06第六章-不等式

第一节不等式的性质、一元二次不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．授课提示：对应学生用书第95页◆教材通关◆1.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a＞b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b＜0⇔a＜b；))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.))2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[小题诊断]1.已知a＜0，－1＜b＜0，那么()A.a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞aC.ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a2.不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))≥0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,2)或x＞\f(3,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(1,2)或x≥\f(3,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜\f(3,2)))3.设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A.A≤B B．A≥BC.A＜B D．A＞B4.(2018·资阳诊断)已知a，b∈R，下列命题正确的是()A.若a＞b，则|a|＞|b| B.若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C.若|a|＞b，则a2＞b2 D.若a＞|b|，则a2＞b25.不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，则a＋b的值是________．◆易错通关◆1.在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b⇒ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．2.对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．3.当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．[小题纠偏]1.设a，b，c∈R，且a＞b，则()A.ac＞bc B.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)C.a2＞b2 D．a3＞b32.若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.(1，＋∞) B．(－∞，－1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,11))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,11)))∪(1，＋∞)考点一不等式的性质及应用[题组练通]1.(2018·河南六市第一次联考)若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则下列结论不正确的是()A.a2＜b2 B．ab＜b2C.a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|2.对于任意实数a，b，c，d有以下四个命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).其中正确的有()A.1个 B．2个C.3个 D．4个3.设a，b∈R则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.考点二一元二次不等式的解法[题组练通]1.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x＜0，))则不等式f(x)＞f(1)的解集是()A.(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C.(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)2.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为()A.{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜－2或x＞1}C.{x|0＜x＜3} D．{x|x＜0或x＞3}3.(2018·扬州中学调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax，x≥0，,bx2－3x，x＜0))为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________．4.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．解一元二次不等式的四个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.考点三一元二次不等式恒成立问题[锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围．(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围．(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围1.已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．角度二形如f(x)≥0，(x∈[a，b])确定参数范围2.设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．角度三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3.对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法方法解读适合题型判别式法(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ≤0；))(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ≤0))二次不等式在R上恒成立分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)＞0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＞0，,fn＞0，))若f(x)＜0恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＜0，,fn＜0))适合在分离参数时遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时[题组练通]1.(2018·汕头模拟)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是()A.[0,1] B.(0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)2.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意的实数x，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是________．3.若不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1恒成立，则x的取值范围是________．第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．授课提示：对应学生用书第98页◆教材通关◆1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[小题诊断]1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))则z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．93．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)4．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))则z＝3x－2y的最小值为________．5．(2018·郑州模拟)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b≥5，,a－b≤2，,a＜7，))设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.◆易错通关◆1．画平面区域时避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c＞0(a＞0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[小题纠偏]已知实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))若目标函数z＝y－ax(a∈R)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域[题组练通]1．(2018·泰安模拟)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤－x＋2，,y≤x－1，,y≥0))所表示的平面区域的面积为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)2．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,2x＋y<6))所表示的平面区域内的整点个数为()A．2 B．3C．4 D．53．在平面直角坐标系中，若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤x，,y≤kx－1－1))表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(1,0)或(0,1)点.考点二目标函数最值的求法及应用[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有：(1)求线性目标函数的最值．(2)求非线性目标函数的最值．(3)求目标函数中的参数．(4)线性规划的实际应用．角度一求线性目标函数的最值或范围1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤3，,x－y≥1，,y≥0，))则z＝x＋y的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．角度二求非线性目标函数的最值2．(2018·黄冈质检)设实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2x＋2，,x＋y－2≥0，,x≤2，))则eq\f(y－1,x＋3)的取值范围是()A．[eq\f(1,5)，1] B．[－eq\f(1,5)，1]C．[－1，－eq\f(1,5)] D．[－1，eq\f(1,5)]常见的3类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).角度三求目标函数中参数值或范围3．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x＋y－3≤0，,x－2y＋6≥0，))若目标函数z＝ax＋2y(a＞0)的最小值为－6，则实数a的值为()A．2 B．1C．3 D．4角度四线性规划的实际应用4．某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元．工厂在生产计划中要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，则该工厂每天生产甲、乙两种产品的最大利润是()A．1800元 B．2400元C．2800元 D．3100元解答线性规划实际问题的3步骤(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；(2)准确作出可行域，求出最优解；(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．[提醒]注意转化的等价性及几何意义．[即时应用]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0，))则z＝x－y的取值范围是()A．[－3,0] B．[－3,2]C．[0,2] D．[0,3]2．(2018·安庆市模拟)如果点P(x，y)在平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，则x2＋(y＋1)2的最大值和最小值分别是()A．3，eq\f(3,\r(5)) B．9，eq\f(9,5)C．9,2 D．3，eq\r(2)3．当x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2，,y－4≤x，,x－7y≤2))时，－2≤kx－y≤2恒成立，则实数k的取值范围是()A．[－1,1] B．[－2,0]C．[－eq\f(1,5)，eq\f(3,5)] D．[－eq\f(1,5)，0]第三节基本不等式1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．◆教材通关◆1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数．eq\a\vs4\al([必记结论])(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．2．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)(简记：和定积最大)．[小题诊断]1．(2018·阜阳模拟)下列正确的是()A．若a，b∈R，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2 B．若x＜0，则x＋eq\f(4,x)≥－2eq\r(x×\f(4,x))＝－4C．若ab≠0，则eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b D．若x＜0，则2x＋2－x＞22．(2018·武汉调研)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥23．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是()A．4 B．3C．2 D．14．若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()A．2 B．3C．4 D．55．一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．◆易错通关◆1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．[小题纠偏]1．已知a＞0，b＞0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则a＋2b的最小值是()A．3－2eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．2eq\r(2) D．42．(2018·沈阳模拟)已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．考点一利用基本不等式求最值[锁定考向]利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．常见的命题角度有：(1)通过配凑法求最值；(2)通过常值代换法求最值；(3)通过消元法求最值．角度一通过配凑法求最值1．(2018·泉州检测)已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式.角度二通过常值代换法求最值2．(2018·日照模拟)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为()A．24 B．25C．26 D．27将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．角度三通过消元法求最值3．已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝eq\f(1＋z,2xyz)的最小值为________．消元法求最值多适用于三元变量问题，即通过条件消去其中一元，保留其它二元后通过变形、构造、创设使用基本不等式求最值的条件.[即时应用]1．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．42．若正数a，b满足a＋b＝2，则eq\f(1,a＋1)＋eq\f(4,b＋1)的最小值是()A．1B.eq\f(9,4)C．9 D．163．设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则eq\f(b2,ac)的最小值是__________．考点二基本不等式的实际应用[典例]首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq\f(1,2)x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[即时应用]1．某商场中秋节前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0＜t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均销售量eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如前10天的平均销售量为\f(f10,10)))的最小值为()A．18B．27C．20D．162．要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的周围两侧分别留出宽分别为2米，1米的小路，则鱼池与路的占地总面积的最小值是________平方米．3．(2018·惠州质检)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比eq\f(|A1B1|,|B1C1|)＝x(x＞1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？第四节推理与证明1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．4．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．5．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．◆教材通关◆1．合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．[小题诊断]1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．4．设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．◆易错通关◆1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．[小题纠偏]判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()考点一类比推理[题组练通]1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．其中类比结论正确的个数为()A．1B．2C．3D．42．若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，m，n，p是互不相等的正整数，有________．3．(2018·贵州六校联考)在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．类比推理的分类及处理方法类别解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解.已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键.平面几何与立体几何、等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法考点二归纳推理[题组练通]1．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律得A(8,2)为()eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,10)eq\f(1,12)eq\f(1,10)eq\f(1,15)eq\f(1,22)eq\f(1,22)eq\f(1,15)eq\f(1,21)eq\f(1,37)eq\f(1,44)eq\f(1,37)eq\f(1,21)……A.eq\f(1,45) B.eq\f(1,86)C.eq\f(1,122) D.eq\f(1,167)2．(2018·西安质检)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.3．2017年8月四川九寨沟景区发生7.0级地震，为抗震救灾，地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．归纳推理问题的常见类型及解题策略常见类型解题策略与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有关的推理观察每个式子的特点，找到规律后可解与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性考点三证明问题[锁定考向]证明问题分为直接证明与间接证明．其常见的方法有：(1)分析法；(2)综合法；(3)反证法．角度一分析法1．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).分析法证明问题的思路与适用范围(1)分析法的思路：“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．(2)分析法证明问题的适用范围：当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．角度二综合法2．已知a＞b＞c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(4,c－a)≥0.综合法证题的思路角度三反证法3．设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．反证法证明问题的3步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)[即时应用]1．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝eq\f(2π,3)，求证5a＝3b.3．设a＞0，b＞0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．考点四实际问题中的推理应用近几年课标卷命题常在实际问题中考查推理应用及逻辑判断能力.该类题型贴近生活命题新颖，考查能力要求较高.[典例](2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩求解此类题目一般情况利用反设推理方法，即逐个肯定或否定，结合条件进行推理判断，从而得出正确结论．[即时应用]1．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名．下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化．在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是()A．男护士 B．女护士C．男医生 D．女医生2．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：是C或D作品获得一等奖；乙说：B作品获得一等奖；丙说：A、D两项作品未获得一等奖；丁说：是C作品获得一等奖．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．第五节数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．◆教材通关◆1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2．数学归纳法的框图表示eq\a\vs4\al([必记结论])1．第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．2．由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．[小题诊断]1．(2018·德州模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋232．(2018·常德模拟)数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2 B．n2C．3n－1 D．4n－33．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1) D.eq\f(2k＋3,k＋1)4．已知n为正偶数，用数学归