2020版高考数学(理)一轮总复习作业31平面向量数量积Word版含解析

题组层级快练(三十一)1．已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b＝()A．2B．3C．4D．5答案D分析∵a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)．a·b＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．2答案A分析∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝18cos〈a，b〉＝－12，∴cos〈a，b〉＝－2.∴a在b方向3上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4.3．(2018上·海杨浦区一模)若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的()A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案C分析∵a与b－c都是非零向量，∴a·b＝a·c?a·b－a·c＝0?a·(b－c)＝0?a⊥(b－c)，故“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的充要条件．应选C.4．(2018·龙江大庆第一次质检黑)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝()A.70B．45C．35D．25答案B分析∵a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4.∴a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝(－4，－8)，∴|2a＋3b|＝

（－4）2＋（－8）2＝45.应选

B.5．已知向量

a＝(1，2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于(

)A.5

B．2

5C．5

D．25答案

C分析

由a＝(1，2)，可得

a2＝|a|2＝12＋22＝5.|a－b|＝25，∴a2－2a·b＋b2＝20.5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5，应选C.6．(2018甘·肃武威十八中月考)已知非零向量a，b知足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )ππA.3B.22π5πC.3D.6答案C分析设两个非零向量a，b的夹角为θ因.为a⊥(2a＋b)，因此a·(2a＋b)＝0，即2a2＋|a||b|cosθ＝0.因为|b|＝4|a|，|a|≠0，因此cosθ＝－1.因为θ∈[0，π]，因此θ＝2π.应选C.327．如下图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则以下向量的数目积中最大的是( )→→→→A.P1P2·P1P3B.P1P2·P1P4→→→→C.P1P2·P1P5D.P1P2·P1P6答案A分析→→0，可清除→→2π，故其数目积因为P1P2⊥P1P5，故其数目积是C；P1P2与P1P6的夹角为3小于0，可清除D；设正六边形的边长是→→→→32→→a，则P1P2·P1P3＝|P1P2||P1P3|cos30°＝a，P1P2·P1P42→→＝|P1P2||P1P4|cos60°＝a2.应选A.8．(2018河·南高中毕业年级考前展望)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为→→1，2AO＝AB＋→→→→→)AC，且|OA|＝|AB|，则向量CA在向量CB方向上的投影为(13A.2B．－213C．－2D.2答案D分析因为→→→→→→→→→，即外接圆的圆2AO＝AB＋AC，因此AB－AO＋(AC－AO)＝0，即OB＝－OC心O为BC的中点，因此△ABC是以BC为斜边的直角三角形．又因为→→＝1，所|OA|＝|AB|π3，则向量→→→π33以∠ACB＝，|CA|＝CA在向量CB方向上的投影为|CA|cos＝3×＝.故6622选D.9．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则向量a与向量a＋b的夹角为()ππA.2B.3πC.6D．π答案B分析由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，因此a·b＝0，因此a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝π（a＋b）2＝2，故cos〈a，a＋b〉＝a·（a＋b）＝1，因此〈a，a＋b〉＝，应选B.|a|·|a＋b|2310．(2018沧·州七校联考)已知P是边长为→→2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP·(AB→)＋AC)(A．有最大值为8B．是定值6C．有最小值为2D．与点的地点相关答案B分析→→→→→→因为点P在边BC上，因此存在实数λ，使AP＝λAB＋(1－λ)AC，因此AP·(AB＋AC)→→→→→→＝[λAB＋(1－λ)AC]·(AB＋AC)＝4＋AB·AC＝6.应选B.→→11．(2018河·南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，→→)则FD·FE等于(38A．－4B．－914C．－4D．－9答案B分析→→，圆O的半径为→1→→→→→→→2∵BF＝2FO1，∴|FO|＝，∴FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝|FO|3→→→→→12＋0－1＝－8.应选B.＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝()9312．(2018河·南豫北名校结盟抗衡赛)已知△ABC的外接圆的半径为→1，圆心为点O，且3OA→→→→)＋4OB＋5OC＝0，则OC·AB＝(87A.5B.514C．－5D.5答案C分析→→→→→→得→→→→因为|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，由3OA＋4OB＋5OC＝03OA＋5OC＝－4OB和4OB＋→→，两个式子分别平方可得→→3→→4→→→→5OC＝－3OAOA·OC＝－5和OB·OC＝－5.因此OC·AB＝OC·(OB→→→→→1－OA)＝OC·OB－OC·OA＝－.应选C.513．(2017课·标全国Ⅰ，理)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．答案23分析本题考查向量的运算．|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4b2＋4a·b＝22＋4＋4×2×1×cos60°＝23.14．(2018·西上饶一模江)在边长为→→→1的正方形ABCD中，2AE＝EB，BC的中点为F，EF＝→→→2FG，则EG·BD＝________．答案－14分析以A为坐标原点，成立如下图的直角坐标系．∵正方形ABCD的边长为1，B(1，0)，D(0，1)，E(1，0)，F(1，1)．32→→211)，设G(a，b)，由EF＝2FG，得(，)＝2(a－1，b－3224，43331解得a＝3，→→→→∴G(4)．∴EG＝(1，)．∵BD＝(－1，1)，∴EG·BD＝－1＋＝－.3，3444b＝415．(2018河·北衡水四调)在△ABC中，AB＝3，AC＝5.若O为△ABC的外接圆的圆心，则→→AO·BC＝________．答案8分析→→→→→→→→→设BC的中点为D，连结OD，AD，则OD⊥BC，因此AO·BC＝(AD＋DO)·BC＝AD·BC1→→→→1→2→21×(522＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝(AC－AB)＝－3)＝8.22216．(2018·海静安区一模上)在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点M是△ABC外接圆上随意一点，则→→AB·AM的最大值为________．答案12分析如图，成立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，△ABC外接圆的方程32＋(y－2)2＝25.为(x－)42设M(355sinα)，2＋cosα，2＋22→＝(355则AM＋cosα，2＋sinα)，222→→→9＋15cosα＝1时，等号成AB＝(3，0)，AB·AM＝2cosα≤12，当且仅当2立．17.(2018上·海闵行区一模)如图，已知半径为1的扇形OAB，∠AOB＝60°，→→→P为弧AB上的一个动点，则OP·AB的取值范围是________．答案11[－，]22分析→→→→→→→→→OP·AB＝OP·(OB－OA)＝OP·OB－OP·OA＝cos∠BOP－cos∠133AOP＝cos(60°－∠AOP)－cos∠AOP＝2cos∠AOP＋2sin∠AOP－cos∠AOP＝2sin∠1AOP－2cos∠AOP＝sin(∠AOP－30°)．∵0°≤∠AOP≤60°，∴－30°≤∠AOP－30°≤30°，∴－1≤sin(∠AOP－30°)≤→→的取值范围为[－1，1]．1.∴OP·AB222218．设两个向量e1，e2知足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2π2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为，若向量3的夹角为钝角，务实数t的取值范围．答案(－7，－1414，－1)2)∪(－22分析由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得（2te1＋7e2）·（e1＋te2）<0，|2te1＋7e2||e1＋te2|即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，2t＝λ，λ＝－14，可求得7＝λt，∴14λ<0，t＝－2.∴所务实数t的范围是(－7，－14)∪(－14，－1)．2221．(2015·标全国课Ⅱ，文)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )A．－1B．0C．1D．2答案C分析a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.2．(2017保·定模拟)若向量a，b知足|a|＝|b|＝3，则向量a，b的夹角为( )1，(a＋b)·b＝2A．30°B．45°C．60°D．90°答案C23分析∵(a＋b)·b＝b＋a·b＝1＋a·b＝2，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，cos〈a，b〉＝1，〈a，b〉＝60°.应选C.223．(2017海·淀区期末)设向量a＝(1，0)，b＝(11)2，)，则以下结论中正确的选项是(2A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a∥bD．a－b与b垂直答案D14．(2016山·东，理)已知非零向量m，n知足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝3.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )A．4B．－499C.4D．－4答案B2，因此t＝－n2分析由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n＝0＝－m·n·n2，〉＝－|n|2＝－3×|n|＝－3×4＝－4.应选B.|m||n|cosmn|m|×|n|×3→→，5．(2017辽·宁抚顺一中月考)在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M知足BM＝2MA→→＝()则CM·CBA．2B．3C．－3D．6答案B分析→→→2→2→→→→→→→1→2∵BM＝2MA，∴BM＝BA＝3(CA－CB)，∴CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝(CB＋333→→1→22→→CA)·CB＝CB＋CB·CA＝3.应选B.336.(2017山·东师大附中模拟)如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则→→)AO·BC的值等于(A．－8B．－1C．1D．8答案D分析→的中点D，连结OD，AD→→→→→→→→取BC，则OD·BC＝0且AO＋OD＝AD，即AO＝AD－OD.→1→→→→→→→→→→1→→→→而AD＝(AB＋AC)，因此AO·BC＝AD·BC－OD·BC＝AD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)221→2→2122＝(AC－AB)＝(5－3)＝8.应选D.227．(2018广·西南宁联考)设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，－1)．若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．(－1，2)∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)2C．(－1D．(－∞，－1，＋∞))22答案A分析因为a与b的夹角为钝角，因此a·b＝－2λ＋1×1(－1)<0，即－2λ－1<0，解得λ>－2.当a，b共线且反向时，2－λ＝0，得λ＝2.因此λ的取值范围是(－12，2)∪(2，＋∞)．应选A.8．(2016·东，文山)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．答案

－5分析

依据已知，

a2＝2，a·b＝10.由a⊥(ta＋b)，得

a·(ta＋b)＝ta2＋a·b＝2t＋10＝0，解得t＝－5.9．(2015

·江浙)已知

e1，e2是平面单位向量，且

1e1·e2＝2.若平面向量

b知足

b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．答案233分析因为b·e1＝b·e2＝1，|e1|＝|e2|＝1，