2∴当t=2时，以A、P、R为极点的三角形的面积为8．②当P在OC上运动时，0≤t＜4．∴AP=(4t)2322=7-，AQ=t，PQt．当AP=AQ时，（4-t）2+32=2(4-t)2，整理得，t2-8t+7=0．∴t=1，t=7（舍）．当AP=PQ时，（4-t）2+32=（7-t）2，整理得，6t=24．∴t=4（舍去）．当AQ=PQ时，2(4t)232(7t)2．整理得，t2-2t-17=0，∴t=1±32（舍）．当P在CA上运动时，4≤t＜7．过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4．设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t．AEAC5由cos∠OAC==，得AQ=（t-4）．AQAO3541当AP=AQ时，7-t=3（t-4），解得t=8．1当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE=2AP．1得t-4=2（7-t），解得t=5．当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F，115AF=2AQ=2×3（t-4）．在Rt△APF中，由cos∠PAF＝AF＝33AP．，得AF＝5AP5153226即2×3（t-4）=5×（7-t），解得t=43．41226∴综上所述，t=1或8或5或43时，△APQ是等腰三角形.(2011黑龙江省鸡西市)已知直线y=3x＋43与x轴，y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C.1）试确定直线BC的剖析式.2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C、A重合)，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内可否存在一点N，使以A、Q、M、N为极点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明原由.答案：解：(1)由已知得A点坐标(－4﹐0)，B点坐标(0﹐43﹚∵OA＝4OB＝43∴∠BAO＝60o∵∠ABC＝60o∴△ABC是等边三角形OC＝OA＝4C点坐标﹙4，0﹚设直线BC剖析式为y＝kx﹢bb43k34kb0∴b43∴直线BC的剖析式为y=－3x43﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴。∵QHCQOBCB∴QH2t∴QH3t438=11t·3t=3t2（0＜t≤4）△APQ222同理可得S=1t·﹙833t﹚=－3t243t﹙4≤t＜8﹚△APQ22（3）存在，（4，0），（－4，8）（－4，－8）（－4，83）3QPHQ3.(2011

云南省曲靖市

)

如图：直线

y=kx+3

与

x轴、y

轴分别交于

A、B两点，tan

∠OAB=3，4点C(x,y)是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点.求直线y=kx+3的剖析式；当点C运动到什么地址时△AOC的面积是6；过点C的另素来线CD与y轴订交于D点，可否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，央求出点C的坐标；若不存在，请说明原由.答案：解：（1）∵OB=3tan∠OAB=34∴OB3OA∴OA=44即A的坐标为（4,0）把x=4,y=0代入y=kx+3得k=-34y=-3x+34设△AOC的面积为SS=1gOAg｜y｜=1×4｜y｜=622y=±3C(x,y)在直线y=-3x+3上4∴当y=3时,x=0,点(0,3)与B重合，舍去.当y=-3时，x=8即当点C运动到(8,3)时，△AOC的面积为6（3）①当△BCD≌△BAO时，BD=BO=3，CD=AO=4DO=6∴C1(4,6),C2(4,0)C2(4,0)与A重合，舍去.②当△BCD≌△BOA时BC=BO=3，CD=AO=4,BD=BA=5过C作CE⊥y轴DECBOA∵SBCD1BCCD1BDCE22∴CE=125∵C(x,y)在直线