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文档简介

届中考数学复习方案三角形苏科第1页/共176页第四单元三角形第2页/共176页第17讲┃几何初步及平行线、相交线第17课时几何初步及平行线、相交线第3页/共176页第17讲┃考点聚焦考点聚焦考点1三种基本图形——直线、射线、线段直线公理经过两点有且只有________条直线线段公理两点之间,________最短两点间的距离连接两点间的线段的________,叫做这两点间的距离一线段长度第4页/共176页第17讲┃考点聚焦考点2角角的概念定义1有公共端点的两条____组成的图形叫做角.这个公共端点叫做角的____,这两条射线叫做角的____定义2一条射线绕着它的____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角角的分类角按照大小可以分为平角、周角、____、____、钝角角的大小比较(1)叠合法(2)度量法角平分线定义从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等射线

顶点

两边

端点

直角

锐角

第5页/共176页考点3几何计数第17讲┃考点聚焦1数直线的条数过任意三个不在同一直线上的n个点中的两个点可以画________条2数线段的条数线段上共有n个点(包括两个端点)时,共有线段________条3数角的个数从一点出发的n条直线可组成______个角4数交点的个数n条直线最多有________个交点5数直线分平面的份数平面内有n条直线,最多可以把平面分成________个部分第6页/共176页考点4互为余角、互为补角第17讲┃考点聚焦互为余角定义如果两个角的和等于90°,则这两个角互余性质同角(或等角)的余角________互为补角定义如果两个角的和等于180°,则这两个角互补性质同角(或等角)的补角________拓展一个角的补角比这个角的余角大90°相等

相等

第7页/共176页考点5邻补角、对顶角第17讲┃考点聚焦邻补角定义若两角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角对顶角定义若两角有一个公共顶点,且两角的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角性质对顶角相等第8页/共176页考点6“三线八角“的概念第17讲┃考点聚焦同位角如果两个角在截线l的同侧,且在被截直线a、b的同一方向叫做同位角(位置相同).∠1和∠5,∠4和∠8,∠2和∠6,∠3和∠7是同位角内错角如果两个角在截线l的两旁(交错),在被截线a、b之间(内)叫做内错角(位置在内且交错).∠2和∠8,∠3和∠5是内错角同旁内角如果两个角在截线l的同侧,在被截直线a、b之间(内)叫做同旁内角.∠5和∠2,∠3和∠8是同旁内角第9页/共176页考点7平行第17讲┃考点聚焦平行线的定义在同一平面内,________的两条直线叫做平行线平行公理经过直线外一点,有且只有____条直线与这条直线______平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相________不相交

一平行

平行第10页/共176页第17讲┃考点聚焦平行线的判定同位角相等,两直线平行内错角相等,两直线平行同旁内角互补,两直线平行平行线的性质两直线平行,同位角相等两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补第11页/共176页考点8垂直第17讲┃考点聚焦垂直定义如果两条直线相交成______,那么这两条直线互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线,互相垂直的两条直线的交点叫做______特别说明(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况,特殊在它们所交的角是直角;(3)线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直,都是指它们所在直线垂直垂直的性质在同一平面内,过一点有且只有______条直线与已知直线垂直直角垂足一第12页/共176页第17讲┃考点聚焦垂线段定义从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做______性质直线外各点与直线上各点所连的线段中,______最短点到直线的距离直线外一点到这条直线的________的长度,叫做点到直线的距离垂线段垂线段垂线段第13页/共176页第17讲┃归类示例归类示例►类型之一线与角的概念和基本性质命题角度:1.线段、射线和直线的性质及计算;2.角的有关性质及计算.例1[2012·北京]

如图17-1,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM等于(

)A.38°B.104°C.142°D.144°

C图17-1第14页/共176页第17讲┃归类示例第15页/共176页►类型之二直线的位置关系命题角度:1.直线平行与垂直的判定及简单应用;2.角度的有关计算.第17讲┃归类示例图17-2

例2[2012·连云港]如图17-2,将三角尺的直角顶点放在直线a上,a∥b,∠1=50°,∠2=60°,则∠3的度数为(

)

A.50°

B.60°C.70°

D.80°C[解析]依题意,∠3=180°-∠1-∠2=180°-50°-60°=70°,故选C.

第16页/共176页

计算角度问题时,要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用.第17讲┃归类示例第17页/共176页►类型之三度、分、秒的计算

例3[2012·南通]已知∠α=32°,求∠α的补角为(

)A.58°B.68°C.148°D.168°第17讲┃归类示例命题角度:1.互为余角的计算;2.互为补角的计算;3.角度的有关计算.C

[解析]

∵∠α=32°,∴∠α的补角=180°-32°=148°.故选C.第18页/共176页第17讲┃归类示例注意角的度数之间的进率是60而不是10,这是容易出错的地方.第19页/共176页►类型之四平行线的性质和判定的应用命题角度:1.平行线的性质;2.平行线的判定;3.平行线的性质和判定的综合应用.第17讲┃归类示例例4如图17-3,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.

图17-3第20页/共176页第17讲┃归类示例

解:①∠APC

=∠PAB

+∠PCD;②∠APC=360°-(∠PAB

+∠PCD);③∠APC=∠PAB

-∠PCD;④∠APC=∠PCD-∠PAB.如证明①

∠APC

=∠PAB

+∠PCD.证明:过P点作PE∥AB,所以∠A=∠APE.又因为AB∥CD,所以PE∥CD,所以∠C=∠CPE,所以∠A+∠C=∠APE+∠CPE,∴∠APC

=∠PAB

+∠PCD.同理可证明其他的结论.第21页/共176页第18讲┃三角形和多边形第18课时三角形和多边形第22页/共176页第18讲┃考点聚焦考点聚焦考点1三角形概念及其基本元素定义由________直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫三角形基本元素三角形有____条边,____个顶点,____个内角不在同一

第23页/共176页第18讲┃考点聚焦考点2三角形的分类1.按角分:第24页/共176页第18讲┃考点聚焦2.按边分:第25页/共176页第18讲┃考点聚焦考点3三角形中的重要线段重要线段交点位置中线三角形的三条中线的交点在三角形的______部角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部高______三角形的三条高的交点在三角形的内部;____三角形的三条高的交点是直角顶点;______三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部内内锐角直角钝角第26页/共176页考点4三角形的中位线第18讲┃考点聚焦定义连接三角形两边的______的线段叫三角形的中位线定理三角形的中位线______于第三边,并且等于它的______总结(1)一个三角形有三条中位线.(2)三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为1∶3中点平行一半第27页/共176页考点5三角形的三边关系第18讲┃考点聚焦定理三角形的两边之和____第三边推理三角形的两边之差____第三边三角形的稳定性三条线段组成三角形后,形状无法改变是稳定性的体现大于小于第28页/共176页考点6三角形的内角和定理及推理第18讲┃考点聚焦定理三角形的内角和等于________推论1.三角形的一个外角等于和它________________的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它______的内角3.直角三角形的两个锐角________4.三角形的外角和为________拓展在任意一个三角形中,最多有三个锐角,最少有两个锐角;最多有一个钝角,最多有一个直角180°

不相邻的两个内角

不相邻

互余

360°

第29页/共176页考点7多边形第18讲┃考点聚焦多边形的定义在同一平面内,不在同一直线上的一些线段__________相接组成的图形叫做多边形多边形的性质内角和n边形内角和____________外角和任意多边形的外角和为360°多边形对角线n边形共有______条对角线不稳定性

n边形具有不稳定性(n>3)拓展n边形的内角中最多有________个是锐角首尾顺次(n-2)·180°3第30页/共176页第18讲┃考点聚焦正多边形定义各个角________,各条边________的多边形叫正多边形对称性正多边形都是________对称图形,边数为偶数的正多边形是中心对称图形相等相等轴第31页/共176页考点8平面图形的镶嵌第18讲┃考点聚焦定义用______、______完全相同的一种或几种____________进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,就是平面图形的________平面镶嵌的条件在同一顶点的几个角的和等于360°形状大小平面图形镶嵌第32页/共176页第18讲┃考点聚焦常见形式(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况:________个正三角形或________个正四边形或________个正六边形(2)用两种正多边形镶嵌①用正三角形和正四边形镶嵌:三个正三角形和________个正四边形;②用正三角形和正六边形镶嵌:用________个正三角形和________个正六边形或者用________个正三角形和________个正六边形;③用正四边形和正八边形镶嵌:用________个正四边形和________个正八边形可以镶嵌六四三两四一两两一两第33页/共176页第18讲┃考点聚焦常见形式(3)用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌,设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形,则有60m+90n+120k=360,整理得______________,因为m、n、k为整数,所以m=______,n=________,k=________,即用________块正方形,________块正三角形和________块正六边形可以镶嵌防错提醒能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于360°2m+3n+4k=12

121两一一第34页/共176页第18讲┃归类示例归类示例►类型之一三角形三边的关系命题角度:1.判断三条线段能否组成三角形;2.求字母的取值范围;3.三角形的稳定性.例1[2011·徐州]若三角形的两边长分别为6cm、9cm,则其第三边的长可能为(

)A.2cmB.3cmC.7cmD.16cmC[解析]设第三边的长为x,根据三角形三边关系得9-6<x<9+6,即3cm<x<15cm,符合条件的只有选项C.

第35页/共176页第18讲┃归类示例变式题

[2012·长沙]现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是(

)A.1B.2C.3D.4

B第36页/共176页第18讲┃归类示例[解析]四条木棒的所有组合:3,4,7和3,4,9和3,7,9和4,7,9;只有3,7,9和4,7,9能组成三角形.故选B.

第37页/共176页第18讲┃归类示例根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,只要两短边之和大于最长的边,这三条线段就能组成三角形,通常只要两短边之和大于最长的边,这三条线段就能组成三角形.第38页/共176页►类型之二三角形的重要线段的应用命题角度:1.三角形的中线、角平分线、高线;2.三角形的中位线.第18讲┃归类示例图18-1

例2[2011·淮安]如图18-1,在△ABC中,D,E分别是边AB、AC的中点,BC=8,则DE=__________。4第39页/共176页第18讲┃归类示例三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题,题目中有中点,就要想到三角形的中位线定理.第40页/共176页►类型之三三角形内角与外角的应用

例3[2012·乐山]如图18-2,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ.则(1)∠A1=________;(2)∠An=________.第18讲┃归类示例命题角度:1.三角形内角和定理;2.三角形内角和定理的推论.图18-2第41页/共176页第18讲┃归类示例[解析](1)根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC,∠A1CD=∠ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,整理即可得解;(2)与(1)同理求出∠A2,可以发现后一个角等于前一个角的,根据此规律再结合脚码即可得解.第42页/共176页第18讲┃归类示例第43页/共176页

变式题

[2011·黄冈]如图18-3,如图18-3,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP=________.第18讲┃归类示例图18-350°第44页/共176页第18讲┃归类示例第45页/共176页第18讲┃归类示例综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质,灵活地运用这些基础知识,合理地推理,可以灵活的解决内外角的关系,得到结论.第46页/共176页►类型之四多边形的内角和与外角和

例4[2012·无锡]若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数为(

)A.6B.7C.8D.9第18讲┃归类示例命题角度:1.n边形的内角和定理的应用;2.n边形的外角和定理的应用.C

[解析]设这个多边形的边数为n,则180(n-2)=1080,解得n=8.故选C.第47页/共176页变式题[2010·淮安]

若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是(

)A.3B.4C.5D.6第18讲┃归类示例A

[解析]三角形的内角和为180°,四边形的内角和是360°,而且边数越多,内角和越大,而多边形的外角和是360°与边数无关,所以选择A.第48页/共176页第18讲┃归类示例如果已知n边形的内角和,那么可以求出它的边数n;对于多边形的外角和等于360°,应明确两点:(1)多边形的外角和与边数n无关;(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果.第49页/共176页第19讲┃全等三角形第19课时全等三角形第50页/共176页第19讲┃考点聚焦考点聚焦考点1全等图形及全等三角形全等图形能够完全重合的两个图形就是______全等图形的形状和________完全相同全等三角形能够完全重合的两个三角形就是全等三角形说明完全重合有两层含义:(1)图形的形状相同;(2)图形的大小相等全等图形大小第51页/共176页第19讲┃考点聚焦考点2全等三角形的性质

性质1全等三角形的对应边________性质2全等三角形的对应角________性质3全等三角形的对应边上的高________性质4全等三角形的对应边上的中线________性质5全等三角形的对应角平分线________相等相等相等相等相等第52页/共176页考点3全等三角形的判定第19讲┃考点聚焦基本判定方法1.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为____)3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为____)4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为____)5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为____)ASA

AAS

SAS

HL

第53页/共176页第19讲┃考点聚焦拓展延伸满足下列条件的三角形是全等三角形:(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等;(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等;(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等;(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等总结判定三角形全等,无论哪种方法,都要有三组元素对应相等,且其中最少要有一组对应边相等第54页/共176页考点4

利用“尺规”作三角形的类型第19讲┃考点聚焦1已知三角形的三边,求作三角形2已知三角形的两边及其夹角,求作三角形3已知三角形的两角及其夹边,求作三角形4已知三角形的两角及其其中一角的对边,求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边,求作三角形第55页/共176页考点5角平分线的性质与判定第19讲┃考点聚焦性质角平分线上的点到角两边的______相等判定角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上距离

平分线

第56页/共176页第19讲┃归类示例归类示例►类型之一全等三角形性质与判定的综合应用命题角度:1.利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等;2.利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题.例1[2012·重庆

]已知:如图19-1,AB=AE,∠1=∠2,∠B

=∠E,求证:BC=ED.图19-1第57页/共176页第19讲┃归类示例第58页/共176页第19讲┃归类示例变式题1[2012·菏泽

]

已知:如图19-2,∠ABC=∠DCB,BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线.求证:AB=DC.图19-2[解析]欲证AB=DC,即证△ABC≌△DCB,可利用ASA证明.第59页/共176页第19讲┃归类示例第60页/共176页第19讲┃归类示例变式题2[2011·江津

]如图19-3,在△ABC中,AB=CD,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.图19-3

[解析]可以利用旋转Rt△ABE到Rt△CBF,证明Rt△ABE≌Rt△CBF.第61页/共176页第19讲┃归类示例解:(1)证明:∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.第62页/共176页第19讲┃归类示例

1.解决全等三角形问题的一般思路:①先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对三角形全等的条件;②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系;2.轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等;3.利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等.第63页/共176页►类型之二全等三角形开放性问题命题角度:1.三角形全等的条件开放性问题;2.三角形全等的结论开放性问题.第19讲┃归类示例图19-2

例2[2012·义乌

]如图19-2,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是________.(不添加辅助线)DE=DF

第64页/共176页第19讲┃归类示例第65页/共176页第19讲┃归类示例由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.第66页/共176页第19讲┃回归教材全等三角形性质的应用回归教材教材母题

江苏科技版七下P121T6如图19-5,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使点A、C、E在一条直线上,这时测得的DE的长就是AB的长,为什么?图19-5第67页/共176页第19讲┃回归教材[解析]根据题意,有CD=BC,∠ABC=∠EDC,∠ACB=∠ECD,根据ASA可以证明△ABC≌△EDC.解:因为AB⊥BF,DE⊥BF,B、D分别为垂足,所以∠ABC=∠EDC=90°.又因为BC=CD,∠ACB=∠ECD,所以△ABC≌△EDC.所以AB=ED.第68页/共176页

[2012·柳州]如图19-6,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是(

)A.POB.PQ

C.MOD.MQ第19讲┃回归教材图19-3B中考变式第69页/共176页第19讲┃归类示例

[解析]要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长,只需求得线段PQ的长,故选B.第70页/共176页第20讲┃等腰三角形第20课时等腰三角形第71页/共176页第20讲┃考点聚焦考点聚焦考点1等腰三角形的概念与性质定义有____相等的三角形是等腰三角形.相等的两边叫腰,第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形,有____条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为:__________)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合,简称“三线合一”两边一等边对等角中线第72页/共176页第20讲┃考点聚焦拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高第73页/共176页第20讲┃考点聚焦考点2等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成:___________)拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等角对等边第74页/共176页考点3等边三角形第20讲┃考点聚焦定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都______,并且每一个角都等于______等边三角形是轴对称图形,有______条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形相等

60°

3

第75页/共176页考点4线段的垂直平分线第20讲┃考点聚焦定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________判定与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的____________上实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合相等垂直平分线距离相等第76页/共176页第20讲┃归类示例归类示例►类型之一等腰三角形的性质的运用命题角度:1.等腰三角形的性质;2.等腰三角形“三线合一”的性质;3.等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质.例1[2012·镇江]如图20-1,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.(1)求证:△ADE≌△BFE;(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由.图20-1第77页/共176页第20讲┃归类示例[解析]

先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个三角形全等;由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形,再结合点E是DF的中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论.第78页/共176页第20讲┃归类示例解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE,∠DAE=∠FBE.∵E是AB的中点,∴AE=BE.∴△ADE≌△BFE.(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.∵∠GDF=∠ADF,又∵∠ADE=∠BFE,∴∠GDF=∠BFE,∴GD=GF.由(1)得,DE=EF,∴EG⊥DF.第79页/共176页第20讲┃归类示例

(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换,进而进行角度转换.(2)在同一个三角形中,等角对等边与等边对等角进行互相转换.第80页/共176页►类型之二等腰三角形判定命题角度:等腰三角形的判定.第20讲┃归类示例图20-2

例2[2011·扬州]已知:如图20-2,锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,且OB=OC.(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.第81页/共176页第20讲┃归类示例[解析](1)利用△BDC≌△CEB

证明∠DCB=∠EBC;(2)连接AO,通过HL证明△ADO≌△AEO,从而得到∠DAO=∠EAO,利用角平分线上的点到两边的距离相等,证明结论.解:(1)证明:∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵BD、CE是两条高,∴∠BDC=∠CEB=90°.又∵BC=CB,∴△BDC≌△CEB(AAS).∴∠DBC=∠ECB,∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.第82页/共176页第20讲┃归类示例(2)点O是在∠BAC的平分线上.连接AO.∵△BDC≌△CEB,∴DC=EB.∵OB=OC,∴

OD=OE.又∵∠BDC=∠CEB=90°,AO=AO,∴△ADO≌△AEO(HL).∴∠DAO=∠EAO.∴点O是在∠BAC的平分线上.第83页/共176页第20讲┃归类示例要证明一个三角形是等腰三角形,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等;(2)通过三角形全等得两边相等;(3)利用垂直平分线的性质得两边相等.第84页/共176页►类型之三等腰三角形的多解问题

例3[2012·广安]已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=0.5BC,则△ABC底角的度数为(

)A.45°B.75°C.45°或75°D.60°第20讲┃归类示例命题角度:1.遇到等腰三角形的问题时,注意边有腰与底之分,角有底角和顶角之分;2.遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况.C第85页/共176页第20讲┃归类示例第86页/共176页第20讲┃归类示例因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况.第87页/共176页►类型之四等边三角形的判定与性质

例4

[2011·绍兴]

数学课上,李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图20-3.试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.第20讲┃归类示例命题角度:等边三角形的判定与性质的综合.图20-3第88页/共176页第20讲┃归类示例小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论当点E为AB的中点时,如图20-4①,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE________DB(填“>”“<”或“=”)图20-4①②

第89页/共176页第20讲┃归类示例(2)特例启发,解答题目解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE________DB(填“>”“<”或“=”).理由如下:如图20-4②,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).=

(3)1或3.第90页/共176页第20讲┃归类示例方法一:等边三角形ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC.∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC,∴△AEF是等边三角形,∴AE=AF=EF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF.又∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,且ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠FCE.又∵∠DBE=∠EFC=120°,∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF,∴AE=BD.第91页/共176页第20讲┃归类示例方法二:在等边三角形ABC中,∠ABC=∠ACB=60°,∠ABD=120°.∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠ACE,ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠ACE.∵FE∥BC,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC,∴△AEF是正三角形,∠EFC=180°-∠ACB=120°=∠ABD.∴△EFC≌△DBE,∴DB=EF,而由△AEF是正三角形可得EF=AE.∴AE=DB.

第92页/共176页第20讲┃归类示例等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.第93页/共176页第21讲┃直角三角形与勾股定理第21课时直角三角形与勾股定理第94页/共176页第21讲┃考点聚焦考点聚焦考点1直角三角形的概念、性质与判定定义有一个角是________的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角互余(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于______________(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于________________斜边的一半

直角

斜边的一半

第95页/共176页第21讲┃考点聚焦第96页/共176页第21讲┃考点聚焦考点2

勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方.即:________勾股定理的逆定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系:________,那么这个三角形是直角三角形用途(1)判断某三角形是否为直角三角形;(2)证明两条线段垂直;(3)解决生活实际问题勾股数能构成直角三角形的三条边长的三个正整数,称为勾股数a2+b2=c2

a2+b2=c2

第97页/共176页考点3互逆命题第21讲┃考点聚焦互逆命题如果两个命题的题设和结论正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果我们把其中一个叫做______,那么另一个叫做它的______互逆定理若一个定理的逆定理是正确的,那么它就是这个定理的________,称这两个定理为互逆定理原命题逆命题逆定理第98页/共176页考点4

命题、定义、定理、公理第21讲┃考点聚焦定义在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给他们下定义命题定义判断一件事情的句子叫做命题分类正确的命题称为________错误的命题称为________组成每个命题都由______和______两个部分组成公理公认的真命题称为________定理除公理以外,其他真命题的正确性都经过推理的方法证实,推理的过程称为________.经过证明的真命题称为________真命题假命题条件结论公理证明定理第99页/共176页第21讲┃归类示例归类示例►类型之一利用勾股定理求线段的长度命题角度:1.利用勾股定理求线段的长度;2.利用勾股定理解决折叠问题.例1

[2011·黄石]

将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图21-1,则三角板的最大边的长为(

)图21-1D

第100页/共176页第21讲┃归类示例第101页/共176页第21讲┃归类示例变式题[2012·广州]

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(

)A

第102页/共176页第21讲┃归类示例[解析]根据题意画出相应的图形,如图所示:

第103页/共176页第21讲┃归类示例勾股定理的作用:(1)已知直角三角形的两边求第三边;(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系;(3)用于证明平方关系的问题.第104页/共176页►类型之二实际问题中勾股定理的应用命题角度:1.求最短路线问题;2.求有关长度问题.第21讲┃归类示例

例2如图21-2,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;(3)求点B1到最短路径的距离.第105页/共176页第21讲┃归类示例图21-2第106页/共176页第21讲┃归类示例第107页/共176页第21讲┃归类示例利用勾股定理求最短线路问题的方法:将起点和终点所在的面展开成为一个平面,进而利用勾股定理求最短长度.第108页/共176页►类型之三勾股定理逆定理的应用

例3[2012·广西]已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,构成直角三角形的有(

)A.②B.①②C.①③D.②③第21讲┃归类示例命题角度:勾股定理逆定理.D第109页/共176页第21讲┃归类示例[解析]根据勾股定理的逆定理,只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形.只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.①∵22+32=13≠42,∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故不符合题意;②∵32+42=52

,∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意;③∵12+(√3)2=22,∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意.故构成直角三角形的有②③.故选D.第110页/共176页第21讲┃归类示例

判断是否能构成直角三角形的三边,判断的方法是:判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.第111页/共176页►类型之四定义、命题、定理、反证法

例4[2012·淄博]下列命题为假命题的是(

)A.三角形三个内角的和等于180°B.三角形两边之和大于第三边C.三角形两边的平方和等于第三边的平方D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半第21讲┃归类示例命题角度:1.定义、命题、定理的含义;2.区分命题的条件(题设)和结论;3.逆命题的概念,识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立.C第112页/共176页第21讲┃归类示例

[解析]选项A和B中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理,均为真命题;对于选项C,只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,而其他三角形的三边都不具有这一关系,因此是假命题;选项D中的命题是三角形的面积计算公式,也是真命题,故应选C.第113页/共176页变式题[2011·德州]下列命题中,其逆命题是真命题的是________.(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等;③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.第21讲┃归类示例①④

[解析]

①的逆命题:两直线平行,同旁内角互补,正确;②的逆命题:相等的两个角是直角,错误;③的逆命题:如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:22=(-2)2,但2≠-2;④的逆命题:如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,正确.第114页/共176页第21讲┃归类示例只有对一件事情做出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.第115页/共176页第21讲┃回归教材巧用勾股定理探求面积关系回归教材教材母题

江苏科技版八上P68T6如图21-3,以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系?请说明理由.图21-3第116页/共176页第21讲┃回归教材第117页/共176页第21讲┃回归教材中考变式[2011·贵阳]

如图21-4,已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________.图21-4第118页/共176页第21讲┃回归教材第119页/共176页第22讲┃相似三角形及其应用

第22课时相似三角形及其应用第120页/共176页第22讲┃考点聚焦考点聚焦考点1

相似图形的有关概念相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比k相似三角形两个三角形的对应角相等,对应边成比例,则这两个三角形相似.当相似比k=1时,两个三角形全等第121页/共176页第22讲┃考点聚焦考点2

比例线段定义防错提醒比例线段对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即____________,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段求两条线段的比时,对这两条线段要用同一长度单位黄金分割在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果________,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,黄金比为________一条线段的黄金分割点有______个a∶b=c∶d

0.618

第122页/共176页考点3平行线分线段成比例定理

第22讲┃考点聚焦定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比___________推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比________相等

相等

第123页/共176页考点4相似三角形的判定第22讲┃考点聚焦判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形________判定定理2如果两个三角形的三组对应边的________相等,那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且____________相等,那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________,那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似比相应的夹角两个角对应相等第124页/共176页考点5相似三角形及相似多边形的性质

第22讲┃考点聚焦三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方第125页/共176页考点6位似第22讲┃考点聚焦位似图形定义两个多边形不仅相似,而且对应顶点间连线相交于一点,对应边互相平行,像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位形中心位似与相似关系位似是一种特殊的相似,构成位似的两个图形不仅相似,而且对应点的连线相交于一点,对应边互相平行位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________;(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点;(3)位似图形对应边______(或在一条直线上);(4)位似图形对应角相等相似比

平行

第126页/共176页第22讲┃考点聚焦以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于________位似作图(1)确定位似中心O;(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线);(3)按照相似比取点;(4)顺次连接各点,所得图形就是所求的图形k或-k

第127页/共176页考点7相似三角形的应用第22讲┃考点聚焦几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系,求线段的长度,图形的面积大小等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影,平行线,标杆等构造相似三角形求解;(2)测量底部可以达到的物体的高度;(3)测量底部不可以到达的物体的高度;(4)测量不可以达到的河的宽度第128页/共176页第22讲┃归类示例归类示例►类型之一比例线段命题角度:1.比例线段;2.黄金分割在实际生活中的应用;3.平行线分线段成比例定理.例1

[2011·肇庆

]如图22-1,已知直线a∥b∥c,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=(

)A.7

B.7.5

C.8

D.8.5

B

图22-1第129页/共176页第22讲┃归类示例第130页/共176页►类型之二

相似三角形的性质及其应用命题角度:1.利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度;2.利用相似三角形性质探求比值关系.第22讲┃归类示例

例2

[2011·怀化]

如图22-2,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.(1)求证:;(2)求这个矩形EFGH的周长.第131页/共176页第22讲┃归类示例图22-2第132页/共176页第22讲┃归类示例第133页/共176页►类型之三三角形相似的判定方法及其应用

例3[2012·凉山州]如图22-3,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)求EF的长.第22讲┃归类示例命题角度:1.利用两个角判定三角形相似;2.利用两边及夹角判定三角形相似;3.利用三边判定三角形相似.图22-3第134页/共176页第22讲┃归类示例第135页/共176页第22讲┃归类示例第136页/共176页第22讲┃归类示例

判定两个三角形相似的常规思路:①先找两对对应角相等;②若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;③若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.第137页/共176页►类型之四位似

例4[2012·玉林]如图22-5,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形,已知AC=3√2,若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(

)第22讲┃归类示例命题角度:1.位似图形及位似中心定义;2.位似图形的性质应用;3.利用位似变换在网格纸里作图.图22-5B第138页/共176页第22讲┃归类示例第139页/共176页第23讲┃锐角三角函数第23课时锐角三角函数第140页/共176页第23讲┃考点聚焦考点聚焦考点1锐角三角函数的定义第141页/共176页第23讲┃考点聚焦考点2特殊角的三角函数值

αsinαcosαtanα30°45°60°第142页/共176页考点3解直角三角形第23讲┃考点聚焦解直角三角形的定义在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形第143页/共176页第23讲┃考点聚焦解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中,∠C=90°,则:(1)三边关系:a2+b2=________;(2)两锐角关系:∠A+∠B=________;(3)边与角关系:sinA=cosB=________,cosA=sinB=________,tanA=________;(4)sin2A+cos2A=1解直角三角形的题目类型(1)已知斜边和一个锐角;(2)已知一直角边和一个锐角;(3)已知斜边和一直角边(如已知c和a);(4)已知两条直角边a,bc2

90°

第144页/共176页第23讲┃归类示例归类示例►类型之一求三角函数值命题角度:1.正弦值的计算;2.余弦值的计算;3.正切值的计算.例1

[2012·内江]

如图23-1所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点.则sinA的值为(

)B

图23-1第145页/共176页第23讲┃归类示例第146页/共176页第23讲┃归类示例

解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,确定直角三角形的边长,依据三角函数的定义进行求解.第147页/共176页►类型之二

特殊锐角的三角函数值的应用命题角度:1.30°、45°、60°的三角函数值;2.已知特殊三角函数值,求角度.第23讲┃归类示例

例2

[2012·济宁]75°

第148页/共176页第23讲┃归类示例第149页/共176页►类型之三解直角三角形

例3[2012·淮安]如图23-2,△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,已知∠BDC=45°,BD=10√2,AB=20.求∠A的度数.第23讲┃归类示例命题角度:1.利用三角函数解直角三角形;2.将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形.图23-2第150页/共176页第23讲┃归类示例第151页/共176页第23讲┃归类示例第152页/共176页第23讲┃归类示例

作三角形的高,将非直角三角形转化为直角三角形,是解直角三角形常用的方法.第153页/共176页第24讲┃解直角三角形及其应用第24课时解直角三角形及其应用第154页/共176页第24讲┃考点聚焦考点聚焦考点

解直角三角形的应用常用知识h∶l

越陡

仰角和俯角仰角俯角在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫仰角,视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=____坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角,记

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