高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量其分布第3节二项式定理讲义理含解析新人教A

第3节二项式定理考试要求1.能用多项式运算法例和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项睁开式相关的简单问题.知识梳理二项式定理二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋＋Crnan－rbr＋＋Cnbn(n∈N*)；通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项睁开式中各项的系数C0n，C1n，，Cn.二项式系数的性质性质性质描绘对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn－kn＋1*当k＜2(n∈N)时，是递加的二项式系增减性数Cknn＋1*当k＞2(n∈N)时，是递减的二项式n当n为偶数时，中间的一项Cn2获得最大值系数最n1n1大值当n为奇数时，中间的两项Cn2与Cn2获得最大值各二项式系数和1(1)(a＋b)n睁开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋＋Cn＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋＝C1n＋C3n＋C5n＋＝2n－1.[微点提示](a＋b)n的睁开式形式上的特色项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂摆列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂摆列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式的系数从C0n，C1n，向来到Cn－1，Cn.基础自测判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)Cknan－kbk是二项睁开式的第k项.( )(2)二项睁开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的睁开式中某一项的二项式系数与a，b没关.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包含符号等，与该项的二项式系数不同.( )分析二项式睁开式中Cknan－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.答案(1)×(2)×(3)√(4)√22.(选修2－3P31T4改编)(x－)n的二项睁开式中，第项的系数是( )ymA.CmnB.Cmn＋1C.Cmn－1mD.(－1)－1Cmn－1分析n睁开式中第m项的系数为m－1(x－y)Cmn－1(－1).答案DC02019＋C12019＋C2019＋＋C20193.(选修2－3P35练习A1(3)改编)C02018＋C2018＋C42018＋＋C2018的值为( )A.2B.4C.2019D.2018×2019220192分析原式＝22018－1＝2＝4.答案B4.(2018·全国Ⅲ卷)x2＋25的睁开式中x4的系数为( )x25－r2rr10－3r42分析Tr＋1＝Cr5(x)x＝Cr52x，由10－3r＝4，得r＝2，所以x的系数为C25×2＝40.答案C5.(2019·东营调研)已知(x＋1)10＝a1＋2＋32＋＋1110.若数列1，2，a3，，axaxaxaaa(1≤k≤11，k∈N＋)是一个递加数列，则k的最大值是()kA.5B.6C.7D.8分析由二项式定理知，an＝Cn10－1(n＝1，2，3，，11).3又(x＋1)10睁开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C510，则k的最大值为6.答案B86.(2018·浙江卷)二项式3x＋1的睁开式的常数项是________.2xrr分析r＋18－r118－4r该二项睁开式的通项公式为T＝Cr8x32x＝Cr82x32

8－4r.令＝0，解得r＝2，31所以所求常数项为C28×2＝7.答案7考点一通项公式及其应用多维研究角度1求二项睁开式中的特定项5【例1－1】(1)(2019·北京海淀区二模)(x2＋1)1－2的睁开式的常数项是( )xA.5B.－10C.－32D.－423110x－的睁开式中全部的有理项为________.(2)32x1－2515－rr－5分析(1)因为的通项为Cr5··(－2)r＝Cr5·(－2)r·x2，xx1－25故(x2＋1)·的睁开式的常数项是C15·(－2)＋C5(－2)5＝－42.x4kk＋1－110－2k(2)二项睁开式的通项公式为T＝Ck102x3.由题意10－2k3∈Z，且0≤k≤10，k∈N.10－2k3令3＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－2r，∵k∈N，∴r应为偶数.∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，452∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为4x，6345－2－8，256x.4526345－2答案(1)D(2)4x，－8，256x规律方法求二项睁开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数切合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可.角度2求二项睁开式中特定项的系数162【例1－2】(1)(多项式是积．的形式)(2017·全国Ⅰ卷)1＋x2(1＋x)的睁开式中x的系数为()A.15B.20C.30D.35(2)(多项式是和的形式)已知(1＋)3＋(1－x)5的睁开式中含x3的系数为－2，则a等于．ax()A.23B.2C.－2D.－1(3)(三项睁开式问题)(x2＋x＋y)5的睁开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.6056r1622分析(1)因为(1＋x)的通项为Cr6x，所以1＋x2(1＋x)睁开式中含x的项为1·C62x和·C46x4，x26×5因为C26＋C46＝2C26＝2×＝30，2×1162所以1＋x2(1＋x)睁开式中x的系数为30.(2)(1＋ax)3＋(1－)5的睁开式中x3的系数为C33＋C35(－1)3＝a3－10＝－2，则3＝8，解xaa得a＝2.法一(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.此中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.法二(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.x5y2可从此中5个因式中，两个取因式中x2，节余的3个因式中1个取x，其他因式取y，所以x5y2的系数为C25C13C2＝30.答案(1)C(2)B(3)C规律方法1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再归并，通常要用到方程或不等式的知识求解.2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或睁开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情况，求出相应的特定项，最后进行归并即可.三项睁开式特定项：(1)往常将三项式转变为二项式积的形式，而后利用多项式积的睁开式中的特定项(系数)问题的办理方法求解；(2)将此中某两项当作一个整体，直接利用二项式睁开，而后再分类考虑特定项产生的全部可能情况.【训练1】(1)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5的睁开式中x3y3的系数为________.63a672(2)在(1－x)＋x＋的睁开式中，若x的系数为19，则a＝________.x分析(1)由二项式定理可得，睁开式中含x3y3的项为x·C35(2x)2(－y)3＋y·C25(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.3a63a172652(2)(1－x)＋x＋的睁开式中x的系数为C67(－x)＋C16(x)x＝C67x＋C16xx2a，则aC16＋C67＝19，解得a＝2.答案(1)40(2)2考点二二项式系数与各项的系数问题【例2】(1)(a＋x)(1＋)4的睁开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则＝________.xa(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋＋8)2－(1＋3＋＋9)2＝39，则实数的值为________.aaaam分析(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即睁开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋＋a9，9令x＝－2，则m＝a0－a1＋a2－a3＋－a9，又(a0＋a2＋＋a8)2－(a1＋a3＋＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋＋a8－a9)＝39，999＋m)＝3，∴(2＋m)·m＝3，∴m(27∴＝－3或＝1.mm答案(1)3(2)1或－3规律方法1.“赋值法”广泛合用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋)n，(ax2＋bbx＋c)m(a，b∈R)的式子求其睁开式的各项系数之和，常用赋值法.nf(x)睁开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋＋anx，则和为a0＋a2＋f(1)＋f(－1)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5f(1)－f(－1)a4＋＝2＋＝2.2n【训练2】(1)(2019·烟台模拟)已知x3＋x的睁开式的各项系数和为243，则睁开式中x7的系数为()A.5B.40C.20D.10(2)(2018·湘潭三模)若(1＋x)(1－2x)892＝a0＋a1x＋＋a9x，x∈R，则a1·2＋a2·2＋＋9)a9·2的值为(A.29B.29－1C.39D.39－1nx3＋2分析(1)由x3＋2的睁开式的各项系数和为，令x＝1得n＝，即＝，∴x2433243n5xn5r235－r2r15－4r＝x3＋x，则Tr＋1＝Cr5·(x)·x＝2·Cr5·x，令15－4r＝7，得r＝2，∴睁开式中x7的系数为22×C52＝40.(2)(1＋x)(1－2x)8012299001＝a＋ax＋ax＋＋ax，令x＝0，得a＝1；令x＝2，得a＋a·2＋299a2·2＋＋a9·2＝3，122999∴a·2＋a·2＋＋a·2＝3－1.答案(1)B(2)D考点三二项式系数的性质多维研究角度1二项式系数的最值问题81n【例3－1】(2019·上海崇明区二模)二项式3x＋的睁开式中只有第11项的二项式3x系数最大，则睁开式中x的指数为整数的项的个数为()1n1分析依据3x＋的睁开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴3x＋33xxn20－r1r20－r4r的睁开式的通项为T＝Cr20·(3x)＝(3)20－r＋1x整数，需r是3的倍数，∴r＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.答案D角度2项的系数的最值问题【例3－2】已知(3x＋x2)2n的睁开式的二项式系数和比(3x－1)n的睁开式的二项式系数和12n大992，则在2x－的睁开式中，二项式系数最大的项为______，系数的绝对值最大的项x为________.分析2nnn32)(2n＋31)＝0，故n由二项式由题意知，2－2＝992，即(2－2＝32，解得n＝5.101系数的性质知，2x－x的睁开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为5T6＝C510(2x)5－1x＝－8064.设第k＋1项的系数的绝对值最大，－1kk＋1＝Ck10·(2x)10－k·＝(－1)k10－k10－2k，则TxCk10·2·x10－k10－k＋1Ck10≥2Ck10－1，Ck10·2≥Ck10－1·2，令10－k10－k－1得Ck10·2≥Ck10＋1·2，2Ck10≥Ck10＋1，911－k≥2k，811即2（k＋1）≥10－k，解得3≤k≤3.∵k∈Z，∴k＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，744T4＝－C310·2·x＝－15360x.答案－8064－15360x4n为偶数时，睁开式中第n规律方法1.二项式系数最大项确实定方法：当2＋1项的二项式nn＋1n＋3系数最大，最大值为Cn2；当n为奇数时，睁开式中第项的二项式系数最大，2项和第2n1n1最大值为Cn2或Cn2.二项睁开式系数最大项的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的睁开式系数最大的项，一般是采纳待定系数法，设睁开式各项系数分别为A，A，，A，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，进而解出k来，即得.12n＋1Ak≥Ak＋1，【训练3】已知m为正整数，(x＋y)2m睁开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1睁开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A.5B.6C.7D.8分析由题意可知，a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1.（2m）！（2m＋1）！13a＝7b，∴13·m！m！＝7·m！（m＋1）！，2m＋1即7＝m＋1，解得m＝6.答案B10[思想升华]二项式定理及通项的应用关于二项式定理，不单要掌握其正向运用，并且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再睁开较为简易，有时需适合配凑后逆用二项式定理.运用二项式定理必定要切记通项Tk＋1＝Cknan－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n固然同样，但用二项式定理睁开后，详细到它们睁开式的某一项时是不同样的，必定要注意次序问题.在通项Tk＋1＝Cknan－kbk(n∈N*)中，要注意有n∈N*，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，，n.2.因为二项式定理中的字母可取随意数或式，所以在解题时依据题意给字母赋值是求解二项睁开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求睁开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.[易错防备]1.二项式系数与项的系数是完整不一样的两个观点.二项式系数是指C0n，C1n，，Cn，它只与各项的项数相关，而与a，b的值没关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数相关，并且也与a，b的值相关.确实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等观点.基础稳固题组(建议用时：35分钟)一、选择题x－171.已知的睁开式的第4项等于5，则x等于( )x11A.7B.－7C.7D.－7113分析44－11由T＝C37xx＝5，得x＝－7.答案B2.已知(1＋x)n的睁开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.29B.210C.211D.212分析由题意，C3n＝C7n，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.答案An1*n的最小值是( )3.(2019·广州测试)使x2＋(n∈N)睁开式中含有常数项的2x3D.61r分析T2n－r12n－5r，令2n－5r＝0，得n＝5*，所以n的最r小值是5.答案C·邯郸二模)在x＋3n4.(2018的睁开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3x的系数为( )A.15B.45C.135D.405令x＋3n分析中x为1，得各项系数和为4n，又睁开式的各项的二项式系数和为2n，各x4n项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴2n＝64，解得n＝6，∴二项式的睁开式的r3332通项公式为Tr＋1＝Cr6·3·x6－2r，令6－2r＝3，求得r＝2，故睁开式中x的系数为C26·3＝135.12答案C110265.(2019·枣庄二模)若(x－a)x＋x的睁开式中x的系数为30，则a等于( )11A.3B.2C.1D.210r分析x＋1睁开式的通项公式为r＋1＝Cr10·x10－r·1＝Cr10·x10－2r，令－2r＝，解xTx104得r＝3，所以x4项的系数为C310，令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为C210，所以10(x2－)x＋1的睁开式中x6的系数为C310－C210＝30，解得a＝2.axa答案D6.(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝( )分析令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1024.答案A23n，则C1n＋C2n＋C3n＋＋Cn等于( )7.已知C0n＋2C1n＋2C2n＋2C3n＋＋2Cn＝729A.63B.64C.31D.32分析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋＋2nCn＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋＋Cn＝26－C0n＝64－1＝63.答案A2n01222n2n0242n等于( )8.若(1＋x＋x)＝a＋ax＋ax＋＋ax，则a＋a＋a＋＋aA.2nB.3n－1C.2n＋1D.3n＋12213分析设f(x)＝(1＋x＋x2)n，则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋＋a2n，①(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋＋a2n，②由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，f(1)＋f(－1)3n＋1所以a0＋a2＋a4＋＋a2n＝2＝2.答案D二、填空题9.(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的睁开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.分析(1＋3x)n的睁开式的通项为Tr＋1＝Crn(3x)r，令r＝2，得T3＝9C2nx2，由题意得9C2n＝54，解得n＝4.答案410.(2018·石家庄调研)(1＋x)n的二项睁开式中，仅第6项的系数最大，则n＝________.nn分析(1＋x)的二项睁开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以2＋1＝6，n＝10.答案1050122550111.若将函数f(x)＝x表示为f(x)＝a＋a(1＋x)＋a(1＋x)＋＋a(1＋x)，此中a，a，2，，5为实数，则3＝________(用数字作答).aaa分析f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tk＋1＝Ck5(1＋x)5－k·(－1)k，令5－k＝3，则k＝2，所以T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.答案105112.2x＋x－1的睁开式中常数项是__________(用数字作答).14555分析2x＋1－1＝2x＋1－1＝(－1)＋2x＋1xxx1r的睁开式中通项公式：r＋1＝Cr5(－1)5－r2x，T＋xr1此中2x＋x的通项公式：r－k1kkr－kr－2kT＋1＝Ckr(2x)x＝2Ckrx，令r－2k＝0，则k＝0，r＝0；k＝1，r＝2；k＝2，r＝4.所以常数项为C05(－1)5＋C25×(－1)3×2×C12＋C45×(－1)×22C24＝－161.答案－161能力提高题组(建议用时：15分钟)13.(2019·河南百校结盟模拟)(3－2x－x4)(2x－1)6的睁开式中，含x3项的系数为( )A.600B.360C.－600D.－360分析由二项睁开式的通项公式可知，睁开式中含x3项的系数为3×C6233(－1)3－2×C6242(－1)4＝－600.答案C11014.在1＋x＋的睁开式中，含x2项的系数为()x2019A.10B.30C.4