高中数学第三讲二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修75

学习资料汇编一二维形式的柯西不等式[课时作业][A组基础坚固]1．若a，∈R，且2＋b2＝10，则＋b的取值范围是( )baaA．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10]D．(－5，5]剖析：∵a2＋b2＝10，∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2，即20≥(＋)2，∴－25≤a＋≤25.abb答案：A2．函数y＝22－x＋2x－3的最大值是()A．33B．2C.3D．4剖析：y2＝322×2－x＋2×x－2≤[22＋(2)2]2－x2＋x－321＝6×＝3，223当且仅当2x－2＝2·2－x，5x＝时等号建立．3∴y的最大值为3.答案：C2222mx＋ny的最3．若是实数m，n，x，y知足m＋n＝a，x＋y＝b，其中a，b为常数，那么大值为( )a＋bB．abA.2a2＋b2a2＋b2C.D．22金戈出品22222a剖析：由柯西不等式，得(mx＋ny)≤(m＋n)(x＋y)＝ab，当m＝n＝2，bx＝y＝2时，(mx＋ny)max＝ab.答案：B．若a＋＝，则a＋12＋b＋12的最小值为()4b1abA．1B．2257C.2D．21212剖析：a＋a＋b＋b2121＝a＋2＋a2＋b＋2＋b2.∵a＋b＝1，a2＋b2＝1(a2＋b2)·(1＋1)2≥1·(＋)2＝1，2ab211282＝8，又a2＋b2≥ab≥a＋b以上两个不等式都是当且仅当＝1＝时，等号建立ab2∴a＋12＋b＋12ab1252＋2＋2＋8＝2，当且仅当a＝b＝1时等号建立，取到最小值25.22答案：C5．若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD周长的最大值为( )A．2RB．22RC．4RD．42R剖析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为4R2－x2，于是ABCD金戈出品的周长l＝2(x＋42－x2)＝2(1×x＋1×42－x2)．RR由柯西不等式得l≤2[x2＋(4R2－x)2]1(12＋12)1222×2R×2＝42R.当且仅当x·1＝4R2－x2·1，即x＝2R时等号建立．此时4R2－x2＝4R2－2R2＝2R，即四边形ABCD为正方形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为42R.答案：D6．若存在实数x使3x＋6＋14－x>a建立，常数a的取值范围为________．剖析：3x＋6＋14－x＝3×x＋2＋1×14－x，由柯西不等式得(3×x＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64，所以3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，于是，常数a的取值范围是(－∞，8)．答案：(－∞，8)24217．设xy>0，则(x＋y2)·(y＋x2)的最小值为________．剖析：原式＝x2＋2212＋y2yx122≥x·x＋y·y＝9.答案：98．设实数x，y知足3x2＋2y2＝6，则2x＋y的最大值为________．剖析：∵22＋12[(3x)2＋(2y)2]≥(2x＋y)2，32∴|2x＋y|≤11x2＋2y2＝11，6当且仅当22y＝1×3x，×323x＝4y且3x2＋2y2＝6时，等号建立，而此方程组有解．∴2x＋y的最大值为11.答案：119．已知θ为锐角，，>0，求证：(＋2a2＋b2)≤22.ababcosθsinθ金戈出品aθ，sinb证明：设m＝cosθ，n＝(cosθ，sinθ)，aθ·cosθ＋sinb则|a＋b|＝|cosθ·sinθ|＝|·|≤||||＝a2b2＝a2＋b2，＋·122mnmncosθsinθcosθsinθ2a2b2∴(a＋b)≤cos2θ＋sin2θ.1110．设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求a＋b的最小值．1剖析：∵(a＋b)a＋b221212＝[(a)＋(b)]a＋b1122a·＋b·≥b＝(1＋1)＝4.a1111∴2a＋b≥4，即a＋b≥2.当且仅当a·1b·1，即a＝b时取等号，＝ba11∴当a＝b＝1时，a＋b的最小值为2.[B组能力提升]1．设a1、a2、b1、b2∈R，则以下不等式中，柯西不等式用错的是( )2222≥(a1a2＋b1b2)2A．(a1＋b1)·(a2＋b2)2222≥(a1b2＋b1a2)2B．(a1＋b1)·(a2＋b2)C．(222＋2)≥(＋)2a＋b)·(bab112211222222≥(a1b1＋a2b2)2D．(a1＋a2)·(b1＋b2)答案：C2421的最小值为________．2．设xy>0，则x＋2y＋2yx金戈出品222122122剖析：原式＝[x＋(y)][(x)＋y]≥(x·x＋y·y)＝9.答案：93．已知a，b∈R，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是________．＋剖析：(4a＋1＋4b＋1)2＝(1×4a＋1＋1×4b＋1)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×|4×1＋2|＝12.答案：124．已知a，b，c为正数，且知足acos2θ＋bsin2θ<c，求证：acos2θ＋bsin2θ<c.1剖析：由柯西不等式，得acos2θ＋bsin2θ≤[(acosθ)2＋(bsinθ)2]2·(cos2θ11222＋sinθ)2＝(acosθ＋bsinθ)2<c.5．若x2＋4y2＝5.求x＋y的最大值及最大值点．剖析：由柯西不等式得222122[x＋(2y)][1＋( )]≥(x＋y)2525