2015八年级下册第十八章平行四边形导学案及答案

八年级数学!下" 01234

7 平行四边形 平行四边形的边&角性质及两条平行线之间的重点!会用定义识别平行四边形 难点!会用这些性质进行有关的论证和计算"!在同一平面内!不相交的两条直线叫作平行线%!两直线平行!同位角相等'两直线平行!内错角相等'两直线平行!同旁内角互补!'!同位角相等!两直线平行'内错角相等!两直线平行'同旁内角互补!两直线平行!0!三角形具有稳定性!四边形不具有稳定性)四边形的内角和等于(-!+!外角和等于(-!+平行四边阅 0 !然后与小组伙伴们交流!

"%两个元两个元素的数'3两个元两个元素的数'3%%%%%"$证明%E四边形&36是平行四边形!))!F%"& !%(

尝试回答列问题!一张0纸)一面国旗)学校的伸缩门等的形状都接近平行四边形"平行四边形是我们常见的图形!生活中应用的例子吗$答案 答案不唯一!如窗户)桌面)绘图用的缩放支架等平行四边形的定义!有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形!平行四边形用(表示!如图"7"+

F%"0 .%(F%&%&%"&%&.-&.%(%'&平行四边形的边&角性质+"!平行四&6记作"(.,-/!

"

$平行四边形的对边相等$%%平行四边形的对角相 &E)!)F四边形&36是平行四边形

邻的

平行四边形中对边是指无公共点的边'对角是指不平行四边形的定义中$两组对边分别平行%是利

'邻边是指有公共端点的边'邻角是指有一条公共边定义判定一个四边形是平行四边形的两个必备条件'也是平行四边形的性质'是解决其他问题的依据! 0""探究#!并按照"探究#中操作!然后与小组!怎样画图才能使画出的四边形是平行四边形$答案 画图时使画出的四边形的两组对边分别平行"%&36填写下表

!而三角形边是指一个角的对边'对角是指一条边的对角$阅 0% 例"#!解题过程中用到了平行四边形哪一性质$答案%平行四边形的对边相等!对角相等-从平行四边形性质的证明及例题的解决过程中!一下利用平行四边形的性质能解决哪些问题(解决这些问题$答案 进行线段)角的计算与证明!解决这些问题时常我们学过的三角形全等)平行线的性质相结合!什么是点与点之间的距离 $答案%两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离!直 "0 点!&'之间的距离及点&到直线的距离

第十八 "!关于直线#!(之间的距离说法正确的是%4&$线段$线段3$答案%点!&'之间的距离是线段&的长度!点&到直线7的距离是线段&3的长度!

线段&的长3

""!分别相交于&!!!36四点%"四边形&36是什么四边形&63%%&'与36有什么关系(由此你能得

""

"7&36%!!%6!)!%"7,!出什么结论)'平行线之间的任何两条平行线段都相等

""

%,%7,#)所"")所"

"$"%如果两条直线平行!那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等图$%%两条平行线中!一条直线上任意一点到另一条直线的距离!叫图这两条平行线之间的距离!如图"7"+" "!'

$例%')江苏徐州中考节选如图"7+""+*!四边&36938!$证明%因为四边形&36是平行四边形6!%$线段&的长就是#!(之间的距离两条平行线之间的距离处处相等

9分%!分

"$两条平行线之间的距离与点和点之间的距离)点到直

&"!的距离有何联系与区别$答案%点与点之间的距离是点到直线的距离)两条平行

%%!%! 平行四边形的对角线的性 重点!平行四边形对角线互相平分的性质及其应用难点!能综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和"!有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形%!平行四边形的对边平行且相等!'!平行四边形的对角相等!0!把线段分成两条相等线段的点是线段的中点!读

)3')!36$证明%E四边形&36是平行四边形F&)36%平行四边形的对边平行&F%&%/!&-'6%&%/%&%-材0'"探究#!并完成下列问题%6

与3有什么关系(&与36有什么关系

%

&%F!'!'&你能通过证明$&6&$3'来完成上述结论的证明吗(不妨一试,$证明%能!E四边形&63是平行四边形!3%63&&%平行四边形的对边相等&6%!%%6'

八年级数学!下"%!!%!

%%%6&3与6相交于点!则下列结论不一定成立的是% 4&F$&$%&!F!!平行四边形的对角线的性质!平行四边形的对角线互相平分!通过刚才的证明可以

%% &!

$例%%"')南充中考#如!'!6$问$&'与$&6的面积是否相等(请说明理由$答案%'与$&6的面积相等理由$由平行四边形的对角线互相平分的性质可得6设点&到6的距离为!则$&'中:'上的高为6$$'*

%'&366!经过点:的直线交&于点8!交36于点9求证$8&9!$证明%E四边形&36是平行四边形F!)%! $!'$6!

8$%!!

%0平行四边形被两条对角线分成的0个角形的面积相等!都等于平行四边形面积的"相邻两个三角形周长之差是!0

%!F$&$%&!F! ' 平行四边形的判 #在"中的逆命题中!其中" 两组对边分别平行的四 形是平行四边 是平行四边形的定义 重点!平行四边形的判定和性质的综合应用 正确性的依据 "!有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形%!平行四边形的对边平行且相等!'!平行四边形的对角相等!0!平行四边形的对角线互相平分阅 0!写出平行四边形的性质$答案% 平行四边形的对边平行%%&平行四边形的对边相等&平行四边形的对角相等%0&平行四边形的对角线互相平分"分别写出上述平行四边形性质的逆命题$答案% 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

66!请利用平行四边形的定义证明下面三个命题的正确性6!!6!%!6平行四边形!'!6'6!F$&$%!F%%!%%!!)F四边形&63是平行四边形3%!'%!%.%'%&%"7,!F))!F四边形&36是平行四边形%&两组对角分别相等的四边形是平行四边形%0&对角线互相平分的四边形是平行四边形

'6%!'!F$&$%&F%%!F)!同理可证)6&!F四边形&63是平行四边形

$例%%'福建龙岩中考#如图"7"+'+0!四边形&63是平行四平行四边形的判定定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形$%%两组对角分别相等的四边形是平行四边形的判定定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形$%%两组对角分别相等的四边形是平行四边形'%对角线互相平分的四边形是平行四边形0"求证$8&'%%&求证$四边形896

第十八 $0%一组对边平行且相等的四边形是平行四边形对于判定定 "一组对边平行且相等的四边形是平行四边形#你能进行证明吗"'"!)&求证$四边形&36是平行四边形!证明$连接)%!

$分析%通过证明$&68&$'然后利用全等三角形的对应边相等证得&8&39或利用平行四边形对角线的性6$9'8"%#!等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形证得结论!$证明%%E四边形&36是平行四边形!F6!)!F$&$!F3!

%'%)!%%#%%F%)&%#!F四边形&36的两组对边分别相等!它是平行四边形加上平行四边形的定义'判定平行四边形共有五种方法选择判定方法时'要结合图形来选择'通常图中有两条对角线时'考虑用$两条对角线互相平分的四边形是平行四边形%来判断&有一边平行时'可尝试运用全等三角形证出平行的这条边相等!

F$8&$%G&F&8!& 方法"# !F8!%%!F四边形869是平行四边形%一组对边平行$例%)云南玉溪中考#如图中

"+'3

边形是平行四边形!点8!9分别是边!6&3的中点!求证$9!$证明%E四边形&63是平行四边形!3F四边形是平行四边形!F9!$例%%如图"7"+'+'!在四边形66!!'

%

"方法%#E四边形&36是平行四边形!)!'!%!又F$8&$%&F8!!F8!F四边形869是平行四边形两组对边分别相等的四边&"方法'连接6交&3于点!如图7!&36说明理由

&63F!'!'%'%!%!!$&$所以所以四边形为平行四边形! 解题时根据已知条件利用平行四边形的性质推导相关结论!再结合所求判定出相应的平行四边形!然后利用平行四边形的性质进行推导 FF8!E'!F四边形896是平行四边形对角线互相平分的四边形&八年级数学!下"0 三角形的中 $证明

重点!运用三角形中位线的性质进行简单的计算与证明难点!三角形中位线性质的证明"!把线段分成两条相等线段的点是线段的中点%!两直线平行!同位角相等'两直线平行!内错角相等'两直线平行!同旁内角互补''!一组对边平行且相等的四边形 平行四边

F四边形是平行四边形% 形是平行四边形&*&E点6是&的中点!F39*!F四边形693是平行四边形%一组对边平行且相等的四边形是平行四边形&F*3% 平行四边形的对边平行且相等&F68&'3&

三角形的中位 重点!阅 0 并完成下列问题%"三角形的中位线$连接三角形两边中点的段叫作三角形的中位线!中点

68%!三角形三角形三角形三角形图线线位在三角形内在三角形内条((端两个端点都是三角—个端点是三角形边的中点!一个端点是三性平行于三角形的第三边并且等于第三边的一平分三角形的面"03 分别&!!3&3的中点那么图中'&3有(条中位线!问题"阅读教材07"探究#!并完成下列

0!

怎样通过测量判断68和3的位置关系%果它们的大小相等!便可说明86)!3否则68与3不平行%%&上述的方法可以判断68与3的位置关什么$答案%同位角相等!两直线平行&还可以通过测量哪些角的大小!判断68和3关系(理由是什么688"7,!!3否则68与3不平行!理由$同旁内角互补!两直线平行!%0&没有公共点的两条线段一定平行吗 为什么

三角形的中位线与三角形的中线的区别!三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段'而三角形的中线是连接三角形的顶点与对边中点的线段'它们有着本质的不同!$例"三角形的三边长分别是#!7!",!则由它们的中位线所构成的三角形的长是'!面积是-!$例%%"')福 中考#如图0'<!两条线段没有公共点不能说明它们所在的直线没有公共点为%)通过测量可以判断线段68和3的数量关系为

定是平行四边形#&!&3的中点!求证$&!&3的中点!求证$#下面是三角形中位线性质的证步骤!请把 骤补充完整0根据题目中给出的条件!结合中位线的定义添!

题的关键'!'!!$例'如图"7+"0+0!四边形!&00与%9的大小关系!并说明理由!!%

0%<%

第十八 又因为;是3的中点!所以*连接&3设&3的中点为连接=!如图"7+"00!因为<是&6的中点!所以<=*"%

%所以%&8<%&%又因为&&!3所以=&!所以 <%!7 特殊的平行四边形" 矩形的定义及性 生矩形是在生

平行四边形

的基础上来定义的

它可 重点!矩形的性质及其应用难点!灵活运用矩形的性质进行有关计算"!两组对边分别平行的四边形是平行四边形%!平行四边形的对边平行且相等

作为判定一个四边形是矩形的方法用定义判定一个四边形是矩形时先要判定这个四边形是平行四边形再确定一个内角是直角即可!矩形是特殊的平行四边形矩形的性质"重点 )%"思考#!然后与小组伙伴%"%&3

'!平行四边形的对角相等0!平行四边形的对角线互相平分

出它具有的平行四边形的性质!!

%"%)!如果一个图形沿着某条直线对折!直线两旁的图形能互相重合!那么这个图形是轴对称图形#!关于某条直线轴对称的两个图形是全等形矩形的定义"重点 )%"思考#上面的内容!然后与小组伙伴们交!在日常生活中!门窗框)书桌面!教科书封面!地板砖等都是平行四边形这些图形除了具有平行四边形的性质外!它们还具有什么共同的特征

!%%!%%!!!%"%!&6*,%%%*6$证明%E矩形&36是平行四边形6&,%&%&3&F%%%%&63$答案%内角都是直角"写出至少 $答案%答案不唯一!如电脑显示器)黑板)篮球架的篮板等!矩形的定

%&%-&&%F3!矩形的性质!矩形的四个角都 直 )矩形的对!有一个角是直角的平行四边形叫作矩

线相等%"3!%"推理步骤&E四边形&36是平行四边形%&&0!+F四边形&36是矩形矩形是轴对称图形 条对称轴分别为

由于矩形的每个角都是直角'且对角线相等*互相平分'因此对角线分成的图形或是直角三角形或是等腰三角形'因此很多矩形问题往往可以运用直角三角形或等腰三角形的知识来解决!直三角形的性 点阅 )'"思考#!并完成 的问题$答案%因为四边形&36是矩形所以3&&6%矩形的对角线相等& " "边中点的连线所在的直线"或相邻两边的垂直平分线 6&%&

%直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半八年级数学直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半$例%%)浙江湖州中考#如图"7

线构造',5的角用矩形的")5!角形的性质求难 "$难 36是'边上的中线!则36的长

!进而求出图形的面积是%2% " %$例如图"7%"+0在矩形&363 因为矩形!%"3 因为矩形 &36 3*

%"

%"&666") %"$分析% 连接&3'交6于点:'由矩形的性质可得%8&'" $!%")%0)")#,!

%"0

%"6质可知&&36&&")%"36&6&!33#&!$90

'%.'&'"!所以 所以 所以! 96! %

**&%%$,,,,!%! 所以形6$',%%&$

重点!矩形的判定与性质的综合应用!难点!矩形的判定方法的归纳与证明!

% 矩形的判行四边形是矩形'&%%中的逆命题是真命题吗(请回答并给出证明$答案%是真命题3%%63!3矩形

"!矩形的定义$有一个角是直角的平行四边形叫作

证明$E四边形&36是平行四边形!F)!6!%"7!%!矩形的性质$矩形的四个角都是直角!矩形的对角线相等!'!平行四边形的判定$两组对边分别平 的四边形

63

!

%%平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形'两组对角分别相等的四边形是平行四边形'对角线互相平分的四边形是平行四边形'一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

)0第一个"思考#!然后与小组伙伴们交流!并%"&矩形的定义可以证明一个四边形是矩形!它需要的两个条件是有一个角是直角和四边形是平行四边形!&矩形的对角线相等#的逆命题是 对角线相等的平&%'%!"7,*,6阅读)0第二个"思考#上面的一段文字!回答其中问题!$答案%测量两组对边分别相等!可以判定零件是平行#阅读)0第二个"思考#!然后与小组伙伴们交流!并尝试回答列问题!""矩形的四个角都是直角#的逆命题是四个角都直角的四边形是矩形%%&至少有三个角是直角的四边形是矩形

第十八 )%"!E!;%!'&%%中题是真命题吗(请回答并给出证明 F%% !F%*,!'&$答案%是真命题%%%&%&36&F%%"7,!%%"7,!!)

%!F%%%%*,F四边形89<是矩形%%%!3$!%*F四边形&36是平行四边形!,6

%%%

四边形&63是矩形!试说明理由边形$解%因为四边形&36是平行四矩形的判定定理!有三个角是直 的四边形

所以!3&6互相平分 %%%矩形 !!36&"& %所以&&36!"%%(&63的四个内角的平分线分别

&36相交于点8!9!!<!重

证$四边形

%%' 菱形的定义应$"菱形的定义!有一组邻 相等的平行四边形叫作菱形!如 !菱形的性质和应用难点!菱形性质的探究

%%#$%%推理步骤E四边形&63四边形是菱 平行四边 !'四边形是菱 &63

%

"!两组对边分别平行的四边形是平行四边形%!平行四边形的性质$平行四边形的两组对边分别平行且相等'平行四边形的对角相等'平行四边形的对角线互相平分!'!如果一个图形沿着某条直线对折!互相重合!那么这个图形是轴对称图形0!关于某条直线对称的两个图形是全等形

'%菱形是轴对称图形!有&条对称轴!分别为"在我们的生活中你还在哪些地方见过菱形$答案%答案不唯一!如美丽的中国结!伸缩的衣服架等!菱的性质重点 ))" 思考#!然后与小组伙伴们交流!并尝试%%&6说出它具有的平行四边形的性质'!!))!%%%6!%

!!%&6

%%6 &&!3'36'!6!6动!那么有可能变成四边相等的平行四边形吗$答案%有可能!当'时!会变成四边相等的平行四边形

3$证明%E菱形&36是平行四边形F&!E-F'36!E菱形&36是平行四边形八年级数学!下"FE'! &的垂直平分线交对角线&3于点9!垂足为8!连接69!6%!'%F6!同理可证'平分%&!菱形的性质!菱形的四条边都相等 角线互相垂直!并且每一条对角线平分一组对角!如何求平行四边形的

) # %%&636%对角线相交于点!%$解%因为四边形&36是菱形!所以 %"7!$答案%利用底5高来求平行四边形的面积!#如何求菱形的面积呢(有新的方法吗($答案%由于菱形是平行四边形!所以也可以利用求平行四边形面积的方法来求菱形的面积但菱形是特殊的平行四边形!其两条对角线互相垂直!所以可利用两条对角线乘积的一半求菱形的面积

3%"#,!&&!330%!$'%%%0&所以$菱 &"&$例""')江苏扬州中考#%67

%00 菱形的判

36 用用

"!菱形的定义$有一组邻边相等的平行四边形叫作

6&3证明$E四边形&63是平行四边形!F:!'!6F6!6

%0菱形

%!菱形的性质$菱形的四条边都相等'菱形的对角线

菱形的判定定理!对角线互相垂直的平行四边形是菱形互相垂直!并且每条对角线都平分一组对角'!平行四边形的判定%"两组对边分别平 的四边形是平行四边形%%&两组对边分别相等的四边形是平行四边形&两组对角分别相等的四边形是平行四边形%0&对角线互相平 的四边形是平行四边形%)一组对边平行且相 的四边形是平行四边形

"阅读)-第二个"思考#!然后与小组伙伴们交流! %"菱形的四条边都相等#的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形!%&"中的逆命题是真命题吗 请回答!并给出证明$答案%是真命题%0%&66!6证明$E'!&!& )-第一个"思考#及其前后内容!然后与小%"&菱形的定义可以证明一个四边形是菱形!它需要的两个条件是有一组邻边相等和四边形是平行四边形!%%&"菱形的对角线互相垂直#的逆命

&63E'!6

%0%是对角线互相垂直的平行四边形是菱形'&%%中的逆命题是真命题吗 请回答!并给出证明$证明%是真命题%06

说明一个四边形是菱形'既可以从边的角度'也可以从对角线的角度来分析'而常见的方法是先说明该四边形是平行四边形'再利用其他条件说明它是菱形! $例"%' 潜江*仙桃*天门%0同的三角尺3&和689在直线上滑动!要使四边形389为菱形!还需添加的一个条件是答案不唯一如-,$,2或'%写出一个即可%0%$33

%0

第十八 $3*%6*,!'%*!%*!E6!6%!%"8!!%*!'6F8!!%3!3'3点9!连接98求证$四边形为菱形!

%0%

''))F四边形为平行四边形重点!探索正方形的性质难点!正方形的性质的应用方法

正方形的定$四条边都相等!四个角都是直角的四边是正方形$正方形既是矩形!又是菱形

类正方形边对边平邻边类正方形边对边平邻边垂四条边都相角四个角都相四个角都是直对角两条对角线相两条对角线互相平两条对角线互相垂每条对角线平分对称轴对称有/条对%