2020版高考数学第十篇计数原理概率随机变量其分布(选修3)第3节二项式定理应用能力提升

第3节二项式定理【选题明细表】知识点、方法题号二项睁开式的特定项或项的系数1,2,3,5,6,7,9,10二项式系数的性质、系数和4,8,12二项式定理的简单应用11,13,14,15基础稳固(建议用时:25分钟)1.(2019·陕西渭南市一模)在（x+）n的睁开式中,各项系数与二项式系数和之比为64,则x3的系数为(C)(A)15(B)45(C)135(D)405分析:令（x+）n中x为1得各项系数和为4n,又睁开式的各项二项式系数和为2n,且各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,因此=64,解得n=6,因此二项式的睁开式的通项公式为T=·3r·.r+1令6-r=3,求得r=2,故睁开式中含x3的系数为·32=135,应选C.2.(2018·福建龙岩模拟)已知二项式（1+-2x）4,则睁开式的常数项为(B)(A)-1(B)1(C)-47(D)494（4分析:二项式（1+-2x）=[1+-2x）]=1+4（-2x）+6(-2x)2+4(-2x)3+(-2x)4,因此睁开式中的常数项产生在1,6(-2x)2,(-2x)4中,分别是1,6×2··(-2x),·()2·(-2x)2,它们的和为1-24+24=1.应选B.3.(2018·郑州市质检)二项式（ax+）6的睁开式的第二项的系数为-,则x2dx的值为(B)(A)(B)(C)3(D)分析:因为Tr+1=(ax)6-r()r=a6-r·()rx6-r,因此第二项的系数为a5·=-,因此a=-1,因此x2dx=x2dx=x3|=(-)-(-)=.4.(2018·黑龙江大庆市二模)在二项式(x-)n的睁开式中恰巧第5项的二项式系数最大,则展开式中含x2的系数是(C)(A)35(B)-35(C)-56(D)56分析:因为在二项式(x-)n的睁开式中恰巧第5项的二项式系数最大,因此睁开式中第5项是中间项,共有9项,因此n=8.睁开式的通项公式为Tr+1=·x8-r·（-）r=(-1)r··x8-2r,令8-2r=2,得r=3,因此睁开式中含x2的系数是(-1)3·=-56.应选C.5.(2018·福建龙岩市一模)(x-1)(x+2)6的睁开式中x4的系数为(A)(A)100(B)15(C)-35(D)-2206T6-rr63分析:因为(x+2)的睁开式的通项公式为=·x·2,令6-r=3,r=3,(x+2)的睁开式中xr+1的系数为8=160;令6-r=4,r=2,可得(x+2)6的睁开式中x4的系数为-4,因此(x-1)(x+2)6的睁开式中x4的系数为8-4=160-60=100.应选A.6.(2017·南平市一模)（x+）（2x-）5的睁开式中各项系数的和为2,则该睁开式中常数项为(D)(A)-40(B)-20(C)20(D)40分析:令x=1则有1+a=2,得a=1,故原式为（x+）（2x-）5,其常数项为-22×+23=40.应选D.7.若(1-2x)50122334455,则=.=a+ax+ax+ax+ax+ax分析:通项公式Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr,令r=3,则a=(-2)3=-80;3令r=2,则a2=(-2)2=40,因此==-2.答案:-28.(2018·柳州市、钦州市一模)已知a=dx,则在（+）10的睁开式中,全部项的系数和为.分析:a=dx=·π·4=2,令x=1,可得在（+）10的睁开式中,全部项的系数和为310.答案:310能力提高(建议用时:25分钟)9.“n=5”是“（2+）n(n∈N*)的睁开式中含有常数项”的(A)充分不用要条件必需不充分条件充要条件既不充分也不用要条件分析:因为（2+）n(n∈N*)睁开式的通项Tr+1=2n-r,（2+）n的睁开式中含有常数项时知足-=0,当n=5时,=0,解得r=3,此时含有常数项;反之,当n=10时,r=6,也有常数项,可是不知足分不用要条件.应选A.

n=5.故“n=5”是“（2

+

）n(n∈N*)

的睁开式中含有常数项”的充10.(2018

·安徽蚌埠第二次质检

)二项式（

-）n的睁开式中

,全部项的二项式系数之和为

4096,则常数项等于

.分析:在（nn则n=12,-）的睁开式中,全部项的二项式系数之和为2=4096,因此（12·(12-rr-）的睁开式的通项公式为T=)·（-）=r+1(-1)r··,令4-r=0,解得r=3,因此其常数项为(-1)3·=-220.答案:-22011.已知f(x)=x+在区间[1,4]上的最小值为n,则二项式（x-）n睁开式中x2的系数为.分析:f′(x)=1-=,x∈[1,4].令f′(x)=0,解得x=3.因此x∈[1,3]时,函数f(x)单一递减;x∈(3,4]时,函数f(x)单一递加.因此x=3时,函数f(x)获得最小值6.因此（x-）6的睁开式的通项公式r+1x6-r（-）T==(-1)rx6-2r,令

6-2r=2,

解得r=2,因此二项式（

x-

）n睁开式中

x2的系数为

=15.答案:1512.假如(1+x+x

2)(x-a)

5(a

为实常数

)的睁开式中全部项的系数和为

0,则睁开式中含

x4的系数为

.分析:因为(1+x+x2)(x-a)

5的睁开式全部项的系数和为

(1+1+12)(1-a)

5=0,因此a=1,因此(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)534=(x-1)(x-1)=x3(x-1)4-(x-1)4,其睁开式中含

x4的系数为

(-1)

3-

(-1)

0=-5.答案:-513.已知（n*10∶1.-）(n∈N)的睁开式中第五项的系数与第三项的系数的比是求睁开式中各项系数的和;求睁开式中含的项.解:由题意知,第五项系数为·(-2)4,第三项的系数为·(-2)2,则有(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)

8=1.

=,化简得

n2-5n-24=0,

解得

n=8或

n=-3(

舍去).(2)通项公式Tr+1=()8-r（-）r=(-2)r·.令-2r=,得r=1,故睁开式中含的项为T2=-16.14.已知fn(x)=(1+x)n.(1)若f2017(x)=a0+a1x++a2017x2017,求a1+a3++a2015+a2017的值;(2)若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求g(x)中含x6的系数.解:(1)因为fn(x)=(1+x)n,因此f2017(x)=(1+x)2017,又f2017(x)=a0+a1x++a2017x2017,因此f2017(1)=a012017=22017,①+a++af2017(-1)=a0-a1++a2016-a2017=0,②-②得2(a1+a3++a2015+a2017)=22017,因此a1+a3++a2015+a2017=22016.(2)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),678因此g(x)=(1+x)+2(1+x)+3(1+x).因此g(x)中含x6的系数为+2+3=99.15.(2017

·湖北武汉模拟

)已知（

+2x）n.(1)若睁开式中第

5项、第

6项与第

7项的二项式系数成等差数列

,求睁开式中二项式系数最大的项的系数

;(2)若睁开式前三项的二项式系数和等于79,求睁开式中系数最大的项.解:(1)因为+=22,因此n-21n+98=0.因此n=7或n=14,当n=7时,睁开式中二项式系数最大的项是T和T.45因此T4的系数为（）423=,T5的系数为（）324=70,当n=14时,睁开式中二项式系数最大的项是T8.因