2021-2022学年北京市丰台区高二下学期期中联考数学试题(B卷)(解析版)

2021-2022学年北京市丰台区高二下学期期中联考数学试题（B卷）一、单选题1．若三个数8，A，2成等差数列，则A（）A．±5B．±4C．5D．4【答案】C【分析】根据等差中项公式求解即可．【详解】三个数8，，2成等差数列，则2A28，所以A5．A故选：C2．下列求导运算正确的是（）A．B．1xsinxcosxlnxD．C．1x3x13xx2x【答案】D【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.【详解】选项A.sinxcosx,故选项A不正确.选项B.1x1,故选项B不正确.x2ln33选项C.3,故选项C不正确.xx选项D.11x2x,故选项D正确.2x故选：D3．设为数列n21，则a=（）5的前n项和，且SSannnA．26【答案】DB．19C．11D．9【分析】先求得a，然后求得a.5n【详解】依题意Sn21，n当n1时，aS2，11当n2时，Sn121n22n2，n1第1页共12页aSS2n1，nn2,n1a2n1,n2，n5故选：D，则f1（）4．已知函数2A．2【答案】BD．1【分析】先求得导函数fx，然后求得【详解】fx22x1242x1，f14．所以yfx对于函数的描述正A．在,0上为减函数xB．在0处取得最大值C．在4,上为减函数D．在x2处取得最小值【答案】C【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0的关系以及极值的定义可进行判定即可．详解：根据函数当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可知C正确，A错误；第2页共12页由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．故选C．点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.6．高二（1）班4名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、羽毛球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是（）A．3B．43C．6D．244【答案】A【分析】先求每一个同学报名的方法数，再由分步计数原理求4个同学不同的报名总数.【详解】每个同学报各都有3种情况，共有4个同学，则有3×3×3×3=3种报名方法．4故选：A7．函数f(x)x2lnx的最小值为11C．12eD．12eA．B．ee【答案】C(0,)【分析】函数的定义域为，再根据函数单调求得最小值．【详解】由题得x(0,)，f'(x)2xlnxxx(2lnx1)，令2lnx10解得xe1，21则当x(0,e2)时f(x)为减函数，当x(e12,)f(x)时，为增函数，所以xe1点处的2函数值为最小值，代入函数解得f(e2)1，故选C．2e1【点睛】本题考查用导数的单调性，确定最值点，最后代回原函数8．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数求得最值．A．–4B．–2C．4D．2【答案】D【详解】试题分析：fx3x2123x2x2，令fx0得x2或x2，易2,得fx在上单调递减，在上单调递增，2,22，即a2，故fx的极小值点为故选D.【解析】函数的导数与极值点第3页共12页f'(x)0【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程x0的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在x0xx时，xxxxf'(x)0，时f'(x)0，则是极小值点，如果时，附近，如果x0x0000f'(x)0，xx时，f'(x)0，则是极大值点.x0011a9．在数列中，2，且aa1a，则（）2022a，nN*n1nn1A．2B．-1C．D．12【答案】C【分析】根据给定条件推导出数列a的周期，再借助周期性计算得解.n1a11111aa，则n21n【详解】解：在数列a中，N，a1，an11n1nn1ann111(11)a1aan3n，n2an于是得数列a是周期数列，周期为3，n1111，111，所以a112a2，所以a1a12a又12312aaa1，220226733331所以.a22022故选：C.10．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（）善织，日减功迟，初日织五尺，A．113尺B．10529尺65C．尺29D．73尺【答案】B【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织布数构成的数列为a，由题设可知a为等差数列，nn153014，a5,a1，故公差d且29130第4页共12页440105，2929aa1115故29111故选：B.二、填空题11．设某质点的位移xm与时间ts的关系是，则质点在第3s时的瞬时速度等xt4t2于___________m/s.【答案】10t【分析】求出函数的导数，计算3时，的值即可．x【详解】解：，xt4t2x2t4，则3时，tx|23410，t33时的瞬时速度为，10m/ss故质点在第故答案为：10．n项和为，且1，64，则等于12．已知等比数列的前_____________.aSa1aS4n4n【答案】51【分析】由已知条件求出等比数列的公比，再利用等比数列的求和公式即可求解.a1，a为等比数列，且a64，【详解】解：因为数列14nqq464，解得，所以1351，1144所以S14故答案为：51.13．从2名教师和44名学生中，选出2人参加“我爱我的祖国”主题活动，要求入选的2人中恰有一名教师，则不同的选取方案的种数是_____________.【答案】8【分析】根据乘法计数原理和组合公式即可求解．【详解】从2名教师和4名学生中，选的2人中恰有一名教师有8种选法，CC1214故答案为：8．fxx12ex，下列结论中正确的是14．已知函数_____________.①函数fx有零点；②函数fx有极大值，也有极小值；第5页共12页fx的图象与直线1有3个交点④函数.y【答案】①②④判断其他项的正确性．f10，所以①选项正确，【详解】,1,1,上fx0,fx递增，在区x1x1ｅx，所以fx在区间4fx有极大值f1ｅ所以当x11，10，所以②选项正确，当x1时，fx有极小值f0恒成立，所以f10是fx的最小值，③因为选项错误，fx画出fx的大致图象如下图所示，由图可知函数()的图象与直线y=1有3个交点，fx④选项正确．故答案为：①②④．三、双空题Bxx3n1,nN*，把集合AB中的元素按N*15．设集合Axxn43,n，构成数列a，则a______________；数列a的前20项和2nn从小到大依次排列，S20_____________.【答案】3660【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得a，由不在集合A中，1、9在集3、272合A中，也在集合B中，推得81不在数列a的前20项内，则数列a的前20项中包nn括4n33的前18项和数列中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.n1第6页共12页4n3【详解】由题意，集合构成数列是首项为，公差为的等差数列，A14集合构成数列是首项为1，公比为3的等比数列，n13Ba1，a3，可得12又由不在集合A中，1、9在集合A中，也在集合B中，3、27因为，解得，此时n20，4n381n21所以81不在数列a的前20项内，n则数列a的前20项的和为[159(4183)]327n181693063030660.2故答案为：3；660.四、解答题bana16．已知数列满足a1，，等差数列满足，.a2ba211ba113nnn（1）求数列a，b的通项公式；nnab的前n项和.nn（2）求数列11n3n2【答案】（1）a2n1，b73n；（2）21n2nna为等比数列，由等比数列的a；由ba，通项公式计算可得nn13【分析】（1）依题意ba，求出公差，进而得到b；n21（2）求得ab273n，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，n1nn可得所求和．anaa1，2【详解】解：（1）由，11n可得2n1；an{b}d设等差数列的公差为，nba1，由ba4，2113可得dbb3，21则b43(n1)73n；n（2）ab273n，n1nn{ab}可得数列的前n项和为(124...2)(41...73n)n1nn第7页共12页12111n3n2nn(473n)21．n12221fx3x17．已知函数()x31.x23（1）求函数()的单调区间；fx（2）求函数()的极值.fx,1,3,【答案】（1）增区间：81,3，减区间：.（2）极大值，极小值8.31）利用导数求.【分析】（得单调区间（2）结合单调区间求得fx的极值.fxx22x3x1x3，1）【详解】（'所以fx在区间1,3递增，在区间上,1,3,fx0,fx上'f'x0,fx递减.所以fx增区间：1,3，减区间：.,1,3,（2）由（8f1f38.1）得fx的极大值为，极小值为3.18．已知数列满足a1，aa3a1nNn，*1n1n的前5项；(1)请写出数列an(2)证明数列1是等比数列；a2n的通项公式.(3)求数列ana1，a4，a13，a40，a【答案】(1)121；12345(2)证明见解析；3n1(3)an.2【分析】（递推式计算可得答案；1）代入已知的a+11+列a，即可证明出数是2n2n1（2）利用数列a的递推公式证明出为非零常数a+1n2n等比数列；a+1的首项和公比，求列+1的通项公式，即可求出a.（3）确定等比数列出数an22nn.【详解】(1)解：因为数列a满足a1，a3a1，nN*1n1nn第8页共12页a3a131+14，所以21a3a134+113，32a3a1313+140，43a3a1340+1121，54a1，a4，a13，a40，121所以数列的前5项为：；a51234123，13a1+13a+33a+a+n121212(2)解：3a1，a1nnna+1n1na+na+na+n2222n1a+n是等比数列；因此，数列21是以为首项，以23(3)解：由于+11+，所以，数列a13a+n3为公比的等比数22221列，13331na+3，因此，a.nn12222nn.fxlnxaxaR19．已知函数(1)当a1时，求曲线在x1处的切线方程；yfx(2)求函数的单调区间.fx【答案】(1)2xy10(2)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）求出函数的的正负可求【详解】(1)a1时，fxlnxx，导数，然后分a0和a0两种情况通过判断导函数定义域，对函数求得函数的单调区间1xfxf11f12则1，，，故切线方程为y12x1，即2xy10.0,；(2)函数fxlnxaxaR的定义域为1xax，fx第9页共12页1axx①当a0时，fx0，0,上单调递增；则函数fxlnxaxaR在1时，fx0，0,②当a0时，xa0,1则函数fxlnxaxaR在a上单调递增；x,时，fx0，1a1,则函数fxlnxaxaR在上单调递减.a综上所述，当a0时，函数fx的单调递增区间为0,；0,1a；单调递减区间为1,.当a0时，函数fx的单调递增区间为a20．已知是等差数列，其前n项和为S，a3，再从条件①条件②这两个条件ann4中选择一个作为已知，求：（1）数列a的通项公式；n（2）S的最小值，并求S取得最小值时n的值.nnS24；4条件①：条件②：a2a.13注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）若选①a2n11，若选②an315；（2）若选①当n5时S有最小nnnS25，若选②当n4或n5时S有最小值且最小值为SS30．n45值且最小值为5【分析】若选择条件①：根据a3；S424组成方程组可解出首项a和，从而可d41得a与S，再根据二次函数的性质可求出S的最小值以及取得最小值时n的值．nnna3；a2a组成方程组可解出首项a和，从而可得a与S，再若选择条件②：d4131nn根据二次函数的性质可求出S的最小值以及取得最小值时n的值．n【详解】解：若选择条件①：a34，得a3d3①；又1S244（1）设等差数列{a}的公差为，由d，得n434a1d24，即2a3d121②．2联立①②，解得a9、12，所以a92(n1)2n11．dn第10页共12页（2）由（1）可知：S9nn(n1)2n210nn5225，所以510525，S22n5根据二次函数的性质可得当5时S有最小值且最小值为S25．nn5若选择条件②：{a}nda33①；又a2a，得13（1）设等差数列的公差为，由，得a13d4a2(a2d)即a4d0②．111联立①②，解得12、ad3，所以a123(n1)3n15．1n12nn(n1)33n22n32722432，由于nN，所（2）由（1）可知：S2228+nn4或以当n5时S有最小值且最小值为SS30．n4521．某公司销售某种